Search This Blog

جارٍ التحميل...

تصحيح شبرد

        Sheppard's Correction
   نشير أيضا الى ان حساب الانحراف المعيارى من جداول التوزيع التكرارى يؤدى إلى نتيجة غير دقيقة مما أدى إلى اقتراح شيبرد معامل التصحيح للانحراف المعيارى
وهو طرح             من قيمة التباين المحسوب من الجداول التكرارى حتى نحصل على تقدير أكثر دقة للانحراف المعيارى المحسوب لنفس الدرجات الاصلية قبل وضعها فى جدول توزيع تكرارى
وعند تطبيق معامل التصحيح لتقدير الانحراف المعيارى لبيانات التوزيع التكرارى المذكور نحصل على
الانحراف المعيارى (المصحح) =     110.71-

110.71 – 1.33 =   109.38
وتكون ع = 10.46
              مميزات وعيوب الانحراف المعيارى
أولا:مميزات الانحراف المعيارى
       لا يتأثر الانحراف المعيارى باضافة (أو طرح) مقدار ثابت من الدرجات بينما يتأثر المتوسط الحسابى بنفس القيمة الاضافة (الطرح)
       يستخدم فى حساب بعض الاحصاءات الاخرى مثل معامل الاختلاف ومقاييس الالتواء
       تتأثر قيمته بكل مفردة فى العينة
       يعتمد على طرق رياضية سليمة كما يخضع للعمليات الرياضية
       من خواص الانحراف المعيارى أن ضرب الدرجات فى أو قسمنها على مقدار ثابت ينتج عنه ضرب الانحراف المعيارى فى او قسمته على نفس المقدار الثابت.
       قيمة الانحراف المعيارى لمجموعة من الدرجات أقل من متوسطها الحسابى وفى حال التوزيع الاعتدال للدرجات يكون المتوسط اكبر من ثلاثة أمثال الانحراف المعيارى. وكلما قلت النسبة عن ذلك ادت إلى التواء فى توزيع الدرجات. اما اذا كان الانحراف المعيارى أكبر من المتوسط فهذا دليل أكيد على التواء التوزيع. ويلاحظ أيضا ان مدى الدرجات فى التوزيع لاعتدال يساوى ستة أمثال الانحراف المعيارى، اما التوزيعات الاخرى (غير الاعتدالية) فيكون الانحراف المعيارى على الاقل نصف المدى الا اذا لم يكن هناك تشتت للدرجات.
       أكثر المقاييس الاحصائية استخداما وأكثرهم اهمية فهو يدخل فى بنية كثير من معادلات التوزيعات الاحتمالية.
       تعتبر قيمته متوسطة تقريبا فى الحجم بين قيم الانحرافات عن المتوسط.
       يمكن اعتباره مقياس للحدود التى تنحرف بها مفردات العينة عن المتوسط.
      ثانيا: عيوب الانحراف المعيارى
       لا يمكن ايجاده بيانيا
       يحتاج إلى عمليات كثيرة لحسابه
       لا يمكن استخدامه فى مقارنة تشتت عينتين اذا اختلفت وحدات القياس المستعملة لان تمييز الانحراف المعيارى هو نفسه تميز العينة المحسوبة فيها.
       لا يمكن مقارنة عينتين تختلفان عن بعضهما اختلاف كبيرا فى المتوسط الحسابى بسبب تأثر قيمته بالمتوسط الحسابى للعينة
       يتأثر الانحراف المعيارى بالقيم المتطرفة مثل المتوسط الحسابى.

5-التباين:-
       يعرف التباين بأنه متوسط مربعات إنحرافات الدرجات عن المتوسط ويعتبر أدق مقاييس التشتت ومبنى على نفس الأساس الذى بنى عليه الإنحراف المتوسط .
والتباين هو مربع الإنحراف المعيارى أى أن
التباين = ع2
الإنحراف المعيارى ع =             

التباين  ع =           =                     
     وبسبب اعتماد التباين المباشر على الإنحراف  المعيارى فإنه يعتبر من :
-      أهم مقاييس التشتت.
-      يصلح لقياس الفروق الجماعية بين الأنواع المختلفة للتوزيعات التكرارية ، كحساب الفروق بين مستويات تحصيل الطلاب والطالبات فى أى مقرر دراسى أو بالنسبة لدرجات أى قدرة من القدرات  العقلية ويسمى هذا النوع من التحليل بتحليل التباين.
مثال :-احسب التباين بين مجموعتين من الأفراد فى مستوى أدائهم على جهات يستخدم فى القياس السيكو حركى . وكان متوسط أدائهم 60 ، 50 على الترتيب بإنحراف معيارى ع1 = 3 ، ع2 = 2 .
الحــل
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الأولى ع1 = 3 ، ع2=9
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الثانية ع2 = 2 ، ع2 = 4

