SECONDE E´ PREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l’´epreuve: 4 heures)
L’usage de la calculatrice est autorisé´e
Sujet mis `a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle
international
Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PSI.
L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le
signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e
amen´e `a prendre.
– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. Le bar`eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.
MOD´ELISATION FR´EQUENTIELLE DE DIPˆOLES
Dans tout ce probl`eme, les vecteurs sont surmont´es d’un chapeau ba s’ils sont unitaires ou d’une fl`eche
−→a sinon. Les nombres complexes sont soulign´es : z ∈ C. On notera j2 = −1.
Ce probl`eme se propose tout d’abord d’´etudier un circuit `a amplificateur op´erationnel et son application
`a l’´etude d’une bobine `a air, puis de fournir une interpr´etation du comportement fr´equentiel
de cette bobine. Plus pr´ecis´ement, il se compose deux parties tr`es largement ind´ependantes : la
premi`ere concerne l’existence et la stabilit´e des points de fonctionnement du circuit `a amplificateur
op´erationnel, l’oscillation auto-entretenue du circuit, la mod´elisation ´electrocin´etique de la bobine ;
la seconde va justifier que dans un domaine de basses et moyennes pulsations, la r´esistance d’un fil
rectiligne est une fonction quadratique de la pulsation du courant qui l’alimente.
I. — ´Etude d’un circuit `a amplificateur op´erationnel
Dans tout le probl`eme, on suppose que la seule cause de fonctionnement en r´egime non-lin´eaire d’un
amplificateur op´erationnel est la saturation de sa tension de sortie : les tensions de saturation sont
suppos´ees oppos´ees et not´ees Vsat et −Vsat .
On rappelle qu’un amplificateur op´erationnel id´eal est tel que les courants d’entr´ee i+ et i− sont
toujours nuls et que dans la zone de lin´earit´e V+−V− = 0.
Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
I.A. — ´Etude d’un dipˆole
On consid´ere le circuit de la figure 1 dans lequel l’amplificateur
op´erationnel est suppos´e id´eal.
1 — Dans l’hypoth`ese d’un fonctionnement id´eal de
l’amplificateur op´erationnel en r´egime lin´eaire, d´eterminer
l’imp´edance d’entr´ee Ze = Ve/Ie du circuit de la figure 1.
Tracer la partie de la caract´eristique Ve = f (Ie) en r´egime
lin´eaire : on exprimera les limites du domaine de validit´e de
Ve en fonction de Vsat , R2 et R3
FIG. 1 – Montage `a amplificateur
2 — Compl´eter la caract´eristique Ve = f (Ie) du circuit de la figure 1 dans les r´egions qui correspondent
`a un fonctionnement non-lin´eaire de l’amplificateur op´erationnel : on donnera les expressions
Ve = f (Ie) correspondantes en justifiant pr´ecis´ement les domaines de Ve sur lesquels elles sont valides.
On pr´ecisera les points remarquables.
I.B.— Visualisation exp´erimentale de la caract´eristique du dipˆole
On consid´ere `a pr´esent le montage de la figure 2.
Ce dernier est celui de la figure 1 auquel on a rajout
´e une r´esistance Rg et un g´en´erateur de fonction
id´eal qui d´elivre une tension E(t).
Lorsque la tension du g´en´erateur est continue
E(t) = E0 = cste, le couple (Ve, Ie) prend la valeur
(Ve0, Ie0). Ce point de la caract´eristique Ve = f (Ie)
est appel´e point de fonctionnement du circuit.
L’amplificateur op´erationnel est encore suppos´e
id´eal. FIG. 2 – Montage avec entr´ee
3 — Indiquer comment le montage de la figure 2 permet une visualisation `a l’oscilloscope de la
caract´eristique Ve = f (Ie) : on pr´ecisera les branchements `a effectuer et les ´eventuelles pr´ecautions
mat´erielles `a prendre.
4— ´Etudier en fonction de la valeur de Rg, les diff´erentes possibilit´es pour le point de fonctionnement
du circuit dans le cas E0 = 0V.
I.C. —Stabilit´e du point de fonctionnement
Lorsque l’on r´ealise exp´erimentalement le montage de la figure 2 avec E = 0V et Rg < R1R3/R2,
on constate que le point de fonctionnement du montage se trouve arbitrairement soit en un point
M(Ie01 ,Ve01) associ´e `a un courant Ie01 n´egatif, soit en un point P(Ie02 ,Ve02) associ´e `a un courant Ie02
positif. Ces deux points sont distincts et pr´esentent la propri´et´e d’ˆetre sym´etriques l’un de l’autre par
rapport `a l’origine O du plan (Ie, Ve).
5 — Dans quel r´egime se trouve l’amplificateur op´erationnel si le point de fonctionnement du
montage est situ´e en M ou en P ? On justifiera la r´eponse en pr´ecisant les coordonn´ees de ces points.
