المنوال

قانون المنوال للبيانات المبوبة

    المنوال هو القيمة الأكثر شيوعا أو تكرارا

    يكثر استخدامه في حالة البيانات الوصفية ، لمعرفة النمط ( المستوى ) الشائع

    بالنسبه للبيانات المبوبة – القيمة ذات أكثر تكرار

المنوال:مثال (بيانات غير مبوبة)

    فيما يلي درجات الطلاب في مقرر إحص (122) لخمس (5) عينات عشوائية من أقسام كلية علوم الأغذية والزراعة: (أحسب المنوال لكل قسم؟؟)

 المنوال للبيانات المبوبة

    (طريقة الفروق) : يحسب المنوال من القانون:

    حيث:

    

    

    A   : الحد الأدنى لفئة المنوال (الفئة ذات أكبر تكرار) .

        D1 : الفرق الأول = (تكرار فئة المنوال – التكرار سابق)

        D2 : الفرق الثاني = ( تكرار فئة المنوال – التكرار لاحق)

        L   : طول فئة المنوال .

المنوال للبيانات المبوبة-مثال

    فيما  يلي توزيع 30 أسرة حسب الإنفاق الاستهلاكي الشهري (ألف ريال)

    والمطلوب حساب المنوال، باستخدام طريقة الفروق 

    

    من الشكل التالي نجد كل مكونات القانون:

    وبتطبيق القانون نحسب المنوال كالتالي: 

   

الفصلي الأول_حتي هنا

1st Test upto here

الوسط

المنوال

الوسيـــط

استخدام مقاييس النزعة المركزية في تحديد شكل

      توزيع البيانات 

    يمكن استخدام الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في وصف المنحنى التكراري، والذي يعبر عن شكل توزيع البيانات:

    الوسط يتأثر بالقيم المتطرفة لذا يكون اقرب الي ”ذيل“ منحني التوزيع—الوسيـط أقل تأثرا (حساسية) لتلك القيم.

مثال

    قام مدير مراقبة الإنتاج لإحدى شركات تعبئة المياه بسحب عينة من 10 عبوات من المياه المعبأة للشرب ، ذات الحجم 5 لتر، لفحص كمية الأملاح الذائبة، وكانت البيانات كالتالي:

115  123  119  123   124  119  123   121  123  121

والمطلوب : حساب الوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال، ثم حدد شكل التوزيع لهذه البيانات ؟؟

الحل

    الوسط = ؟؟؟؟؟؟؟

    الوسيط=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

    المنوال=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

    اذا شكل هذا التوزيع:

Quartiles- الرباعيات

    عند تقسيم القيم المرتبة إلى أربع أجزاء متساوية، يوجد ثلاث إحصاءات تسمى بالرباعيات، وهي:

        الربيع الأول: وهو القيمة التي يقل عنها ربع عدد القيم، أي يقل عنها 25% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q1) .

        الربيع الثاني: وهو القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم، أي يقل عنها 50% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q2) ، هل تذكر اسم آخر لهذا الربيع.

        الربيع الثالث: وهو القيمة التي يقل عنها ثلاث أرباع عدد القيم، أي يقل عنها 75% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q3) .

تابع

    الشكل التالي يوضح الرباعيات الثلاث:

كيفية تحديد الرباعيات

    لحساب أي من الرباعيات الثلاث، لأية مجموعة مرتبة من القيم عددها (n) :

    نحدد الرتبة ( Ri) للرباعي رقم ( i=1,2,3)من القانون:

    إذا كانت          عددا صحيحا فإن قيمة الربيع هو:

    إذا كانت          عددا كسريا فإن قيمة الربيع( Qi) يقع في المدي  : X(l) < Qi < X(u) ويحسب من القانون:

    حيث أن (l ) هي رتبة القيمة السابقة للرباعي 

    

تحديد الرباعي _ مثال

    احسب الرباعيات الثلاث للمفردات التالية:

25  23   29    32  34  29  20    18  27  30 

    نكون الجدول التالي لحساب الربيعات الثلاث:

    الربيع الأول:

        رتبة الربيع الأول:

        إذا:

        بالتالي

    الربيع الثاني:

        رتبة الربيع الثاني:

        إذا:

        بالتالي:

    اذا حسبنا الربيع الثالث بنفس الطريقة, يمكن تكوين الجدول:

    ماتعليقكم؟

    

    

   الوسيط للبيانات المبوبة 

    من جدول توزيع تكراري ، يتم إتباع الخطوات التالية:

    تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد

    تحديد رتبة الوسيط :

    تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي :

    يحسب الوسيط ، بتطبيق المعادلة:

    حيث أن : 

    

  L  هي طول فئة الوسيط، وتحسب بالمعادلة التالية:

طول الفئة = الحد الأعلى  – الحد الأدنى

            L =  Upper - Lower 

مثال

    فيما يلي توزيع 50 عجل متوسط الحجم ، حسب الاحتياجات اليومية من الغذاء بالكيلوجرام:

    والمطلوب : حساب الوسيط  :  أ - حسابيا     ب- بيانيا  

 الوسيط-بيانيا

    تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد بيانيا

    تحديد رتبة الوسيط (25) على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد . ثم رسم خط مستقيم أفقي حتى يلقى المنحنى في النقطة (a) .

    إسقاط عمود رأسي من النقطة (a) على المحور الأفقي .

    نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور الأفقي تعطى قيمة الوسيط .

    الوسيط كما هو مبين في الشكل   Med = 8.6

الوسيط-بيانيا

مزايا وعيوب الوسيط 

    من مزاياه:

        لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة .

        كما أنه سهل في الحساب .

        مجموع قيم الانحرافات المطلقة عن الوسيط أقل من مجموع الانحرافات المطلقة  عن أي قيم أخرى:

مزايا وعيوب الوسيط

    ومن عيوبه:

        أنه لا يأخذ عند حسابه كل القيم في الاعتبار، فهو يعتمد على قيمة أو قيمتين فقط .

        يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار اسمي (nominal)

 

مقاييس التشتت-

Measures of Dispersion

    مقدمة

    المدي والانحرافات

    التباين

    الانحراف المعياري

مقدمة

    نحتاج كثيرا الي مقارنة مجموعتين أو اكثر من البيانات

    يمكن استخدام شكل التوزيع التكراري، المنحنى التكراري ، وكذلك بعض مقاييس النزعة المركزية (؟؟؟؟)—كاف؟؟؟لا

المدي-

Range

    هو أبسط مقاييس التشتت ,وأيسرها حسابا (وحدة القياس؟)

    في حالة البيانات غير المبوبة:

    في حالة البيانات المبوبة-عدة طرق منها:

    

المدي-أمثلة

    احسب المدى للبيانات التالية:

    احسب المدى للبيانات التالية:

عدد المزارع

مزايا وعيوب المدى 

    من مزايا المدى:

        أنه بسيط وسهل الحساب

        يكثر استخدامه عند الإعلان عن حالات الطقس، مثل درجات الحرارة، والرطوبة، والضغط الجوي.

    ومن عيوبه:

        أنه يعتمد على قيمتين فقط ، ولا يأخذ جميع القيم في الحسبان

        يتأثر بالقيم الشاذة؟؟

الانحراف الربيعي  

Quartile Deviation (Q) 

    مقياس للتشتت يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى، وبهمل نصف عدد القيم المتطرفة

    لا يتأثر بوجود قيم شاذة،

    ويحسب الانحراف الربيعي بتطبيق المعادلة التالية :

    حيث (Q1 – (Q3 هو المدى الربيعي: إذا :

    

    

    

                الانحراف الربيعي =  نصف المدى الربيعي 

الانحراف الربيعي-تمرين (3)

    احسب الانحراف الربيعي وكذلك نصف المدي الربيعي للبيانات :

الانحراف الربيعي

    مزاياه:

        يفضل استخدامه كمقياس للتشتت في حالة وجود قيم شاذة

        بسيط وسهل في الحساب

    عيوبه

        لا يأخذ كل القيم في الاعتبار

الانحراف المطلق المتوسط 

Mean Absolute Deviation (MAD)  

    أحد مقاييس التشتت، ويعبر عنه بمتوسط الانحرافات المطلقة للقيم عن وسطها الحسابي

    للمفردات (x1,x2,x3,…,xn) والتي وسطها الحسابي (    ) يحسب الانحراف المطلق المتوسط (MAD)   بتطبيق المعادلة التالية ) للبيانات غير المبوبة ):