النسبة الفائية =                            =      = 2.25

وهذا يعنى أن درجة التشتت للمجموعة الأولى تختلف عن درجة التشتت للمجموعة الثانية .
-      معامل الإختلاف :-
     يعرف معامل الإختلاف بأنه مقياس يمثل نسبة مئوية للمقارنة بين تشتت مجموعتين أو أكثر.
وينتج معامل الإختلاف من قسمة الإنحراف المعيارى على المتوسط الحسابى مضروباً فى 100. وقد تنشأ الحاجة إلى معامل الإختلاف لتلافى اختلاف وحدات القياس بين المجموعات مثل الطول الذى يقاس بالسنتيمتر والوزن بالكيلو جرام ) أو اختلاف المتوسط الحسابى.كذلك يستخدم معامل الإختلاف لمعرفة مدى التشابه أو الإختلاف بين مجموعة من القيم.
      طرق حساب معامل الإختلاف :-
    أ- معامل الإختلاف المعيارى          ويصلح للجداول المقفولة فقط .
معامل الإختلاف المعيارى =                                  × 100

                        =       × 100
    ب- معامل الإختلاف الربيعى ويصلح للجداول المفتوحة والمقفولة
معامل الإختلاف الربيعى =                                         × 100
                       
                        =                × 100
مثال :- أوجد معامل الإختلاف المعيارى بمعلومية الإنحراف المعيارى الذى يساوى=8 والمتوسط الحسابى = 32 ؟
الحــل
معامل الإختلاف =        × 100
                =        × 100= 25%
مثال :- أوجد معامل الإختلاف الربيعى بمعلومية الربيع الأعلى = 30 والربيع الأدنى= 20 ؟
الحــل
معامل الإختلاف الربيعى =               × 100
                       
                        =                × 100 = 20%
مثال :- احسب معامل الإختلاف للدرجات التالية .
3 ، 2 ، 4 ، 5 ، 6 .
الحــل
م =          =                                =           = 4

ع =              - (م)2    =                - (4)2  =     2

معامل الإختلاف =            ×100= 0.3153
المئينيات Percentiles
     يقصد بالميئنيات تلك الدرجات التى يمكن عندها تقسيم التوزيع التكرارى إلى نسب مئوية معينة ، فالمئين 50 (وهو الوسيط أو الربيع الثانى ) يمكن عنده تقسيم التوزيع إلى نصفين . أما المئين 25 ( وهو الربيع الأول ) فيقسم التوزيع إلى ربع ( 25%) وثلاثة أرباع (75%) .
ويعرف المئين بالنسبة المئوية للدرجات التى تساوى أو تزيد عن درجة معينة . وتستخدم الميئنيات بكثرة فى القياس النفسى والتربوى ، حيث تعد أشهر أنواع المعايير فى تقنين الإختبارات .
طرق حساب المئين :-
يحسب المئنين بنفس طريقة حساب الوسيط والربيع من الخطوات الآتية :-
1-     يعتمد على ترتيب الدرجات تصاعدياً (أو تنازلياً) .
2-     حساب ترتيب المئين .
3-     حساب قيمة المئين بطريقة الإستكمال.
وتحسب المئينيات عادة من توزيعات التكرارية ، كما أنه يمكن حسابها من الدرجات العادية بنفس طريقة حساب نصف المدى الربيعى .


مثال :- احسب المئين للتوزيع التكرارى الآتى :-
الفئات  التكرار الحدود الحقيقة للفئات
                نتبع نفس خطوات حساب الربيع
فالمئين 20 رتبته =             × 50 = 10 وتقع قيمته فى الفئة
(17.5-20.5 ) وهى

قيمة المئين 20 = الحد الأدنى لفئة المئنين +                                                 × طول الفئة
                = 17.5 +                × 3 = 17.5 + 1.67 = 19.17
وتعنى الدرجة 19.17 أنها أفضل من 20 % من درجات التوزيع
وكذلك المئين 65 رتبته هى              ×50 = 32.5
وتكون قيمة المئين 65 فى الفئة (23.5 – 26.5 )
= 23.5 +                     × 3 = 23.5 + 1.5 = 25 ومعنى هذا أن الدرجة 25 أفضل من 65% من درجات التوزيع .
والمئين 10 رتبته هى              ×50 = 5