Page 2/6
Physique II, ann´ee 2009 — fili`ere PSI
Pour expliquer que les seuls points de fonctionnement accessibles
soient les points M ou P lorsque Rg < R1R3/R2 et E = 0V, on ne
peut plus supposer que l’amplificateur op´erationnel soit de gain
infini. Dans le r´egime lin´eaire, on peut le mod´eliser comme indiqu
´e sur la figure 3 : les courants d’entr´ee i+ et i− sont toujours
nuls,mais e (t)=V+−V− 6=0. Dans ce r´egime et pour des signaux
sinuso¨ıdaux, on peut mod´eliser l’amplificateur op´erationnel par
une relation entre les repr´esentations complexes de e (t) et VS(t) :
FIG. 3 – Amplificateur op´erationnel
r´eel
6 — Rappeler les ordres de grandeurs des constantes A0 et f0 = w0/2p pour un amplificateur
op´erationnel usuel. En utilisant la mod´elisation de l’amplificateur op´erationnel d´efinie par la figure 3,
´etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee en r´egime lin´eaire par le courant Ie(t) du montage de la figure
2 dans le cas o`u E(t) = 0V. On utilisera les param`etres A0, w0, Rg, R1 et A = R3/(R2+R3).
7—En prenant en compte le fait que AA0≫1, montrer que, l’´equation diff´erentielle de la question
6 permet de justifier l’observation exp´erimentale relative aux points de fonctionnement. Expliquer
qualitativement, comment s’´etablit le basculement vers M ou P.
I.D.—R´ealisation d’un oscillateur
L’amplificateur op´erationnel est `a nouveau suppos´e id´eal.
On adjoint maintenant au circuit de la figure 1 une
r´esistance R, un condensateur C et une bobine id´eale d’inductance
L pour obtenir le montage de la figure 4.
8 — ´Ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant
Ie traversant la r´esistance R en supposant que le circuit de la
figure 1 soit mod´elisable en premi`ere approximation par un
dipˆole d’imp´edance Ze calcul´ee `a la question 1.
9 — `A quelle condition le montage de la figure 4
est-il le si`ege d’une oscillation purement sinuso¨ıdale ?
Que vaut alors la fr´equence fc d’oscillation ? La condition
pr´ec´edente n’´etant jamais rigoureusement r´ealisable
exp´erimentalement, indiquer `a quelle condition on constate
effectivement le d´emarrage d’une oscillation.
FIG. 4 – Oscillateur `a amplificateur
op´erationnel
10 — En fait, la bobine pr´esente dans le montage de la figure 4 est une bobine `a air de r´esistance
rb et d’inductance L. Quelle est l’origine physique du terme de r´esistance rb ?
On constate exp´erimentalement que la valeur de la r´esistance rb de la bobine `a air d´epend de la
pulsation w du courant sinuso¨ıdal qui la parcourt. Dans un domaine de basse et moyenne pulsation,
la d´ependance fr´equentielle de rb s’´ecrit :
rb(w) = r0
1+a w2_
(1)
Typiquement, pour une bobine `a air d’inductance ´egale `a 100 mH comprenant 1000 spires r´eparties
sur plusieurs couches, la loi pr´ec´edente est tr`es bien v´erifi´ee pour w < 2,00 × 104 rad.s−1 ; on trouve
exp´erimentalement r0 = 92,0 W et a = 5,00 × 10−10 s2.
11—Comment pourrait-on, `a l’aide du montage de la figure 4, valider la d´ependance quadratique
en la pulsation de rb(w) ? On d´ecrira avec soin le protocole exp´erimental propos´e. Estimer la variation
relative de la r´esistance rb de la bobine `a air pr´ec´edente compos´ee de 1000 spires pour des pulsations
variant de 0 `a 2,00 × 104 rad.s−1.
Page 3/6 Tournez la page S.V.P.
Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
I.E.— Mod´elisation ´electrocin´etique de la bobine
On souhaite traduire le comportement fr´equentiel de la bobine
de la figure 4 par la mod´elisation ´electrocin´etique de
la figure 5. On fixe r0 = 92,0 W, L = 100 mH, le param`etre
de cette mod´elisation ´etant l’expression et la valeur de la
r´esistance Rp.
FIG. 5 – Bobine r´eelle
12—Montrer que, sous les hypoth`eses r0 ≪Rp et L2w2 ≪R2
p, la loi exp´erimentale de l’´equation
(1) est compatible avec l’imp´edance complexe Z(w) du dipˆole de la figure 5. On exprimera Rp en
fonction de a, r0 et L et on calculera sa valeur num´erique. V´erifier a posteriori les hypoth`eses de
calcul pour des pulsations variant de 0 `a 2,00×104 rad.s−1.
