مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية

   *   وتسمى المقاييس المستخدمة

 مقاييس النزعة المركزية

      كل ظاهرة فى الحياة العامة لها ميل للتجمع حول نقطة معينة ؛ ومن ثم إذا استطعنا تحديد هذه النقطة فإننا سنصل إلى

  قيمة متوسطة تتجمع حولها القيم .

* يسمى ذلك الميل إلى التجمع حول هذه القيمة

بالنزعة المركزية

شروط المقياس الجيد

    يحسب بطريقة سهلة لا تؤثر على دقة البيانات .

      يأخذ فى الاعتبار جميع المفردات المطلوب حساب المقياس لها .

       يكون له معنى طبيعى مفهوم  يستخدم فى الحياة العامة .

       يعكس التغير فى الظاهرة ، ولا يتغير بتغير طرق حسابه .

       يخضع للعمليات الجبرية خضوعا تاما .

      لا يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة .

       لا يتأثر باختلاف العينات ذات الحجم الواحد .

مقاييس النزعة المركزية

 Measures Of Central Tendency

الوسط الحسابى

Arithmetic Mean

الوسط التوافقى

Harmonic Mean

الوسط الهندسى

Geometric Mean

الوسيط

Median

المنوال

Mode

       يعد من أكثر المقاييس المستخدمة فى الاحصاء حيث انه بسيط وسهل الفهم و يصلح للمقارنة بين المجموعات .

Arithmetic Mean

الوسط الحسابى

أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :-

        إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط الحسابى  يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

مثال

احسب الوسط الحسابى للقيم 2، 4 ، 6 ، 1

الوسط الحسابى يتأثر

  بالطرح والجمع

فالوسط الحسابى للقيم

X1+a ,X2+a ,… ,Xn+a   يكون :-

مثال

احسب الوسط الحسابى للقيم 3،5،7،2

الوسط الحسابى يتأثر

  بالضرب و القسمة

فالوسط الحسابى للقيم

X1*b ,X2*b ,… ,Xn*b   يكون :-

مثال

احسب الوسط الحسابى للقيم 6،10،14،4

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :-

هنا تواجهنا صعوبة من نوع جديد ؛ ذلك لأن البيانات فى جدول التوزيع التكرارى تكون

  غير معروفة بالتفصيل ، بل هى معروفة أجمالا نظرا لاختصارها فى فئات . 

لذلك سنفترض ان كل المفردات فى كل فئة موزعة  توزيعا عادلا على مدى الفئة ؛

  اى اننا لن نخطئ كثيرا اذا  اعتبرنا المفردات فى كل فئة تكون متجمعة عند مركز الفئة .

مركز الفئة = الحد الأدنى للفئة + الحد الأعلى للفئة

وعلى ذلك يعرف الوسط الحسابى للتوزيعات التكرارية بأ نة

الوسط الحسابى المرجح بالتكرارات .

الوسط الحسابى لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn   والمرجح بالتكرارات المناظرة

F1,F2,…,Fn  يكون 

مثال

الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :-

المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل

يمكن الاستفادة من خصائص الوسط الحسابى

فى حل المثال بثلاث طرق

لتحسين ســـــــــرعة الحساب

الطريقة المطولة

أى أن متوسط الأجر الأسبوعى للعامل هو 32.5 جنية

الطريقة المختصرة

   وهنا نطرح وسطا فرضيا ( مقدار ثابت ) من مراكز

الفئات ثم نعيد إضافته إلى الوسط الحسابى بعد حسابه

  من مراكز الفئات (المعدلة) ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍.

وذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندما

  تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة أو كسرية .

الطريقة الأكثر اختصارا

   وهنا نقسم مراكز الفئات المعدلة (سابقا) على

مقدار ثابت ثم نعيد ضربة فى الوسط الحسابى

  بعد حسابه من مراكز الفئات (النهائية( ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍.

عموما إذا كان الجدول التكرارى منتظما (أطوال الفئات متساوية(

 فأنة يمكن وضع صفر أمام اى فئة،

 ووضع الارقام -1،-2،-3،...أمام الفئات السابقة لهذه الفئة ،

ووضع الارقام 1،2،…أمام الفئات التالية لها .