وقيمة المئين 10 = 14.5 +                   × 3 = 14.5 + 3 = 17.5
والمئين 90 رتبته =           ×50 = 45
وقيمة المئين 90 = 26.5 +                 × 3
                = 26.5 +           = 26.5 + 2.625 = 29.125
ويستخدم الفرق بين المئين 90 والمئين 10 كمقياس للتشتت
وهو 29.125 – 17.5 = 11.65
وعلى غرار المئينيات يمكن حساب ما يسمى بالاعشاريات ، وهى مسمى لكل 10 % بمعنى أنه يوجد العشر الأول (المئين 10 ) والعشر الثانى (المئين 20 ) والعشر الثالث (المئين 30 ) وهكذا حتى العشر التاسع (المئين 90) ومن ذلك يتضح أن المئين 50 وهو العشير الخامس وهو أيضا الربيع أو الوسيط .
وطريقة الحساب لكل من ذلك هى طريقة الأستكمال المستخدمة فى حساب الوسيط و الأرباعيات والمئينيات .
كيف يختار الباحث مقياس للتشتت المناسب عند تحليل البيانات ؟
هناك عدد من الإعتبارات  يجب أن يأخذ بها الباحث عند إختياره لمقياس التشتت الذى يناسب موقفا معينا أو بيانات معينة هى :-
1- حساسية المقياس لتذبذب العينات بمعنى ثبوت القيمة النسبية للمقياس للعينات المسحوبة من نفس المجتمع الأصلى ، فإذا كانت العينات مسحوبة بطريقة عشوائية ، فإنه يمكن ترتيب مقياس التشتت من حيث مدى حساسيتها لتذبذب العينات من الأكثر ثباتا إلى الأقل ثباتا كما يلى :-
الإنحراف المعيارى – الإنحراف المتوسط – نصف المدى الربيعى – المدى المطلق وينعكس هذا الترتيب من حيث سرعة وسهولة على حساب مقياس التشتت.
2- إذا كان الباحث مهتما بحساب مقاييس إحصائية آخرى لمجموعة بياناته مثل تقدير متوسط المجتمع الأصلى أو دلالة الفروق بين متوسطات أو حساب معاملات الإرتباط وما شابه ذلك فإن الإنحراف المعيارى يفضل على جميع مقاييس التشتت الأخرى .
3- ويمكن للباحث أن يختار بين الإنحراف المعيارى ، والإنحراف المتوسط نظراً لان  لان الإنحراف المعيارى يعتمد على مجموع مربعات الإنحرافات عن المتوسط ، فإنه يعطى وزناً أكبر للانحرافات المتطرفة ، فإذا كان التوزيع يحتوى على عدد كبير من القيم المتطرفة فى إتجاه أو فى إتجاهين  ، ربما يستخدم الباحث الإنحراف المتوسط وبخاصة إذا كان التوزيع ملتو إلتواء شديد .
4- أما نصف المدى الربيعى فهو لا يدخل فى حساب القيم المتطرفة ، ويفضل أحيانا لهذا السبب على الإنحراف المعيارى والإنحراف المتوسط ، وهو يهتم بدرجة أكبر بالقيم الوسطى .
5- فإذا ما استخدم الباحث الوسيط كمقياس للنزعة المركزية يكون من الطبيعى أن يستخدم نصف المدى الربيعى كمقياس للتشتت فكلاهما يعتمد على نفس القواعد وإذا كان التوزيع ناقصاً أو مبتوراً أو يحتوى على قيم غير محدودة . فإن نصف المدى الربيعى يكون هو مقياس التشتت المناسب.