13 — On consid`ere le montage de la figure 4. ´Ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant
Ie en supposant toujours que le circuit de la figure 1 soit mod´elisable en premi`ere approximation
par un dipˆole d’imp´edance Ze calcul´ee `a la question 1 mais en remplac¸ant la bobine id´eale par sa
mod´elisation ´electrocin´etique d´efinie `a la figure 5. Cette ´equation diff´erentielle sera ´etablie sans faire
les hypoth`eses de la question 12.
14 — Simplifier l’´equation diff´erentielle de la question 13 en consid´erant que simultan´ement
r0 ≪Rp et (R+Ze)≪Rp. On pr´esentera l’´equation simplifi´ee sous la forme
L
d2Ie
dt2 +RT
dIe
dt
+
1
C
Ie = 0 (2)
dans laquelle on exprimera RT en fonction de R, Ze, r0, Rp, L et C. Donner l’expression du coefficient
de qualit´e Q et de la pulsation propre w0 du circuit RT L C s´erie ´equivalent `a celui de la figure 4.
15 — Dans le cas RT < 0 et R2
T < 4L/C, exprimer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle
(2) en fonction de Q etw0. Tracer l’allure de Ie(t) correspondante. Que se passe-t-il lorsque RT →0− ?
Interpr´eter alors l’expression de RT `a l’aide de l’´equation (1).
I.F.— Stabilisation de l’amplitude des oscillations
16 — On consid`ere encore le montage de la figure 4. Dans le cas o`u la bobine `a air est une
inductance id´eale L, comment se r´e´ecrit l’´equation diff´erentielle (2) ? Que vaut alors RT ? Dans quel
type d’oscillations se trouve l’amplitude du courant Ie si RT < 0 ?
17 — On constate exp´erimentalement que sous la condition RT < 0, une oscillation d’amplitude
constante apparaˆıt apr`es un r´egime transitoire. Quelle est l’origine physique de la limitation de l’amplitude
des oscillations ? Cette limitation apparaˆıt-elle dans l’´equation diff´erentielle de la question
16 ?
18 — Afin de mieux comprendre le m´ecanisme de stabilisation de l’amplitude des oscillations,
on se propose de tenir compte du caract`ere non-lin´eaire de la caract´eristique Ve = f (Ie) ´etablie dans
la question 2. Pour ce faire, on mod´elise cette caract´eristique par un polynˆome du troisi`eme degr´e
passant par les z´eros de la caract´eristique et ayant mˆeme pente `a l’origine : d´eterminer dans ces
conditions l’expression de Ve en fonction de Ie.
19 — R´e´ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant Ie(t) en incorporant l’expression de la
caract´eristique d´etermin´ee dans la question pr´ec´edente. Interpr´eter qualitativement la stabilisation de
l’amplitude de Ie(t).
FIN DE LA PARTIE I
Page 4/6
Physique II, ann´ee 2009 — fili`ere PSI
II. —Comportement fr´equentiel d’un fil conducteur
Pour expliquer le comportement fr´equentiel de la bobine `a air,
on se propose de mod´eliser le comportement fr´equentiel du fil de
cuivre avec lequel elle est r´ealis´ee : on supposera dans cette partie
que le fil n’est pas enroul´e autour d’un cylindre pour former la bobine,
mais ´etendu en ligne droite. Pour ce faire, consid´erons (cf.
figure 6) un conducteur ohmique cylindrique de conductivit´e s ,
de rayon a, illimit´e suivant son axe de r´evolution Oz. On adopte
un syst`eme de coordonn´ees cylindriques d’axe Oz de base orthonorm
´ee directe ( b ur, cuq , b uz) : un point M est rep´er´e par ses coordonn
´ees cylindriques (r, q , z). Ce conducteur est parcouru par
un courant I(t) = I0 cos(wt) orient´e positivement dans le sens Oz
croissant. La distribution de courant correspondante est d´ecrite
par le vecteur densit´e volumique de courant
−→J (r,q , z, t) dont la
repr´esentation complexe s’´ecrit
−→J (r,q , z, t). FIG. 6 – Le fil conducteur
Dans le syst`eme de coordonn´ees cylindriques, le rotationnel d’un champ de vecteurs
−→V = Vr b ur +
Vqcuq +Vz b uz s’´ecrit
−−−→
rot
−→V =
_
1
r
¶Vz
¶q −
¶Vq
¶ z
_
b ur +
_
¶Vr
¶ z
−
¶Vz
¶ r
_
cuq +
1
r
_
¶ (rVq )
¶ r
−
¶Vr
¶q
_
b uz ,
le laplacien vectoriel d’un champ de vecteurs
−→
W =Wz b uz n’ayant qu’une composante selon b uz s’´ecrit
−−→
D−→
W =
_
¶ 2Wz
¶ r2 +
1
r
¶Wz
¶ r
+
1
r2
¶ 2Wz
¶q 2 +
¶ 2Wz
¶ z2
_
b uz .
