مقاييس النزعة المركزية
المتوسطات
يعتبر المتوسط الحسابى أحد المقاييس الشائعة الاستخدام فى مقاييس النزعة المركزية .
يحقق دراسة المتوسط هدفين :-
1- وصف كيفية توزيع الظاهرة فى المجتمع الذى سحبت منه.
2- يكون هذا الوصف بطريقة مختصرة .
أنواع مقاييس النزعة المركزية
المتوسط الحسابى الوسيط المنوال المتوسط الهندسى
المتوسط التواقفى
** 1- المتوسط الحسابى Arithmetic Mean
يعتبر المتوسط الحسابى أكثر المقاييس الإحصائية شيوعا فى الاستخدام ، أحسن مقاييس النزعة المركزية .
تعريف المتوسط الحسابى :- مجموع القيم فى بيانات المجموعة مقسوماً على عدد القيم هناك بعض الشروط التى يجب أن تتوافر فى المتوسط الحسابى :-
1-يجب أن يمثل المتوسط المجموعة أكثر من أى قيمة أخرى .
2- يجب أن يتم إحتساب المتوسط على أساس كافة القيم .
3- يسهل معاملته جبرياً.
4- لا يتأثر قيمته كثيراً بخطأ الصدفة .
5- يجب أن يتم إحتساب المتوسط وفقاً لأسس دقيقة.
طرق حساب المتوسط الحسابى :-
(أ) حالة الأرقام غير المبوبة :-
1- الطريقة المباشرة :-
الوسط الحسابى =
مثال:- خذ القيم 8، 14، 9 ، 12 ، 5 ،6
المتوسط = = 9
3- طريقة استخدام وسط فرضى :-
إذا كان عدد المفردات كبيراً فإننا نلجأ إلى استخدام الوسط الفرضى فنجد على سبيل المثال إذا كان لدينا القيم س1 ، س2 ، س3 ، ........س ن
نختار الوسط الفرضى (1) ونطرحة من القيم كما يلى :-
س1- 1 ، س2 -1 ، س3 -1 ، س ن – 1
مثال :- فيما يلى الأجور الأسبوعية لعدد من 8 من عمال كالآتى :-
273 ، 279 ، 281 ، 275 ، 268 ، 270 ، 272 ، 276
المطلوب : إيجاد المتوسط بطريقة الوسط الفرضى .
الحــل
نختار القيمة 270 كوسط فرض ثم نوجد إنحرافات القيم عنها
ح 1 = 273-270 = 3
ح2 = 279 – 270 = 9
ح3= 281 – 270= 11
ح4 = 275- 270= 5
ح5= 268- 270=2
ح6= 270- 270= صفر
ح7=272 – 270= -2
ح8= 276 – 270 = 6
مجموع الإنحرافات = 3 + 9+ 11+ 5+ (-2) + صفر + (-2)+ 6 = 34
270 + = 270 + 4 = 274
إذا استخدمت الطريقة المباشرة فنجد أن
ب- حالة الأرقام المبوبة
يستخدم الإنحراف المتوسط فى حالة الجداول التكرارية البسيطة المقفولة فقط لايجاد الإنحراف المتوسط فى حالة الأرقام المبوبة نتبع الخطوات التالية :-
1- نوجد المتوسط الحسابى .
2- توجد إنحراف كل فئة عن المتوسط الحسابى مع إهمال الإشارة (1 ح × 1 ) .
3- نضرب الإنحراف المطلق لكل فئة فى تكرار الفئة 1 ح × 1 × ك المقابلة له .
4- نوجد مجموع حواصل ضرب الإنحرافات فى التكرارات المقابلة .
5- الإنحراف المتوسط =
مثال :- أوجد مقدار التشتت للتوزيع التكرارى الآتى باستخدام الانحراف المتوسط :-
فئات 2 6 10 14 18 المجموع
تكرار 7 9 18 11 5 50
الحـــل
إيجاد المتوسط الحسابى إيجاد الإنحراف المتوسط
ف ك س ك × س 1 ح 1 1ح1 × ك
2
الإنحراف المتوسط = = = 3.58
يمكن حساب المتوسط إذا كانت القيم مبوبة فى شكل توزيع تكرارى بإستخدام طريقة الإنحرافات المختصرة :-
- لايجاد المتوسط الحسابى لمجموعة من الأرقام المبوبة فى صورة توزيع تكرارى باستخدام طريقة الانحرافات المختصرة فإننا نتبع الآتى :-
1- نوجد مراكز الفئات (س) .