         طرق حساب مدى التواء التوزيع التكرارى أو درجات تفرطحة .
معامل الإلتواءSkeweness 
   يستخدم معامل الإلتواء للحكم على شكل التوزيع التكرارى أو المنحنى التكرارى ، حيث يمكن معرفة مدى ابتعاد التوزيع التكرارى  عن التوزيع الإعتدالى . ويدل معامل الإلتواء على درجة تماثل المنحنى أو البعد عن هذا التماثل . فإذا كان منحنى التوزيع التكرارى غير متماثل حول متوسطه الحسابى فيكون أحد طرفى المنحنى بأنه موجب الإلتواء ، أما إذا كان طرف المنحنى الأيسر أطول من طرفه الأيمن فإن المنحنى يميل نحو القيم الكبيرة  ويكون المنحنى سالب الإلتواء .
وفى حالة ارتفاع قيمة المتوسط الحسابى عن الوسيط والمنوال يكون التوزيع ملتو التواء موجبا ، أما فى حالة ارتفاع قيمة المنوال والوسيط عن المتوسط الحسابى يكون التوزيع ملتو التواء سالبا.
وأبسط الطرق لحساب الألتواء تعتمد على القانون الأتى :-
معامل الإلتواء =                                      وهى تلك المعادلة التى توصل اليها سبيرمان.
مثال :- إذا كان متوسط درجات ذكاء مجموعة من الأطفال 95.38 والوسيط 90.18 والإنحراف المعيارى 19.52 أحسب معامل الإلتواء؟
الحـل
معامل الإلتواء=                                   
        = 0.80
ونظرا لان هذه القيمة كبيرة وتقترب من الواحد الصحيح ، فهذا يدل على أن هذا التوزيع ملتو ، حيث أن قيمة معامل الإلتواء موجبة فيكون ذلك ممتد أكثر نحو اليمين.
وتتراوح قيمة معامل الإلتواء بين + 3 إلى -3 أما معامل الإلتواء المنحنى الإعتدالى فهو يساوى الصفر.
وأحيانا نستخدم نفس المعادلة السابقة لحساب معامل الإلتواء دون استخدام الرقم 3 وتكون بذلك على النحو التالى :

معامل الإلتواء=                                 
وهنا يتراوح معامل الإلتواء بين +1 ، -1 .
أما فى حالة عدم إمكانية حساب المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى (كما فى حالة البيانات الترتيبية ) فيمكن حساب معامل الإلتواء بإستخدام الوسيط والإرباعيات .
ويكون معامل الإلتواء الربيعى =                                            

        =                                =                                   
وتتراوح قيمته بين +1 ، -1 .
-      المعادلة الأكثر دقة فى حساب معامل الإلتواء =                      

=                            ولكنها صعبة الإستخدام وهى معادلة مستخدمة فى برنامج spss .
ويختلف معامل الإلتواء الربيعى عن معامل التواء فيما يلى :-
1 – يمكن إيجاد معامل الإلتواء الربيعى بالرسم أما معامل الإلتواء فلا يمكن حسابه بالرسم لاعتماد على المتوسط الحسابى الذى لا يمكن إيجاده بالرسم .
2- تنحصر قيمة معامل الإلتواء الربيعى بين+1 ، -1 أما معامل الإلتواء فتنحصر قيمته بين +3 ، -3 .
3- يستخدم للجداول المفتوحة والمقفولة أما معامل الإلتواء فيستخدم فى الجداول المقفولة فقط (لان المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى غير موجودان فى الجداول المفتوحة).
لاحظ أن معامل الإلتواء بإستخدام المتوسط الحسابى والوسيط والإنحراف المعيارى أدق من حسابه من الأرباعيات والوسيط .
- ومعامل الإلتواء أكثر أهمية من معامل التفرطح مما يستلزم مدى دلالة التواء التوزيع بقسمة معامل الإلتواء على الخطأ المعيارى لمعامل الإلتواء وهو                 وبحث دلالة الناتج .
يستفاد من معامل الإلتواء فى أمرين هما :
1-     معرفة نوعية التواء التوزيع التكرارى ، فإذا كان معامل الإلتواء موجباً ، فمعنى ذلك أن المتوسط الحسابى أكبر من الوسيط ، وأن الطرف الأيمن ممتد أكثر ، وبالتالى يكون الإلتواء نحو اليمين . أما إذا كان الإلتواء سالبا فهذا يعنى أن الإلتواء نحو اليسار والطرف الأيسر هو الممتد أكثر.
2-     مقارنة التواء توزيعين أو مجموعتين من البيانات ، فالمجموعة التى معامل الإلتواء لها أكبر يكون توزيعها ملتويا أكثر من توزيع المجموعات الآخرى .
منحنى متماثل         منحنى ملتو ناحية اليسار                  منحنى ملتو ناحية اليمين
المتوسط = الوسيط = المنوال  سَ أصغر المنوال                            سَ أكبر من المنوال
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء.
الوسيط = 58    المتوسط الحسابى = 60   الانحراف المعيارى = 4.2
الحل
معامل الالتواء =                                 =                     =1.4 
 مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الوسيط = 7   الربيع الاعلى = 8.83   والربيع الادنى = 5.37
الحل
معامل الالتواء الربيعى =                               
                                         = 0.057
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الإنحراف المعيارى = 8  ، المنوال = 25 ، المتوسط الحسابى = 24
الحل
معامل الإلتواء=                                =               = -0.125  