Par ailleurs, on rappelle que pour tout champ de vecteurs
−→X :
−−−−−−−−→
rot
_−−−→
rot
−→X
_
=
−−−−−−−−→
grad
_
div
−→X
_
−
−−→
D−→X
Pour les applications num´eriques, on utilisera les valeurs suivantes :
a=2,50×10−4 m, s =5,80×107 W−1.m−1, m0 =4p ×10−7 H.m−1, eo =(36p)−1×10−9 F.m−1.
Finalement, on notera
−→E (r,q , z, t) le champ ´electrique, et
−→E (r,q , z, t) sa repr´esentation complexe,
ainsi que
−→B (r,q , z, t) le champ magn´etique et
−→B(r,q , z, t) sa repr´esentation complexe.
20 — Montrer que
−→J (r,q , z, t) ne d´epend spatialement que de la variable r. Expliquer qualitativement
pourquoi l’on recherche une distribution de courant non uniforme. Dans la suite, on ´ecrira
−→J (r,q , z, t) = J(r)ejwt buz.
21 — La pulsation w du courant sinuso¨ıdal I(t) alimentant le conducteur ´etant inf´erieure `a
2,00 × 104 rad.s−1, justifier l’utilisation de l’approximation des r´egimes quasi-stationnaires dans
la suite des questions de cette partie.
22—En pr´ecisant clairement les ´etapes de votre raisonnement, ´etablir l’´equation diff´erentielle du
second ordre v´erifi´ee par J(r). En posant
d =
s
2
m0sw , lr =
r
d , et la =
a
d ,
´etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonction G=J/J(0) de la variable lr. Calculer la valeur
maximale de l 2
a pour des pulsations variant de 0 `a 2,00×104 rad.s−1. Dans la suite du probl`eme, sur
l’intervalle de pulsations consid´er´ees, on suppose que l 2
r ≪1 d`es que r 6 a.
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Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
23 — On fait l’hypoth`ese que G(lr) est une fonction paire. On admet que la solution cherch´ee de
l’´equation diff´erentielle de la question pr´ec´edente se met sous la forme
G(lr) =
+¥
å
n=0
gn l n
r
Donner la relation liant gn et gn−2 pour tout n > 2. En d´eduire que
J(lr) = J(0) ・
_
1+
j
2
l 2
r −
1
16
l 4
r −
j
288
l 6
r +o
_
l 6
r
__
24 — En supposant dans toute la suite du probl`eme que J(0) soit en fait une quantit´e J0 r´eelle,
d´eduire de la question pr´ec´edente l’expression `a l’ordre 4 en lr du champ ´electrique complexe
−→E (r,q , z, t) `a l’int´erieur du conducteur. On donnera ´egalement l’expression r´eelle de
−→E (r,q , z, t).
25 —Montrer que la valeur moyenne temporelle de I2(t) s’´ecrit
< I2(t) >=
1
2
J0pa2_2 _
1+kl 4
a +o
l 4
a
__
o`u k est un facteur num´erique que l’on pr´ecisera.
26 — Pr´eciser, en la justifiant, la direction et la d´ependance vis `a vis des variables d’espace du
champ magn´etique
−→B (r,q , z, t). D´eterminer, `a l’int´erieur du conducteur, l’expression de la quantit´e
2
m0J0r
−→B (r,q , z, t) `a l’ordre 4 en lr (on pourra supposer que le module du champ magn´etique reste
born´e en r = 0). En d´eduire celles de
−→B (r,q , z, t) et de
−→B (r,q , z, t).
27—Que repr´esente la quantit´e
−→J ・
−→E ? Quelle est son unit´e ? D´efinir par une int´egrale (que l’on
ne cherchera pas `a calculer) la puissance Pℓ(t) c´ed´ee par le champ ´electromagn´etique `a une portion
de longueur ℓ selon Oz du conducteur ohmique.
Pour la suite du probl`eme, on admet que la valeur moyenne temporelle de Pℓ(t) s’´ecrit
< Pℓ(t) >=
1
2
pa2ℓJ2
0
s
_
1+
1
24
l 4
a +o
l 4
a
__
28—On d´efinit la r´esistance Rℓ d’une portion de longueur ℓ selon Oz du conducteur ohmique par :
Rℓ =
< Pℓ(t) >
< I2(t) >
Justifier la d´efinition choisie. Calculer `a l’ordre 4 en la l’expression de Rℓ. Donner l’expression Rℓ(w)
de Rℓ en fonction de la pulsation w du courant I(t) parcourant le conducteur ohmique. Commenter le
r´esultat et le comparer pr´ecis´ement `a l’expression de rb(w) d´efinie dans l’´equation (1). Proposer une
interpr´etation.
29 — Calculer `a l’ordre 4 en la la valeur moyenne temporelle < F > du flux du vecteur de
Poynting `a travers une portion de longueur l de la surface lat´erale du conducteur orient´ee localement
selon −b ur : on exprimera le r´esultat en fonction de J0, a, ℓ, s et d . En d´eduire `a l’ordre 4 en la, une
expression de la quantit´e < F > / < I2(t) >. Interpr´eter avec soin le r´esultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L’E´ PREUVE
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international
Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PSI.