2- نوجد الانحراف (ح) باستخدام الوسط الفرضى .
3- نوجد خارج قسمة الانحرافات على العامل المشترك (ع) لهذه الانحرافات ح =
4- نوجد حاصل ضرب ح × ك .
5- نوجد مجموع مج ح ك
6- نوجد المتوسط الحسابى بإستخدام القانون :
س = أ + × ع
ف 56 60 64 68 72 المجموع
ك 5 12 22 7 4 50
الحــل
الفئات
ف التكرارات
ك مراكز الفئات س الانحراف
ح الانحراف المختصر ح=
66 وسط فرضى
70
74 -8
-4
صفر (4) هو العامل المشترك
4
8
=66 + × 4 = 65.44
يمكن حساب المتوسط الحسابى بطريقة الإنحرافات المختصرة بطريقة آخرى .
أوجد المتوسط الحسابى من الجدول التكرارى الآتى :-
ف 4 8 16 20 25-30 المجموع
ك 10 12 15 8 5 50
الحــل
ف ك س ح ح × ك
4
جدير بالذكر أنه لا يمكن إيجاد المتوسط الحسابى للجداول التكرارية المفتوحة لأنه لا يمكن إيجاد الفئة المفتوحة ، كما أن المتوسط لا يمكن إيجاده بالرسم .
المتوسط الحسابى المرجح :The Weighted Mean
هو المتوسط الذى نستعمله لحساب المتوسط الحسابى لعدد من القيم تتفاوت من حيث أهمية كل منها. ويكون المتوسط المرجح .
س م = م توضح أهمية كل قيمة
مثال :- يوضح الجدول التالى مبيعات إحدى الشركات فى القطاع العام فى منتجاتها الأربعة أ،ب،ج،د والأرباح التى حققتها هى 4.2% ، 5.5% ، 7.4% ، 10.1% لكل منتج على الترتيب.
أوجد المتوسط الحسابى المرجح لها ؟
المنتجات أ ب ج د
الأرباح 4.2% 5.5% 7.4% 10.%
30000000 20000000 5000000 3000000
الحـل
المنتجات الأرباح المبيعات س × م
أ
ب
ج
د 4.2
5.5
7.4
10.1 30000000
20000000
5000000
3000000 1260000
1100000
370000
303000
المجموع 27.2 58000000 3033000
سَ م = = = 5.2%
أما المتوسط الحسابى =
سَ = = = 6.8%
يتضح لنا الفرق بين المتوسط الحسابى المرجح والمتوسط الحسابى العادى .
مميزات وعيوب المتوسط الحسابى
أ- مميزات المتوسط الحسابى :-
1- مجموع إنحرافات مفردات العينة عن متوسطها الحسابى يساوى صفر.
2- مجموع مربعات إنحرافات المفردات عن متوسطها الحسابى أقل من مجموع مربع الإنحرفات عن أى قيمة آخرى فى العينة.
3-يمثل متوسط قيم المجموعة .
ب- عيوب المتوسط الحسابى :-
1- لا يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة.
2- تتأثر قيمته بالمفردات الشاذة أو المتطرفة.
3- تصبح قيمة المتوسط الحسابى غير ممثلة للبيانات فى حالة وجود التواء فى توزيع البيانات.
الوسيط Median
تعريف الوسيط :- هو الدرجة الوسطى لمجموعة من الدرجات أو هو النقطة التى تقسم توزيع الدرجات إلى نصفين متساويين بحيث يكون عدد الدرجات التى تسبقها مساوياً لعدد الدرجات التالية لها.
طريقة حساب الوسيط :-
أ- فى حالة الأرقام غير المبوبة :
- فى حالة القيم الفردية وتحسب قيمة الوسيط لمجموعة من الدرجات بأخذ الدرجة الوسطى بعد ترتيب الدرجات ترتيباً تصاعدياً أو تنازلياً.
- فإذا كان لدينا مجموعة من الدرجات 4 ، 7 ، 8 ، 10 ، 11 فإن الوسيط هو الدرجة رقم 3 فى الترتيب وهى تساوى 8 .
- أما فى مجموعة الدرجات 4 ، 7 ، 8 ، 10 ، 11 ، 12 ، 14 ، 17 ، 18 فإن الوسيط هو الدرجة رقم 5 فى الترتيب وهى تساوى 11 .