نصف المدى الربيعى

* نصف المدى الربيعى Semi interquartile Range   
نظراً لاعتماد المدى على القيم المتطرفة مما أدى إلى عدم مصداقية نتائجه فى المقارنة حاول علماء الاحصاء التنازل عن ذلك والتخلص من القيم المتطرفة بطريقة موضوعية وذلك بتقسيم البيانات إلى أربعة أقسام باستخدام ثلاثة حدود فاصلة تسمى الأرباعيات فالحد الفاصل الأول يسمى بالربيع الأدنى أو الأصغر ويصغره 25% من البيانات و الحد الفاصل الثانى  يسمى بالربيع الثانى (الوسيط) ويصغره 25% من البيانات. أما الحد الفاصل الثالث فيسمى بالربيع الثالث ويصغره 75% من البيانات.
ويعرف نصف المدى الربيعى بمنتصف الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول ويمكن تمثيل ذلك بالشكل التخطيطى التالى
                    25%  س1    25%     س2   25%     س3  25%

                الربيع الأول      الربيع الثانى     الربيع الثالث
يلاحظ أننا قسمنا مجموعة القيم إلى أرباع وحصلنا على أربعة أرباع. وتسمى النقطة التى تفصل بين كل ربع وربع آخر بالارباعى أو الربيع.
فالربيع الأول          هو القيمة التى يقع تحتها ربع القيم
الربيع الثانى           يساوى الوسيط        
الربيع الثالث   هو القيمة التى يقع تحتها ثلاثة أرباع العلامات وفوقها الربع الرابع
ويسمى الفرق بين الربيع الثالث (الربيع الأعلى) والربيع الأول (الربيع الأدنى) بالحد الربيعى.
نصف المدى الربيعى =
أو
نصف المدى الربيعى (الانحراف الربيعى) =
س2           الارباعى الثالث
س1           الارباعى الأول
بمعنى أن نصف المدى الربيعى هو نصف الفرق بين الارباعى الثالث والارباعى الأول.
أحيانا نستخدم مصطلح الارباعى الأدنى (أو الأول) بدلا من الربيع الأول ومصطلح الاباعى الأعلى (أو الثالث) بدلا من الربيع الثالث.
وإذا قمنا باستخدام قيم الربيع الأول والوسيط (الربيع الثانى) والربيع الثالث ورسمنا خطوط فاصلة رأسية
                        الربيع      الوسيط     الريع الأول
                        الثالث     أو الربيع الثانى
ويعد المدى الربيعى هو الفرق بين قمتى الربيع الثالث والربيع الأول أما نصف المدى الربيعى فينتج من قسمة هذا الفرق على اثنين. ويعد نصف المدى الربيعى مقياس هام للتشتت فى حالة التوزيعات الملتوية وفى حالة البيانات الترتيبية. ويتطلب حساب نصف المدى الربيعى معرفة قيمة كلا من الربيع الأول والربيع الثالث.
* خطوات حساب نصف المدى الربيعى
1- نحسب رتبى الارباعيين الأول والثالث.
ترتيب الارباعى الأول =
ترتيب الارباعى الثالث =
حيث ن عدد المفردات أو مجموع التكرارات.
2- نحسب قيمة الارباعيين الأول والثالث.
وتستخدم المعادلة التالية فى تحديد قيمة الربيع الأول
(ر1) وقيمة الربيع الثالث (ر3)
الربيع = الحد الأدنى للفئة الربيعية +                                                × طول الفئة
3- نحسب نصف المدى الربيعى =
مثال: احسب نصف المدى الربيعى للدرجات الآتية:
15، 23، 14، 25، 17، 21، 18، 5، 7، 9، 12، 15