L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le
signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e
amen´e `a prendre.
– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. Le bar`eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.
MOD´ELISATION FR´EQUENTIELLE DE DIPˆOLES
Dans tout ce probl`eme, les vecteurs sont surmont´es d’un chapeau ba s’ils sont unitaires ou d’une fl`eche
−→a sinon. Les nombres complexes sont soulign´es : z ∈ C. On notera j2 = −1.
Ce probl`eme se propose tout d’abord d’´etudier un circuit `a amplificateur op´erationnel et son application
`a l’´etude d’une bobine `a air, puis de fournir une interpr´etation du comportement fr´equentiel
de cette bobine. Plus pr´ecis´ement, il se compose deux parties tr`es largement ind´ependantes : la
premi`ere concerne l’existence et la stabilit´e des points de fonctionnement du circuit `a amplificateur
op´erationnel, l’oscillation auto-entretenue du circuit, la mod´elisation ´electrocin´etique de la bobine ;
la seconde va justifier que dans un domaine de basses et moyennes pulsations, la r´esistance d’un fil
rectiligne est une fonction quadratique de la pulsation du courant qui l’alimente.
I. — ´Etude d’un circuit `a amplificateur op´erationnel
Dans tout le probl`eme, on suppose que la seule cause de fonctionnement en r´egime non-lin´eaire d’un
amplificateur op´erationnel est la saturation de sa tension de sortie : les tensions de saturation sont
suppos´ees oppos´ees et not´ees Vsat et −Vsat .
On rappelle qu’un amplificateur op´erationnel id´eal est tel que les courants d’entr´ee i+ et i− sont
toujours nuls et que dans la zone de lin´earit´e V+−V− = 0.
Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
I.A. — ´Etude d’un dipˆole
On consid´ere le circuit de la figure 1 dans lequel l’amplificateur
op´erationnel est suppos´e id´eal.
1 — Dans l’hypoth`ese d’un fonctionnement id´eal de
l’amplificateur op´erationnel en r´egime lin´eaire, d´eterminer
l’imp´edance d’entr´ee Ze = Ve/Ie du circuit de la figure 1.
Tracer la partie de la caract´eristique Ve = f (Ie) en r´egime
lin´eaire : on exprimera les limites du domaine de validit´e de
Ve en fonction de Vsat , R2 et R3
FIG. 1 – Montage `a amplificateur
2 — Compl´eter la caract´eristique Ve = f (Ie) du circuit de la figure 1 dans les r´egions qui correspondent
`a un fonctionnement non-lin´eaire de l’amplificateur op´erationnel : on donnera les expressions
Ve = f (Ie) correspondantes en justifiant pr´ecis´ement les domaines de Ve sur lesquels elles sont valides.
On pr´ecisera les points remarquables.
I.B.— Visualisation exp´erimentale de la caract´eristique du dipˆole
On consid´ere `a pr´esent le montage de la figure 2.
Ce dernier est celui de la figure 1 auquel on a rajout
´e une r´esistance Rg et un g´en´erateur de fonction
id´eal qui d´elivre une tension E(t).
Lorsque la tension du g´en´erateur est continue
E(t) = E0 = cste, le couple (Ve, Ie) prend la valeur
(Ve0, Ie0). Ce point de la caract´eristique Ve = f (Ie)
est appel´e point de fonctionnement du circuit.
L’amplificateur op´erationnel est encore suppos´e
id´eal. FIG. 2 – Montage avec entr´ee
3 — Indiquer comment le montage de la figure 2 permet une visualisation `a l’oscilloscope de la
caract´eristique Ve = f (Ie) : on pr´ecisera les branchements `a effectuer et les ´eventuelles pr´ecautions
mat´erielles `a prendre.
4— ´Etudier en fonction de la valeur de Rg, les diff´erentes possibilit´es pour le point de fonctionnement
du circuit dans le cas E0 = 0V.
I.C. —Stabilit´e du point de fonctionnement
Lorsque l’on r´ealise exp´erimentalement le montage de la figure 2 avec E = 0V et Rg < R1R3/R2,
on constate que le point de fonctionnement du montage se trouve arbitrairement soit en un point
M(Ie01 ,Ve01) associ´e `a un courant Ie01 n´egatif, soit en un point P(Ie02 ,Ve02) associ´e `a un courant Ie02
positif. Ces deux points sont distincts et pr´esentent la propri´et´e d’ˆetre sym´etriques l’un de l’autre par
rapport `a l’origine O du plan (Ie, Ve).
5 — Dans quel r´egime se trouve l’amplificateur op´erationnel si le point de fonctionnement du
montage est situ´e en M ou en P ? On justifiera la r´eponse en pr´ecisant les coordonn´ees de ces points.