- نلاحظ أن عدد الدرجات فى المجموعة الاولى خمس درجات وكان ترتيب الوسيط هو الدرجة رقم 3 أى = 3 .
- بينما عدد الدرجات فى المجموعة الثالثة 9 وكان ترتيب الوسيط هو 5 أى =5
- بصفة عامة إذا كان عدد الدرجات فردياً فإن
ترتيب الوسيط = =
- فى حالة القيم الزوجية :
- أما إذا كان عدد الدرجات زوجيا ، مثل مجموعات الدرجات 2 ، 5 ، 7 ، 10 ، 12 ، 13 فيوجد وسيطين وهما الدرجة الثالثة والرابعة فى هذا المثال.
- وتكون قيمة الوسيط هنا مساوية لمتوسط الوسيطين = = 8.5
مثال : احسب الوسيط للقيم الآتية :
16، 10 ، 25 ، 9 ، 34 ، 14 ، 7
الحــل
نقوم بترتيب القيم تصاعدياً (او تنازلياً)
7 ، 9 ، 10 ، 14 ، 16 ، 25 ، 34
ويكون الوسيط القيمة التى ترتيبها
= =4 أى القيمة 14
مثال : أوجد الوسيط للقيم الآتية :
20 ، 100 ، 25 ، 10 ، 2 ، 15 ، 22 ، 110
الحــل
نقوم بترتيب القيم تصاعدياً (او تنازلياً)
2 ، 10 ، 15 ، 20 ، 22 ، 25 ، 100 ، 110
ويكون الوسيط = =4
والقيمة التالية له = + 1 = 4+ 1 = 5
وبتطبيق القانون فإن الوسيط = 1/2 (20+ 22) = 21
مثال : أحسب الوسيط للقيم الأتية .
16، 14 ، 12 ،10 ، 9 ، 6 ، 4 ، 3
فى هذه الحالة الوسيط = = 9.5
مثال : أحسب الوسيط للقيم الآتية :-
22 ، 2 ، 15 ، 14 ، 8 ، 7 ، 5 ، 5 ، 3
فإن من السهل التعرف على هذه القيمة التى تتوسط تلك المجموعات ويمكن التعرف عليها حسابيا .
الوسيط = = = 5
المتوسطات
يعتبر المتوسط الحسابى أحد المقاييس الشائعة الاستخدام فى مقاييس النزعة المركزية .
يحقق دراسة المتوسط هدفين :-
1- وصف كيفية توزيع الظاهرة فى المجتمع الذى سحبت منه.
2- يكون هذا الوصف بطريقة مختصرة .
أنواع مقاييس النزعة المركزية
المتوسط الحسابى الوسيط المنوال المتوسط الهندسى
المتوسط التواقفى
** 1- المتوسط الحسابى Arithmetic Mean
يعتبر المتوسط الحسابى أكثر المقاييس الإحصائية شيوعا فى الاستخدام ، أحسن مقاييس النزعة المركزية .
تعريف المتوسط الحسابى :- مجموع القيم فى بيانات المجموعة مقسوماً على عدد القيم هناك بعض الشروط التى يجب أن تتوافر فى المتوسط الحسابى :-
1-يجب أن يمثل المتوسط المجموعة أكثر من أى قيمة أخرى .
2- يجب أن يتم إحتساب المتوسط على أساس كافة القيم .
3- يسهل معاملته جبرياً.
4- لا يتأثر قيمته كثيراً بخطأ الصدفة .
5- يجب أن يتم إحتساب المتوسط وفقاً لأسس دقيقة.
طرق حساب المتوسط الحسابى :-
(أ) حالة الأرقام غير المبوبة :-
1- الطريقة المباشرة :-
الوسط الحسابى =
مثال:- خذ القيم 8، 14، 9 ، 12 ، 5 ،6
المتوسط = = 9
3- طريقة استخدام وسط فرضى :-
إذا كان عدد المفردات كبيراً فإننا نلجأ إلى استخدام الوسط الفرضى فنجد على سبيل المثال إذا كان لدينا القيم س1 ، س2 ، س3 ، ........س ن
نختار الوسط الفرضى (1) ونطرحة من القيم كما يلى :-
س1- 1 ، س2 -1 ، س3 -1 ، س ن – 1
مثال :- فيما يلى الأجور الأسبوعية لعدد من 8 من عمال كالآتى :-
273 ، 279 ، 281 ، 275 ، 268 ، 270 ، 272 ، 276
المطلوب : إيجاد المتوسط بطريقة الوسط الفرضى .
