الصف الثالث علمي
الصف الثالث أدبي
الصف الثاني الثانوي
الـتَّمارين
1) الهندسة الإحداثية هي ……………………………………………
2) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، المسافة بين النقطتين أ= س1 ، ب = س2 تعطى بالعلاقة أب = ……………………………………
3) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، إحداثي النقط جـ التي تقسم المسافة بين النقطتين أ= س1 ، ب = س2 بنسبة ن1 : ن2 تعطى بالعلاقة جـ = ……………...............................
4) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، إحداثي النقط جـ التي تنصف المسافة بين النقطتين أ= س1 ب = س2 تعطى بالعلاقة
جـ = …………………………………………………….
5) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن طول القطعة المستقيمة أب = ……………………………………
6) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تنصيف أب هي س = ………… ، ص = …………
7) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تقسيم أب من الداخل بنسبة ن1 : ن2 هي
س = ……………… ص = ……………………………
8) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تقسيم أب من الخارج بنسبة ن1 : ن2 هي
س = ……………… ص = ……………………
9) زاوية ميل المستقيم هي …………………………………………
10) ميل المستقيم الذي يصنع زاوية قدرها هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات يعطى بالعلاقة م = ……………..
11) ميل المستقيم المار بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) يعطى بالعلاقة م = ……………..
12) ميل المستقيم الذي معادلته أس + ب ص + جـ = صفر يعطى بالعلاقة م = ……………..
13) يكون المستقيمان متوازيين إذا وإذا فقط ……… ميلاهما .
14) مستقيمان ميلاهما م1، م2 يتعامدان إذا كان …….. = ……..
15) ظل الزاوية هـ بين المستقيمين اللذين ميلاهما م1، م2 يعطى بالعلاقة ظاهـ = .............................................
16) معادلة الخط المستقيم هي …………………………………….
……………………………………………………………………
17) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع جزءا طوله جـ من المحور الصادي هي ……………………………………..................
18) معادلة المستقيم المار بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) هي …………………………………………………………………
19) معادلة المستقيم الذي ميله م ويمر بالنقطة (س1، ص1) هي ……………………………………………………………………
20) معادلة المستقيم الذي يقطع من المحور السني جزءا طوله أ ومن المحور الصادي جزءا طوله ب هي ………………………………
21) معادلة المستقيم الذي بعده العمودي عن نقطة الأصل ر ويصنع هذا العمودي زاوية قدرها هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي … ........................................................................
22) بعد النقطة (س1، ص1) عن المستقيم أس + ب ص + جـ = صفر يساوي .................................................................
23) املأ الجدول التالي
الميل ميل مستقيم يوازيه المعادلة معادلة مستقيم يوازيه
المحور السيني م= ... م= ... ....=... ....=....
المحور الصادي م= ... م= ... ....=... ....=....
معادلة مستقيم يمر بنقطة الأصل ........... + ...........= صفر
24) جد طول أب حيث أ = ( -6 ، 1 ) ، ب = ( 2 ، 7 ).
...........................................................................................................................................................................................................................
25) جد المسافة بين جـ و د حيث جـ = (7 ،3) ، ب = (2، -9).
...........................................................................................................................................................................................................................
26) برهن أن المثلث أب جـ متساوي الأضلاع حيث أ = (1 ،2) ، ب = ( 7،2) ، جـ = (4 ، 3 3+2 ) [ ارشاد : اثبت أن أب=ب جـ= أجـ ]
...........................................................................................................................................................................................................................
27) أثبت أن أب جـ د متوازي أضلاع حيث أ = (8 ،2)،ب = (9،1)،جـ = (2،4) ، د = (1،5 ).
..................................................................................................................................................
28) أثبت أن النقاط أ، ب ، جـ تقع على استقامة واحدة حيث أ = (7،1) ، ب = (9،2) ، جـ (3 ، 11).
..................................................................................................................................................
.........................................................................
29) أثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاوية حيث أ = (6،1) ، ب = ( 2،1) ، جـ (2،4). [ ارشاد : اثبت أن(أب)2 + (ب جـ)2 = (أجـ)2]
...........................................................................................................................................................................................................................
اكتب بلغة المجموعات مجموعات نقاط الأجزاء التالية من المستوى الإحداثي
30) المحور السيني = .................................................
31) المحورالصادي= ..................................................
32) الربع الأول = ....................................................
33) الربع الثاني = ....................................................
34) الربع الثالث = ....................................................
35) الربع الرابع = ...................................................
36) النصف الأعلى = .................................................
37) النصف الأسفل =...................................................
38) النصف الأيمن = .................................................
39) النصف الأيسر= ..................................................
40) نقطة الأصل =.....................................................
41) الدائرة س2 + ص2= 100 .......................................
42) داخل الدائرة س2 + ص2= 100 ..................................
43)خارج الدائرة س2 + ص2= 100 .................................
44) الجزء السالب للمحور السيني = ..................................
45) الجزءالموجب للمحور السيني = ..................................
46) الجزء السالب للمحور الصادي = ..................................
47) الجزء الموجب للمحور الصادي=.................................
48) نقاط المستقيم س +3ص = 12 = ................................
49) الواقعة أعلى (فوق) المستقيم ص = 4 ............................
50) النقاط الواقعة يسار المستقيم س = 3 .............................
51) النقاط الواقعة داخل المستطيل المحصور بين المحورين والمستقيمين س=8 و ص=2 .........................................
52) جد إحداثيات نقطة تنصيف أب حيث أ = (11،3 ) ، ب = (5 ،7 )
..................................................................................................................................................
53) جد إحداثيات نقطة تنصيف أب حيث أ = (-8 ،15 ) ، ب = (2 ،7 )
..................................................................................................................................................
.........................................................................
54) جد إحداثيات النقطة أ إذا كانت إحداثيات تنصيف أب هي ( 5، 2 ) وكانت ب = (2 ،7 )
..................................................................................................................................................
.........................................................................
55) جد إحداثيات د إذا كان أب جـ د متوازي أضلاع وكانت أ=(3،12)، ب=(7،7)،جـ = (1، صفر)
.................................................................................................................................................. ...........................................................................................................................................................................................................................
56) جد نقطة تلاقى المستقيمات المتوسطة للمثلث أ(4،2)، (1،1)،جـ (10، 6)
.................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
57) جد نقطة تقسيم أب من الداخل بنسبة 2:3 حيث أ = (11،3 )، ب = (1،8)
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
58) جد نقطة تقسيم أب من الداخل بنسبة 1:5 حيث أ = (2 ، 1)،ب =(13،8)
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
59) جد نقطة تقسيم أ(7،3) و ب(1،9) من الخارج بنسبة 1:3 =
..................................................................................................................................................
.........................................................................
60) جد ميل المستقيم أب حيث أ = ( -5،2) ، ب = (1،1)
..................................................................................................................................................
.........................................................................
61) جد ميل مستقيم يصنع مع الاتجاه الموجب لمحورالسينات زاوية45 ْ
...........................................................................................................................................................................................................................
62) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين أ و ب حيث أ = (4،1) ، ب = (2،5) يعامد المستقيم الذي معادلته س -2ص -2 = 0 عند النقطة أ
...........................................................................................................................................................................................................................
63) جد ميل مستقيم يعامد المحور السيني (يوازي المحور الصادي )
.................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
64) جد قيمة هـ التي تجعل المستقيمان هـ س - 3ص -1 = صفر و 4س - 5ص +7 = صفر متعامدين .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 65) جد الزاوية الحادة بين المستقيمين الذين ميلاهما و 3
.........................................................................
........................................................................................................................................................................................................................... 66) جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين أ ( 5،2) ، ب(3،7)
...........................................................................................................................................................................................................................