مقياس أخر

Geometric Mean

الوسط الهندسى

أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :-

        إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط الهندسى  يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

  بالاستعانة

  باللوغاريتمات

مثال

احسب الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 2،4،2،16

لاحظ

أن

الوسط الحسابى دائما أكبر من

الوسط الهندسى ( لنفس البيانات (

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :-

الوسط الهندسى  لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn   والمرجح بالتكرارات المناظرة

F1,F2,…,Fn  يكون

مثال

احسب الوسط الهندسى من الجدول التكرارى التالى :-

مقياس أخر

       الوسط التوافقى لمجموعه من القيم هو مقلوب الوسط الحسابى لمقلوبات هذه القيم .

Harmonic Mean

الوسط التوافقى

أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :-

        إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط التوافقى  يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

مثال

احسب الوسط التوافقى و الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 10،20،40،50

لاحظ

أن

دائما الوسط الحسابى أكبر من

الوسط الهندسى أكبر من

الوسط التوافقى (لنفس البيانات(

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :-

الوسط التوافقى  لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn   والمرجح بالتكرارات المناظرة

F1,F2,…,Fn  يكون 

استخدام الوسط التوافقى فى حالة التعامل مع

الأسعار القياسية أو معدلات السر عات أو معدلات التغير

يفضل

مثال

احسب الوسط التوافقى من الجدول التالى والذى يوضح التوزيع التكرارى لسر عات 100 متسابق :-

مقياس أخر

      الوسيط هو القيمة الموجودة فى منتصف البيانات بعد ترتيبها (تصاعديا أو تنازليا) .

Median

الوسيط 

أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :-

        إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسيط  يكون هو المفردة التى رتبتها (بعد الترتيب (

رتبة الوسيط = n + 1

      2      

عدد القيم فردى

عدد القيم زوجى

الوسيط له رتبتان هما

n  &  n   + 1

  2        2

مثال

احسب الوسيط  للقيم 112،3،4،5،6

الترتيب التصاعدى للقيم 

الوسيط لم يتأثر

بالقيمة الشاذة

112

مثال

احسب الوسيط  للقيم -3،-1،3،6،7،8

(-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :-

   يجب

  حساب الوسيط من أحد الجدولين التكراريين المتجمعين الصاعد أو الهابط  

  الوسيط    هو القيمة المقابلة لنصف مجموع التكرارات .

رتبة الوسيط =

   لذلك

* فى حالة الحساب من الجدول التكرارى المتجمع الصاعد (بعد تكوينه)

الوسيط =

 الحد الأدنى لفئة الوسيط + طول فئة الوسيط ( رتبة الوسيط - التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة الوسيط (

                                                                                                              التكرار الأصلى لفئة الوسيط

مثال

الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :-

         المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل باستخدام الوسيط .

رتبة الوسيط

Median

33.33

     البيانات التى تكثر بها القيم الشاذة .

    الجداول التكرارية المفتوحة من أحد طرفيها أو من كليهما .

    التوزيعات التكرارية غير المتساوية فى طول الفئات .

يفضل

استخدام الوسيط فى حالة التعامل مع

مقياس أخر

       المنوال هو القيمة الأكثر شيوعا بين البيانات.

Mode

المنوال

أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :-

مثال

احسب المنوال للقيم 2،3،4،2،11،2

أكثر القيم تكرارا هى القيمة 2

المنوال

 أقل مقاييس النزعة المركزية تأثر بالقيم الشاذة

لا يمكن اعتبار المنوال مقياسا

 للنزعة المركزية 

      إن لم يكن هناك قيم مكررة .

      إن كان هناك أكثر من قيمة لها نفس الشيوع  .

مثال

3،4،5،6،7

مثال

2،3،2،5،3،4

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :-

       المنوال هو القيمة المقابلة لأكبر تكرار؛

والتى تنتمى للفئة التى لها أكبر تكرار (الفئة المنوالية(

وعلى ذلك فأن المنوال يقع فى الفئة المنوالية تحت تأثير التكراريين السابق واللاحق للفئة المنوالية .

يحدد المنوال باستخدام قانون الرافعة :

القوة x ذراعها = المقاومة x ذراعها

مثال

الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :-

         المطلوب حساب منوال الأجر الأسبوعى للعامل .

الفئة المنوالية = 25-35

لها أكبر تكرار (60(

20

التكرار السابق

المنوال

25

50

التكرار اللاحق

35

بداية الفئة المنوالية

نهاية الفئة المنوالية

س

10 - س

 المنوال = 25 + 7.14 = 32.4جنية

       يمكن تحديد المنوال بيانيا

من رسم المدرج التكرارى

32.14

Mode

مقياس أخر