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Physique II, ann´ee 2009 — fili`ere PSI
Pour expliquer que les seuls points de fonctionnement accessibles
soient les points M ou P lorsque Rg < R1R3/R2 et E = 0V, on ne
peut plus supposer que l’amplificateur op´erationnel soit de gain
infini. Dans le r´egime lin´eaire, on peut le mod´eliser comme indiqu
´e sur la figure 3 : les courants d’entr´ee i+ et i− sont toujours
nuls,mais e (t)=V+−V− 6=0. Dans ce r´egime et pour des signaux
sinuso¨ıdaux, on peut mod´eliser l’amplificateur op´erationnel par
une relation entre les repr´esentations complexes de e (t) et VS(t) :
FIG. 3 – Amplificateur op´erationnel
r´eel
6 — Rappeler les ordres de grandeurs des constantes A0 et f0 = w0/2p pour un amplificateur
op´erationnel usuel. En utilisant la mod´elisation de l’amplificateur op´erationnel d´efinie par la figure 3,
´etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee en r´egime lin´eaire par le courant Ie(t) du montage de la figure
2 dans le cas o`u E(t) = 0V. On utilisera les param`etres A0, w0, Rg, R1 et A = R3/(R2+R3).
7—En prenant en compte le fait que AA0≫1, montrer que, l’´equation diff´erentielle de la question
6 permet de justifier l’observation exp´erimentale relative aux points de fonctionnement. Expliquer
qualitativement, comment s’´etablit le basculement vers M ou P.
I.D.—R´ealisation d’un oscillateur
L’amplificateur op´erationnel est `a nouveau suppos´e id´eal.
On adjoint maintenant au circuit de la figure 1 une
r´esistance R, un condensateur C et une bobine id´eale d’inductance
L pour obtenir le montage de la figure 4.
8 — ´Ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant
Ie traversant la r´esistance R en supposant que le circuit de la
figure 1 soit mod´elisable en premi`ere approximation par un
dipˆole d’imp´edance Ze calcul´ee `a la question 1.
9 — `A quelle condition le montage de la figure 4
est-il le si`ege d’une oscillation purement sinuso¨ıdale ?
Que vaut alors la fr´equence fc d’oscillation ? La condition
pr´ec´edente n’´etant jamais rigoureusement r´ealisable
exp´erimentalement, indiquer `a quelle condition on constate
effectivement le d´emarrage d’une oscillation.
FIG. 4 – Oscillateur `a amplificateur
op´erationnel
10 — En fait, la bobine pr´esente dans le montage de la figure 4 est une bobine `a air de r´esistance
rb et d’inductance L. Quelle est l’origine physique du terme de r´esistance rb ?
On constate exp´erimentalement que la valeur de la r´esistance rb de la bobine `a air d´epend de la
pulsation w du courant sinuso¨ıdal qui la parcourt. Dans un domaine de basse et moyenne pulsation,
la d´ependance fr´equentielle de rb s’´ecrit :
rb(w) = r0
1+a w2_
(1)
Typiquement, pour une bobine `a air d’inductance ´egale `a 100 mH comprenant 1000 spires r´eparties
sur plusieurs couches, la loi pr´ec´edente est tr`es bien v´erifi´ee pour w < 2,00 × 104 rad.s−1 ; on trouve
exp´erimentalement r0 = 92,0 W et a = 5,00 × 10−10 s2.
11—Comment pourrait-on, `a l’aide du montage de la figure 4, valider la d´ependance quadratique
en la pulsation de rb(w) ? On d´ecrira avec soin le protocole exp´erimental propos´e. Estimer la variation
relative de la r´esistance rb de la bobine `a air pr´ec´edente compos´ee de 1000 spires pour des pulsations
variant de 0 `a 2,00 × 104 rad.s−1.
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Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
I.E.— Mod´elisation ´electrocin´etique de la bobine
On souhaite traduire le comportement fr´equentiel de la bobine
de la figure 4 par la mod´elisation ´electrocin´etique de
la figure 5. On fixe r0 = 92,0 W, L = 100 mH, le param`etre
de cette mod´elisation ´etant l’expression et la valeur de la
r´esistance Rp.
FIG. 5 – Bobine r´eelle
12—Montrer que, sous les hypoth`eses r0 ≪Rp et L2w2 ≪R2
p, la loi exp´erimentale de l’´equation
(1) est compatible avec l’imp´edance complexe Z(w) du dipˆole de la figure 5. On exprimera Rp en
fonction de a, r0 et L et on calculera sa valeur num´erique. V´erifier a posteriori les hypoth`eses de
calcul pour des pulsations variant de 0 `a 2,00×104 rad.s−1.
13 — On consid`ere le montage de la figure 4. ´Ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant
Ie en supposant toujours que le circuit de la figure 1 soit mod´elisable en premi`ere approximation
par un dipˆole d’imp´edance Ze calcul´ee `a la question 1 mais en remplac¸ant la bobine id´eale par sa
mod´elisation ´electrocin´etique d´efinie `a la figure 5. Cette ´equation diff´erentielle sera ´etablie sans faire
les hypoth`eses de la question 12.