   الحل
1- ترتيب القيم ترتيبا تصاعديا أو تنازليا
5، 7، 9، 12، 14، 15، 15، 17، 18، 21، 23، 25
2- نحسب رتبة الارباعى الأول وهو يساوى
رتبة الربع الأول =            =           = 3
الربيع الأول حد فاصل يصغره 25% من عدد القيم وبذلك يقع بين 9، 12 لأن القيمة التى رتبتها 3(ربع عدد القيم) أى القيمة الثالثة 9 والقيمة الرابعة 12 لذا نقول أن الربيع الأول يبعد عن القيمة 9 بمقدار                المسافة الفاصلة بين 9، 12
وحيث أن المسافة الفاصلة بين 9، 12 ثلاث وحدات
         المسافة الفاصلة = 3×        =          = 0.75
رتبة الربيع الثالث= 
الربيع الأول (ر¬1) = 9+0.75 = 9.75
3- نحسب رتبة الربيع الثالث والذى يساوى
رتبة الربيع الثالث =             = 9
حيث أن الربيع الثالث هو حد فاصل يصغره 75% من عدد القيم وبذلك يقع هذا الربيع بين 18، 21.
الربيع الثالث يبعد عن القيمة 18 بمقدار        المسافة الفاصلة بين 18، 21
         المسافة الفاصلة = 3 ×         =          = 2.25
الربيع الثالث = 18 + 2.25 = 20.25
4- نحسب نصف المدى الربيعى بالقانون
                   =                     =            = 5.25
مثال احسب المدى الربيعى للدرجات الآتية
4، 9، 5، 4، 6، 8، 7، 5
الحل
1-     ترتيب الدرجات ترتيبا تصاعديا أو تنازليا
2-     نحسب رتبة الربيع وهى 25% من عدد الدرجات للربيع الأول
75% من عدد الدرجات للربيع الثالث 
3-     نحسب قيمتى الربيع الأول والربيع الثالث باستخدام القانون الخاص بذلك.
وبتطبيق الخطوات السابقة فإن ترتيب الدرجات تصاعديا هو
4، 4، 5، 5، 6، 7، 8، 9
وقد سبق حساب الوسيط لهذه الدرجات حيث كانت رتبة الوسيط هى
             =                 = 4  وتحدد وجود وسيطين هما الدرجتين الرابعة والخامسة وهما (5، 6)
وتكون قيمة الوسيط            = 5.5
وبنفس الطريقة نحسب قيمة ورتبة الربيعين الأول والثالث
رتبة الربيع الأول = 25% من عدد الدرجات =             = 2
وتكون قيمة الربيع الأول هى متوسط  الدرجتين الثانية والثالثة (4، 5)
وهى              =  4.5
أما رتبة الربيع الأول فهى         من عدد الدرجات          × 8 = 6
وتكون قيمة الربيع الثالث هى متوسط الدرجتين السادسة والسابعة (وهما 7، 8)
=              = 7.5
وبالتالى فإن المدى الربيعى = الربيع الثالث – الربيع الأول
7.5 – 4.5 = 3
نصف المدى الربيعى =                 = 1.5
مثال :  احسب نصف المدى الربيعى للدرجات الأتية
112، 109، 114، 117، 108، 115، 110، 113، 116، 111
ترتيب الدرجات تصاعديا
108، 109، 110، 111، 112، 113، 114، 115، 116، 117
وتكون رتبة الربيع الأول =           × 10 = 2.5
و تكون قيمة الربيع الأول هى متوسط الدرجتين الثانية والثالثة
                             = 109.5
و كذلك رتبة الربيع الثالث =           ×10 = 7.5
وقيمة الربيع الثالث هى متوسط الدرجتين السابعة والثامنة
                  = 114.5

نصف المدى الربيعى                  =                       =        = 2.5
إذا كان عدد الدرجات فردى مثل
12، 13، 15، 15، 16، 18، 19، 20، 21، 23، 25
فإن ترتيب الربيع الأول =             × 11 = 2.75
وقيمة الربيع الأول تقع بين الدرجتين الثانية والثالثة و تحسب القيمة بطريقة الأستعمال  و هى
قيمة الربيع الأول =قيمة الدرجة +الفرق بين الدرجتين الثالثة  والثانية × ترتيب الربيع -2
13 + (15-13) (2.75 -2) = 13+2× 0.75 + 13 +1.5 = 14.5
ترتيب الربيع الثالث =                  × 11 = 8.25
وتكون قيمة الربيع الثالث تقع بين الدرجتين الثامنة والتاسعة وهى
قيمة الدرجة الثامنة + الفرق بين الدرجتين التاسعة والثامنة (ترتيب الربيع – 8)
= 20 + (21-20) (8.25 – 8) = 20 + 1 × 0.25 = 20.25
ونصف المدى الربيعى =                      =           = 2.875
* حساب نصف المدى الربيعى للبيانات المبوبة
يمكن حساب نصف المدى الربيعى للبيانات المبوبة فى جدول توزيع تكرارى من الخطوات الآتية:
1-     نستخدم جدول التوزيع فى إعداد الجدول التكرارى المتجمع الصاعد
2-     تحديد رتبة الربيع وهى           × مج ت للربيع الأول
                                          × مج ت للربيع الثالث
3-     نحدد فئة الربيع وهى التى تحتوى على التكرار المتجمع
[           أو          مج ت]
4-     نطبق القانون لحساب قيمة الربيع
قيمة الربيع الأول = الحد الأدنى لفئة الربيع الأول +