    يحسب الانحراف المطلق المتوسط للبيانات المبوبة من:

    حيث:

    

(  x )  هو مركز الفئة

        (   ) هو الوسط الحسابي

        ( f  ) هو تكرار الفئة

الانحراف المطلق المتوسط - أمثلة

    (1) الطاقة التصديرية لخمس محطات لتحلية المياه بالمليون متر مكعب كما يلي: (6   5   2   10   7)؛  احسب الانحراف المطلق المتوسط؟

    (2) يبين الجدول التكراري التالي توزيع40 أسرة حسب الإنفاق الشهري بالألف ريال: أوجد الانحراف المتوسط ؟

حل المثال (2):

    لحساب الانحراف المطلق المتوسط نكون الجدول:

    من الجدول الانحراف المطلق المتوسط هو:

مزايا وعيوب الانحراف المطلق المتوسط 

    المزايا:

        سهل الحساب

        يأخذ كل القيم في الاعتبار

    العيوب: 

        يتأثر بالقيم الشاذة

التباين 

Variance 

    أكثر مقاييس التشتت استخداما في النواحي التطبيقية.

    يعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي

    يمكن حساب:

        التباين في المجتمع (σ2)

        التباين في العينة (s2 )

 (σ2) التباين في المجتمع 

     افرض لدينا كل مفردات المجتمع:

x1 ,x2,x3,…,xn))

    التباين في هذا المجتمع، ويرمز له بالرمز (σ2) يحسب باستخدام المعادلة التالية:

    حيث (µ) هو الوسط الحسابي في المجتمع  ويحسب من:

    

التباين في المجتمع-مثال

    المفردات تبين عدد سنوات الخبرة لمصنع لتعبئة المواد الغذائية ، يعمل به 15 عامل. بفرض أن هذه البيانات تم جمعها عن كل مفردات المجتمع أوجد التباين؟

    أولا نحسب الوسط الحسابي في المجتمع كالآتي:

    نكون الجدول التالي لحساب مربعات الانحرافات: 

    

    

    ثم نحسب تباين سنوات الخبرة للعمال في المصنع :

    طريقة أخري لحل المثال: 

    

    يمكن فك المجموع                    كالتالي:

    إذا التباين في المجتمع يمكن صياغته كالتالي:  

    

    وبالتطبيق على المثال السابق:

التباين في العينة- 

)s2( 

    غالبا يكون تباين المجتمع (σ2) غير معلوم

    وعندئذ يتم سحب عينة من هذا المجتمع، ويحسب التباين من:

    عينة حجمها 5 عمال ، عدد سنوات خبرتهم كالتالي, احسب التباين.

 

    نحسب الوسط الحسابي:     =9

    لحساب التباين تكون الجدول:

    بالتالي:

    كما يمكن حساب تباين العينة من:

    

التمرين (4)

    استخدم القانون أدناه لحساب التباين للمفردات التالية (اعمار عينة من طلاب احص 122 بالسنوات)

    القانون:

    العينة:

الانحراف المعياري  

Standard Deviation 

    من مقاييس التشتت

    يقاس بوحدات قياس المتغير محل الدراسة

    هو الجذر التربيعي الموجب للتباين أي:

    من مثال سابق الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال المصنع (المجتمع):

الانحراف المعياري للبيانات المبوبة 

    الانحراف المعياري يحسب بتطبيق المعادلة التالية :

    حيث كل مكونات القانون كما بينا سابقا.

    

الانحراف المعياري للبيانات المبوبة

مثال

    من مثال سابق نحسب الانحراف المعياري كما يلي:

    وبتطبيق المعادلة ، نجد أن الانحراف المعياري قيمته هي:

خصائص الانحراف المعياري 

    الانحراف المعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا

    إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة لا يتأثر الانحراف الانحراف المعياري بذلك

    إذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت  فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة ، يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت

    : إذا كان لدينا التوليفة الخطية :

  فإن الانحراف المعياري للمتغير ( y )  يكون:

مزايا وعيوب الانحراف المعياري 

    المزايا:

        أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما .

        يسهل التعامل معه رياضيا .

        يأخذ كل القيم في الاعتبار .

    العيوب:

        يتأثر بالقيم الشاذة