الحــل
نختار القيمة 270 كوسط فرض ثم نوجد إنحرافات القيم عنها
ح 1 = 273-270 = 3
ح2 = 279 – 270 = 9
ح3= 281 – 270= 11
ح4 = 275- 270= 5
ح5= 268- 270=2
ح6= 270- 270= صفر
ح7=272 – 270= -2
ح8= 276 – 270 = 6
مجموع الإنحرافات = 3 + 9+ 11+ 5+ (-2) + صفر + (-2)+ 6 = 34
270 + = 270 + 4 = 274
إذا استخدمت الطريقة المباشرة فنجد أن
ب- حالة الأرقام المبوبة
يستخدم الإنحراف المتوسط فى حالة الجداول التكرارية البسيطة المقفولة فقط لايجاد الإنحراف المتوسط فى حالة الأرقام المبوبة نتبع الخطوات التالية :-
1- نوجد المتوسط الحسابى .
2- توجد إنحراف كل فئة عن المتوسط الحسابى مع إهمال الإشارة (1 ح × 1 ) .
3- نضرب الإنحراف المطلق لكل فئة فى تكرار الفئة 1 ح × 1 × ك المقابلة له .
4- نوجد مجموع حواصل ضرب الإنحرافات فى التكرارات المقابلة .
5- الإنحراف المتوسط =
مثال :- أوجد مقدار التشتت للتوزيع التكرارى الآتى باستخدام الانحراف المتوسط :-
فئات 2 6 10 14 18 المجموع
تكرار 7 9 18 11 5 50
الحـــل
إيجاد المتوسط الحسابى إيجاد الإنحراف المتوسط
ف ك س ك × س 1 ح 1 1ح1 × ك
2
الإنحراف المتوسط = = = 3.58
يمكن حساب المتوسط إذا كانت القيم مبوبة فى شكل توزيع تكرارى بإستخدام طريقة الإنحرافات المختصرة :-
- لايجاد المتوسط الحسابى لمجموعة من الأرقام المبوبة فى صورة توزيع تكرارى باستخدام طريقة الانحرافات المختصرة فإننا نتبع الآتى :-
1- نوجد مراكز الفئات (س) .
2- نوجد الانحراف (ح) باستخدام الوسط الفرضى .
3- نوجد خارج قسمة الانحرافات على العامل المشترك (ع) لهذه الانحرافات ح =
4- نوجد حاصل ضرب ح × ك .
5- نوجد مجموع مج ح ك
6- نوجد المتوسط الحسابى بإستخدام القانون :
س = أ + × ع
ف 56 60 64 68 72 المجموع
ك 5 12 22 7 4 50
الحــل
الفئات
ف التكرارات
ك مراكز الفئات س الانحراف
ح الانحراف المختصر ح=
66 وسط فرضى
70
74 -8
-4
صفر (4) هو العامل المشترك
4
8
=66 + × 4 = 65.44
يمكن حساب المتوسط الحسابى بطريقة الإنحرافات المختصرة بطريقة آخرى .
أوجد المتوسط الحسابى من الجدول التكرارى الآتى :-
ف 4 8 16 20 25-30 المجموع
ك 10 12 15 8 5 50
الحــل
ف ك س ح ح × ك
4
جدير بالذكر أنه لا يمكن إيجاد المتوسط الحسابى للجداول التكرارية المفتوحة لأنه لا يمكن إيجاد الفئة المفتوحة ، كما أن المتوسط لا يمكن إيجاده بالرسم .
المتوسط الحسابى المرجح :The Weighted Mean
هو المتوسط الذى نستعمله لحساب المتوسط الحسابى لعدد من القيم تتفاوت من حيث أهمية كل منها. ويكون المتوسط المرجح .
س م = م توضح أهمية كل قيمة
مثال :- يوضح الجدول التالى مبيعات إحدى الشركات فى القطاع العام فى منتجاتها الأربعة أ،ب،ج،د والأرباح التى حققتها هى 4.2% ، 5.5% ، 7.4% ، 10.1% لكل منتج على الترتيب.