14 — Simplifier l’´equation diff´erentielle de la question 13 en consid´erant que simultan´ement
r0 ≪Rp et (R+Ze)≪Rp. On pr´esentera l’´equation simplifi´ee sous la forme
L
d2Ie
dt2 +RT
dIe
dt
+
1
C
Ie = 0 (2)
dans laquelle on exprimera RT en fonction de R, Ze, r0, Rp, L et C. Donner l’expression du coefficient
de qualit´e Q et de la pulsation propre w0 du circuit RT L C s´erie ´equivalent `a celui de la figure 4.
15 — Dans le cas RT < 0 et R2
T < 4L/C, exprimer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle
(2) en fonction de Q etw0. Tracer l’allure de Ie(t) correspondante. Que se passe-t-il lorsque RT →0− ?
Interpr´eter alors l’expression de RT `a l’aide de l’´equation (1).
I.F.— Stabilisation de l’amplitude des oscillations
16 — On consid`ere encore le montage de la figure 4. Dans le cas o`u la bobine `a air est une
inductance id´eale L, comment se r´e´ecrit l’´equation diff´erentielle (2) ? Que vaut alors RT ? Dans quel
type d’oscillations se trouve l’amplitude du courant Ie si RT < 0 ?
17 — On constate exp´erimentalement que sous la condition RT < 0, une oscillation d’amplitude
constante apparaˆıt apr`es un r´egime transitoire. Quelle est l’origine physique de la limitation de l’amplitude
des oscillations ? Cette limitation apparaˆıt-elle dans l’´equation diff´erentielle de la question
16 ?
18 — Afin de mieux comprendre le m´ecanisme de stabilisation de l’amplitude des oscillations,
on se propose de tenir compte du caract`ere non-lin´eaire de la caract´eristique Ve = f (Ie) ´etablie dans
la question 2. Pour ce faire, on mod´elise cette caract´eristique par un polynˆome du troisi`eme degr´e
passant par les z´eros de la caract´eristique et ayant mˆeme pente `a l’origine : d´eterminer dans ces
conditions l’expression de Ve en fonction de Ie.
19 — R´e´ecrire l’´equation diff´erentielle r´egissant le courant Ie(t) en incorporant l’expression de la
caract´eristique d´etermin´ee dans la question pr´ec´edente. Interpr´eter qualitativement la stabilisation de
l’amplitude de Ie(t).
FIN DE LA PARTIE I
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Physique II, ann´ee 2009 — fili`ere PSI
II. —Comportement fr´equentiel d’un fil conducteur
Pour expliquer le comportement fr´equentiel de la bobine `a air,
on se propose de mod´eliser le comportement fr´equentiel du fil de
cuivre avec lequel elle est r´ealis´ee : on supposera dans cette partie
que le fil n’est pas enroul´e autour d’un cylindre pour former la bobine,
mais ´etendu en ligne droite. Pour ce faire, consid´erons (cf.
figure 6) un conducteur ohmique cylindrique de conductivit´e s ,
de rayon a, illimit´e suivant son axe de r´evolution Oz. On adopte
un syst`eme de coordonn´ees cylindriques d’axe Oz de base orthonorm
´ee directe ( b ur, cuq , b uz) : un point M est rep´er´e par ses coordonn
´ees cylindriques (r, q , z). Ce conducteur est parcouru par
un courant I(t) = I0 cos(wt) orient´e positivement dans le sens Oz
croissant. La distribution de courant correspondante est d´ecrite
par le vecteur densit´e volumique de courant
−→J (r,q , z, t) dont la
repr´esentation complexe s’´ecrit
−→J (r,q , z, t). FIG. 6 – Le fil conducteur
Dans le syst`eme de coordonn´ees cylindriques, le rotationnel d’un champ de vecteurs
−→V = Vr b ur +
Vqcuq +Vz b uz s’´ecrit
−−−→
rot
−→V =
_
1
r
¶Vz
¶q −
¶Vq
¶ z
_
b ur +
_
¶Vr
¶ z
−
¶Vz
¶ r
_
cuq +
1
r
_
¶ (rVq )
¶ r
−
¶Vr
¶q
_
b uz ,
le laplacien vectoriel d’un champ de vecteurs
−→
W =Wz b uz n’ayant qu’une composante selon b uz s’´ecrit
−−→
D−→
W =
_
¶ 2Wz
¶ r2 +
1
r
¶Wz
¶ r
+
1
r2
¶ 2Wz
¶q 2 +
¶ 2Wz
¶ z2
_
b uz .
Par ailleurs, on rappelle que pour tout champ de vecteurs
−→X :
−−−−−−−−→
rot
_−−−→
rot
−→X
_
=
−−−−−−−−→
grad
_
div
−→X
_
−
−−→
D−→X
Pour les applications num´eriques, on utilisera les valeurs suivantes :
a=2,50×10−4 m, s =5,80×107 W−1.m−1, m0 =4p ×10−7 H.m−1, eo =(36p)−1×10−9 F.m−1.