67) جدمعادلةمستقيم يمربنقطةالأصل صانعاً مع محور س زاوية ظا-1 2
..................................................................................................................................................68) جد معادلة مستقيم ميله3 ويقطع من المحورالصادي جزء طوله -5
...........................................................................................................................................................................................................................
69) جد معادلة مستقيم عمودي على المستقيم الذي معادلته 4س+5ص-2 =0 ويقطع من المحور الصادي جزءاً طوله 7
........................................................................................................................................................................................................................... 70) المستقيم ل1 ميله 4 ويعامد ل2: أس – ص +11=0 ، جد قيمة أ وطول الجزء المقطوع من المحور الصادي بواسطة ل2 .
...........................................................................................................................................................................................................................
71) جد معادلة مستقيم يقطع من المحور السيني جزءاً طوله 4 ومن المحور الصادي جزءا طوله 7 . جد ميله وميل مستقيم عمودي عليه
...........................................................................................................................................................................................................................
72) ضع المعادلة 6س+ 7ص -42 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
..................................................................................................................................................
73) ضع المعادلة 3س+ ص -3 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
...........................................................................................................................................................................................................................
71) ضع المعادلة س- ص -13 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
........................................................................................................................................................................................................................... 74) جد معادلة المستقيم الذي يبعد العمودي منه عن نقطة الأصل 3 وحدات ويصنع هذا العمودي زاوية ظلها 12/5
......................................................................... ..................................................................................................................................................
75) جد معادلة المستقيم الذي يبعد العمودي منه عن نقطة الأصل 5 وحدات ويصنع هذا العمودي زاوية 60 درجة
...........................................................................................................................................................................................................................
76) ضع المعادلة س + ص – 8 = صفر في الصورة العمودية ومن ثم جد طول العمود النازل من نقطة الأصل على هذا المستقيم وزاوية ميل العمود
...........................................................................................................................................................................................................................
77) ضع المعادلة ص = 3 س + 6 في الصورة العمودية ثم جد طول العمود النازل من نقطة الأصل على هذا المستقيم وزاوية ميل العمود
...........................................................................................................................................................................................................................
78) جد البعد العمودي لـ( 5س + 12 ص =26) عن نقطة الأصل ......................................................................... ..................................................................................................................................................
79) جدطول العمود من (-4، 0) على المستقيم 3س+4ص+7 = صفر
...........................................................................................................................................................................................................................
80) جد المسافة بين المستقيمين المتوازيين س +2 ص -14 =صفر و 3س+6ص -11 = صفر
...........................................................................................................................................................................................................................
81) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 1 فإن ميل ل2=.....
82) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 0 فإن ميل ل2=.....
83) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 =∞ فإن ميل ل2=.....
84) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 2 فإن ميل ل2=.....
85) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = - 10 فإن ميل ل2=.....
86) إذاكان ل1 ،ل2 متعامدين وكان ميل ل1=0.25 فإن ميل ل2=.....
87) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 0.8 فإن ميل ل2=.....
[ حول الكسر العشري إلى صورة كسر اعتيادي ]
88) جد نقطة تقاطع متوسطات المثلث أ(3،-1)،ب (-7،1)،ج (10،9)
..................................................................................................................................................
.........................................................................
89) جد ميل مستقيم يصنع زاوية 45 درجة مع المستقيم الذي ميله -3
..................................................................................................................................................
.........................................................................
90) في النظام الإحداثي للخط المستقيم إذا كان إحداثي أ يساوي -4 وإحداثي ب يساوي 8 ، جـ هي منتصف أب ، إذن إحداثي جـ يساوي
......................................................................... .........................................................................
.........................................................................
91) ما معادلةمستقيم مار بـ (صفر،-3) موازياً المستقيم س+ ص=0
..................................................................................................................................................
.........................................................................
92) إذا كان ميل مستقيم ما يساوي (هـ +1 ) وكان هذا المستقيم موازياً للمستقيم 2ص = 6س +2 ، فما قيمة هـ
..................................................................................................................................................