أوجد المتوسط الحسابى المرجح لها ؟
المنتجات أ ب ج د
الأرباح 4.2% 5.5% 7.4% 10.%
30000000 20000000 5000000 3000000
الحـل
المنتجات الأرباح المبيعات س × م
أ
ب
ج
د 4.2
5.5
7.4
10.1 30000000
20000000
5000000
3000000 1260000
1100000
370000
303000
المجموع 27.2 58000000 3033000
سَ م = = = 5.2%
أما المتوسط الحسابى =
سَ = = = 6.8%
يتضح لنا الفرق بين المتوسط الحسابى المرجح والمتوسط الحسابى العادى .
مميزات وعيوب المتوسط الحسابى
أ- مميزات المتوسط الحسابى :-
1- مجموع إنحرافات مفردات العينة عن متوسطها الحسابى يساوى صفر.
2- مجموع مربعات إنحرافات المفردات عن متوسطها الحسابى أقل من مجموع مربع الإنحرفات عن أى قيمة آخرى فى العينة.
3-يمثل متوسط قيم المجموعة .
ب- عيوب المتوسط الحسابى :-
1- لا يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة.
2- تتأثر قيمته بالمفردات الشاذة أو المتطرفة.
3- تصبح قيمة المتوسط الحسابى غير ممثلة للبيانات فى حالة وجود التواء فى توزيع البيانات.
الوسيط Median
تعريف الوسيط :- هو الدرجة الوسطى لمجموعة من الدرجات أو هو النقطة التى تقسم توزيع الدرجات إلى نصفين متساويين بحيث يكون عدد الدرجات التى تسبقها مساوياً لعدد الدرجات التالية لها.
طريقة حساب الوسيط :-
أ- فى حالة الأرقام غير المبوبة :
- فى حالة القيم الفردية وتحسب قيمة الوسيط لمجموعة من الدرجات بأخذ الدرجة الوسطى بعد ترتيب الدرجات ترتيباً تصاعدياً أو تنازلياً.
- فإذا كان لدينا مجموعة من الدرجات 4 ، 7 ، 8 ، 10 ، 11 فإن الوسيط هو الدرجة رقم 3 فى الترتيب وهى تساوى 8 .
- أما فى مجموعة الدرجات 4 ، 7 ، 8 ، 10 ، 11 ، 12 ، 14 ، 17 ، 18 فإن الوسيط هو الدرجة رقم 5 فى الترتيب وهى تساوى 11 .
- نلاحظ أن عدد الدرجات فى المجموعة الاولى خمس درجات وكان ترتيب الوسيط هو الدرجة رقم 3 أى = 3 .
- بينما عدد الدرجات فى المجموعة الثالثة 9 وكان ترتيب الوسيط هو 5 أى =5
- بصفة عامة إذا كان عدد الدرجات فردياً فإن
ترتيب الوسيط = =
- فى حالة القيم الزوجية :
- أما إذا كان عدد الدرجات زوجيا ، مثل مجموعات الدرجات 2 ، 5 ، 7 ، 10 ، 12 ، 13 فيوجد وسيطين وهما الدرجة الثالثة والرابعة فى هذا المثال.
- وتكون قيمة الوسيط هنا مساوية لمتوسط الوسيطين = = 8.5
مثال : احسب الوسيط للقيم الآتية :
16، 10 ، 25 ، 9 ، 34 ، 14 ، 7
الحــل
نقوم بترتيب القيم تصاعدياً (او تنازلياً)
7 ، 9 ، 10 ، 14 ، 16 ، 25 ، 34
ويكون الوسيط القيمة التى ترتيبها
= =4 أى القيمة 14
مثال : أوجد الوسيط للقيم الآتية :
20 ، 100 ، 25 ، 10 ، 2 ، 15 ، 22 ، 110
الحــل
نقوم بترتيب القيم تصاعدياً (او تنازلياً)
2 ، 10 ، 15 ، 20 ، 22 ، 25 ، 100 ، 110
ويكون الوسيط = =4
والقيمة التالية له = + 1 = 4+ 1 = 5
وبتطبيق القانون فإن الوسيط = 1/2 (20+ 22) = 21
مثال : أحسب الوسيط للقيم الأتية .
16، 14 ، 12 ،10 ، 9 ، 6 ، 4 ، 3
فى هذه الحالة الوسيط = = 9.5
مثال : أحسب الوسيط للقيم الآتية :-
22 ، 2 ، 15 ، 14 ، 8 ، 7 ، 5 ، 5 ، 3
فإن من السهل التعرف على هذه القيمة التى تتوسط تلك المجموعات ويمكن التعرف عليها حسابيا .
الوسيط = = = 5