Finalement, on notera
−→E (r,q , z, t) le champ ´electrique, et
−→E (r,q , z, t) sa repr´esentation complexe,
ainsi que
−→B (r,q , z, t) le champ magn´etique et
−→B(r,q , z, t) sa repr´esentation complexe.
20 — Montrer que
−→J (r,q , z, t) ne d´epend spatialement que de la variable r. Expliquer qualitativement
pourquoi l’on recherche une distribution de courant non uniforme. Dans la suite, on ´ecrira
−→J (r,q , z, t) = J(r)ejwt buz.
21 — La pulsation w du courant sinuso¨ıdal I(t) alimentant le conducteur ´etant inf´erieure `a
2,00 × 104 rad.s−1, justifier l’utilisation de l’approximation des r´egimes quasi-stationnaires dans
la suite des questions de cette partie.
22—En pr´ecisant clairement les ´etapes de votre raisonnement, ´etablir l’´equation diff´erentielle du
second ordre v´erifi´ee par J(r). En posant
d =
s
2
m0sw , lr =
r
d , et la =
a
d ,
´etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonction G=J/J(0) de la variable lr. Calculer la valeur
maximale de l 2
a pour des pulsations variant de 0 `a 2,00×104 rad.s−1. Dans la suite du probl`eme, sur
l’intervalle de pulsations consid´er´ees, on suppose que l 2
r ≪1 d`es que r 6 a.
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Mod´elisation fr´equentielle de dipˆoles
23 — On fait l’hypoth`ese que G(lr) est une fonction paire. On admet que la solution cherch´ee de
l’´equation diff´erentielle de la question pr´ec´edente se met sous la forme
G(lr) =
+¥
å
n=0
gn l n
r
Donner la relation liant gn et gn−2 pour tout n > 2. En d´eduire que
J(lr) = J(0) ・
_
1+
j
2
l 2
r −
1
16
l 4
r −
j
288
l 6
r +o
_
l 6
r
__
24 — En supposant dans toute la suite du probl`eme que J(0) soit en fait une quantit´e J0 r´eelle,
d´eduire de la question pr´ec´edente l’expression `a l’ordre 4 en lr du champ ´electrique complexe
−→E (r,q , z, t) `a l’int´erieur du conducteur. On donnera ´egalement l’expression r´eelle de
−→E (r,q , z, t).
25 —Montrer que la valeur moyenne temporelle de I2(t) s’´ecrit
< I2(t) >=
1
2
J0pa2_2 _
1+kl 4
a +o
l 4
a
__
o`u k est un facteur num´erique que l’on pr´ecisera.
26 — Pr´eciser, en la justifiant, la direction et la d´ependance vis `a vis des variables d’espace du
champ magn´etique
−→B (r,q , z, t). D´eterminer, `a l’int´erieur du conducteur, l’expression de la quantit´e
2
m0J0r
−→B (r,q , z, t) `a l’ordre 4 en lr (on pourra supposer que le module du champ magn´etique reste
born´e en r = 0). En d´eduire celles de
−→B (r,q , z, t) et de
−→B (r,q , z, t).
27—Que repr´esente la quantit´e
−→J ・
−→E ? Quelle est son unit´e ? D´efinir par une int´egrale (que l’on
ne cherchera pas `a calculer) la puissance Pℓ(t) c´ed´ee par le champ ´electromagn´etique `a une portion
de longueur ℓ selon Oz du conducteur ohmique.
Pour la suite du probl`eme, on admet que la valeur moyenne temporelle de Pℓ(t) s’´ecrit
< Pℓ(t) >=
1
2
pa2ℓJ2
0
s
_
1+
1
24
l 4
a +o
l 4
a
__
28—On d´efinit la r´esistance Rℓ d’une portion de longueur ℓ selon Oz du conducteur ohmique par :
Rℓ =
< Pℓ(t) >
< I2(t) >
Justifier la d´efinition choisie. Calculer `a l’ordre 4 en la l’expression de Rℓ. Donner l’expression Rℓ(w)
de Rℓ en fonction de la pulsation w du courant I(t) parcourant le conducteur ohmique. Commenter le
r´esultat et le comparer pr´ecis´ement `a l’expression de rb(w) d´efinie dans l’´equation (1). Proposer une
interpr´etation.
29 — Calculer `a l’ordre 4 en la la valeur moyenne temporelle < F > du flux du vecteur de
Poynting `a travers une portion de longueur l de la surface lat´erale du conducteur orient´ee localement
selon −b ur : on exprimera le r´esultat en fonction de J0, a, ℓ, s et d . En d´eduire `a l’ordre 4 en la, une
expression de la quantit´e < F > / < I2(t) >. Interpr´eter avec soin le r´esultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L’E´ PREUVE
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