5-     تحديد قيمة الربيع الثالث = الحد الأدنى لفئة الربيع الثالث +

مثال : احسب نصف المدى الربيعى فى الجدول التكرارى الثالث
الدرجات       10     20     30     40     50     60     70     المجموع
التكرار 2      5      9      10     15     1      6      48

                    الحل
1-     نحسب رتبة الربيع الأول والثالث كما يلى:
   ترتيب الربيع الأول=               =           = 12
ترتيب الربيع الثالث =                =              = 36
2-     نكون جدول التكرار المتجمع التصاعدى أو التنازلى
فئات الدرجات التكرار         الحدود الحقيقية للفئات التكرار المتجمع الصاعد       التكرار المتجمع الهابط
3-     نطبق القانون لحساب الربيع الأول
الربيع الأول = الحد الأدنى الحقيقى لفئة ر +
                                                               × طول الفئة
فئة الربيع الأول هى 30-39 حيث التكرار المتجمع الصاعد يساوى ر1
ر1 = 29.5 +                × 10 =
29.5 +                  = 29.5 + 5.55 = 35.05
4-     بنفس الخطوة السابقة نحسب الربيع الثالث
فئة الربيع الثالث هى 50-59
ر = 49.5 +                  × 10
49.5 +
49.5 + 6.66 = 56.16
5-     نحسب نصف المدى الربيعى (الانحراف الربيعى)
    نصف المدى الربيعى =             =
                                    =                       = 10.56
كذلك يمكن استخدام الجدول التكرارى المتجمع الهابط فى حساب الربيع الأول والثالث، حيث تكون قيمة الربيع =
الحد الأعلى لفئة الربيع -                                      × طول الفئة
* حساب نصف المدى الربيعى إذا كانت البيانات ترتيبية
احسب نصف المدى الربيعى
الفئة    التكرار         ت. م. ص
ممتاز
جيد جداً
جيد
مقبول
ضعيف
ضعيف جداً    3
رتبة الربيع الأول =           × 65 = 16.25
وتقع قيمة الربيع الأول فى فئة جيد وتكون قيمته جيد
الربيع الثالث =                     × 65 = 48.75
وتكون فئة الربيع الثالث هى مقبول
ويكون المدى الريبعى بين المقبول والجيد
ولا نستطيع اعطاء قيمة معينة لذلك كما أن نصف المدى الربيعى هنا لا معنى له
   مزايا وعيوب نصف المدى الربيعى
    أولاً: مزاياه
1-     يمكن إيجاده من الجداول المفتوحة.
2-     لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
3-     سهل فى حسابه ويمكن حسابه جبريا وبيانيا.
4-     يمكن حسابه بسهولة عند توافر قيم الأرباعيين الأعلى والأدنى.
  ثانيا : عيوبه
-      من عيوبه أنه يصعب معالجته رياضيا والتعرف على خصائصه.
اعتماده فى تقديره على قيمتين فقط جعله لا يصلح للتغلب على القيم المتطرفة.
ثانيا طريقة الانحرافات عن المتوسط الحسابى
يمكن حساب الانحراف المعيارى للتوزيع التكرارى عن طريق انحراف الدرجات عن المتوسط الحسابى، او عن طريق انحراف الدرجات عن وسط فرضى
ويمكن حساب الانحراف المعيارى عن طريق انحرافات الدرجات عن المتوسط الحسابى بإتباع الخطوات الاتية:
1.     نحدد مركز الفئة
2.     نضرب مركز الفئة فى تكرارها
3.     نحسب المتوسط الحسابى لحاصل ضرب مركز الفئة فى تكرارها
4.     نحسب انحرافات مراكز الفئة عن المتوسط الحسابى (س-م)
5.     نربع انحرافات مراكز الفئة عن المتوسط الحسابى (س-م)2
6.     نضرب مربعات انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى فى تكرارها (س-م)2 ت
7.     نوجد مجموع مربعات انحرافات الدرجات (مج (س-م)2 ت)
8.     نحسب التباين ع2 =

9.     نحسب الانحراف المعيارى وهو الجذر التربيعى للتباين

مج ت مجموع التكرارات
مج (س-م)2 ت حاصل جمع ضرب مربعات انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى فى تكراراتها.
مثال : احسب الانحراف المعيارى باستخدام الانحرافات عن المتوسط الحسابى
الفئة    التكرار مركز الفئة
(س)   س × ت       الانحراف عن المتوسط
(س-م) (س-م)2       (س-م)2ت
الانحراف المعيارى =   110.71  = 10.52
  ثالثا : حساب الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات عن وسط فرضى
هى نفس الطريقة المستخدمة لحساب المتوسط الحسابى لجدول توزيع تكرارى
وتعمد هذه الطريقة على خطوات مشابهة لخطوات حساب المتوسط الحسابى وهى:
1.     تحديد مركز الفئة
2.     نختار وسط فرضى ويفضل أن يكون الفئة المقابل لأكبر تكرار
3.     نطرح الوسط الفرضى من مراكز الفئات للحصول على الانحرافات
ح= س- وف (الوسط الفرضى)
4.     نضرب انحراف كل فئة عن الوسط الفرضى فى تكراراتها (ح ت) ونحسب مجموعها
5.     نحسب متوسط الانحرافات م ح ويساوى
6.     نضرب مربع انحراف كل فئة عن الوسط الفرضى فى تكراراتها (ح2 ت) ونحسب مجموعها
7.     نحسب التباين باستخدام القانون
8.     نحسب الانحراف المعيارى وهو مقياس التباين

ع2=                                  حيث م ح هى متوسط الانحرافات

   أو   ع2=                  - (م ح)2
مثال : احسب الانحراف المعيارى باستخدام الانحرافات عن وسط فرضى
الفئة    التكرار
(ت)    مركز الفئة
(س)   الانحراف عن الوسط الفرضى (ح)    ح × ت        ح2 × ت
متوسط الانحرافات عن وسط فرضى (م ح) =                        = - 2.7
ويمكن حساب المتوسط الحسابى وهو = الوسط الفرضى + م ح
79-2.7 = 76.3
التباين =

ع2 =                                 =
ع2 = 110.71 ويكون الانحراف المعيارى ع = 110.71  = 10.52
مثال :  احسب الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات عن وسط فرضى
الفئات  التكرار ك      مركز الفئات   انحراف مراكز الفئات عن وسط فرضى       ح-    ح- ك  ح-2 ك
المتوسط الحسابى س-= 72- 7/8 × 5 = 71.563
التباين = ل2 ×
 (5)2 ×                              = 96.325

ع = 96.325 = 9.815    أو
ع=    ل2             [مج ح-2 ك -                     =

ل

5                                 = 9.815

    رابعا  : الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات المختصرة
يستخدم لايجاد التباين فى حالة الارقام غير المبوبة الصيغ الاتية:
التباين (ع)2 للمجتمع =

التباين للعينة =

   مثال :  اذا كانت ن لعينة ما هى 8
والمتوسط (س-) = 49.8، مج س2 = 968
احسب الانحراف المعيارى؟
الانحراف المعيارى =
= 10.75
الانحراف المعيارى =  10.75 = 3.27
وقد يحسب التباين من خلال القانون الاتى
ع2 =
        لحساب الانحراف المعيارى بالطريقة المختصرة نتبع الخطوات الاتية:
    - نحدد مركز كل فئة (س)
    - نختار وسط فرضى (مركز المقابل لأكبر تكرار)
    - نطرح الوسط الفرضى من مركز كل فئة فينتج الانحرافات (ح)
    - نقسم الانحرافات على طول الفئة فى حالة الفئات متساوية الطول فينتج الانحرافات المختصرة فى تكرارات الفئات (ح-) .
   - نحسب حاصل ضرب الانحرافات المختصرة فى تكرارات الفئات (ح- ت) ونجمعها .   
    - نضرب الانحرافات المختصرة (ح-) فى حاصل ضرب (ح  ت) لكل فئة فينتج (ح2 ت) لكل الفئات
    - نطبق القانون لحساب التباين
     - نحسب الانحراف المعيارى
التباين ع2 =                              × ك أو

ع2 = [                        - (م ح-)2] × ل2
حيث ان مج ح- هو متوسط الانحرافات المختصرة
ل2 مربع طول الفئة
مثال :
الفئة    التكرار مركز الفئة (س)       الانحراف عن الوسط الفرضى (ح)    الانحرافات المختصرة ح-     ح- × ت        ح-2 × ت
53-
ثم نحسب متوسط الانحرافات المختصرة (م ح-) =           =             
                = 0.675
وبالتالي يكون المتوسط الحسابى = و ف + م ح- × ل =
79+ (-0.675) × 4 = 79 – 2.7 = 76.3
وهى نفس القيمة التى حصلنا عليها
    ونشير أن هذه الطريقة لا تصلح مع جداول التوزيع التكرارى المختلفة فى طول الفئة، بمعنى ان طول الفئة الاولى يساوى طول فئة أخرى بالجدول فاختلاف طول أى فئة بالجدول التكرارى يؤدى إلى فئات غير متساوية الطول.