.........................................................................
93) جد إحداثيات النقاط الثلاث التي تقسم القطعة المستقيمة أب إلى 4 قطع متساوية حيث أ (5 ، -7) ، ب (1، 1 )
..................................................................................................................................................
.........................................................................
94 ) اكتب معادلة المستقيم الذي يبعد عن نقطة الأصل وحدة واحدة ويصنع العمودي منها إليه زاوية ظلها 0.75 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات ..................................................................................................................................................
.........................................................................
95) هناك طريقتان لاثبات أن ثلاث نقط أ، ب ، ج تقع على استقامة واحدة ، وضحهما ........................................................................ ..................................................................................................................................................
96) كيف يمكنك إيجاد ميل مستقيم إذا علمت معادلته ...................
97) كيف يمكنك إيجاد معادلة مستقيم إذا علمت ميله ونقطة يمر بها .........................................................................
98) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يمر بنقطة الأصل ......................
99) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني .............
100) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني ويقع في النصف الأعلى للمستوى الإحداثي ..............................................
101) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني ويقع في النصف الأسفل للمستوى الإحداثي ..............................................
102) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحورالصادي ويقع في النصف الأيمن للمستوى الإحداثي .......................................
103) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور الصادي ويقع في النصف الأسفل للمستوى الإحداثي ......................................
104) جدمعادلة مستقيم ميله ب ويقطع جزءا من محور ص طوله ب
..................................................................................................................................................
105) جد معادلة المستقيم الذي يقطع من المحور السيني جزءا طوله ب ومن المحور الصادي جزءا طوله ب
..................................................................................................................................................
106) برهن على أن معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( ب ، 2أ) ، (2ب، أ) هي أس + ب ص – 3أب = صفر
..................................................................................................................................................
.........................................................................
107) برهن على أن معادلة المستقيم الماربـ ( ب ، ب2) والذي ميله ب هي ص = ب س
..................................................................................................................................................
.........................................................................
108) أثبت أن البعدالعمودي لـ(3أس +4أص -2أ2=0) عن (أ،أ) = أ
.................................................................................................................................................
.........................................................................
109) أثبت أن المثلث المحصور بين المستقيمات التي أميالها 3 ، -2 ، 0.5 قائم الزاوية ومتساوي الساقين
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................. الحلُوُلْ
1) الهندسة الإحداثية هي التحليل الجبري للهندسة المستوية
2) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، المسافة بين النقطتين أ= س1 ، ب = س2 تعطى بالعلاقة أب = │س1- س2 │ = │س2- س1│
3) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، إحداثي النقط جـ التي تقسم المسافة بين النقطتين أ= س1 ب = س2 بنسبة ن1 : ن2 تعطى بالعلاقة جـ =
4) في النظام الإحداثي للخط المستقيم ل ، إحداثي النقط جـ التي تنصف المسافة بين النقطتين أ= س1 ب = س2 تعطى بالعلاقة جـ =
5) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن طول القطعة المستقيمةأب= (س2- س1)2 + (ص2- ص1)2
6) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تنصيف أب هي س = ص =
7) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تقسيم أب من الداخل بنسبة ن1 : ن2 هي
س = ص =
8) إذا كانت أ هي النقطة (س1، ص1) ، ب هي النقطة (س2، ص2) فإن إحداثيات نقطة تقسيم أب من الخارج بنسبة ن1 : ن2 هي
س = ص=
9) زاوية ميل المستقيم هي الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
10) ميل مستقيم يصنع زاوية هـ مع اتجاه محور س الموجب = ظاهـ
11) ميل المستقيم المار بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) يعطى بالعلاقة م =
12) ميل المستقيم الذي معادلته أس + ب ص + جـ = صفر يعطى بالعلاقة م =
13) يكون المستقيمان متوازيين إذا وإذا فقط تساوى ميلاهما .
14) المستقيمان الميلاهما م1، م2 متعامدان إذا فقط إذا كان م1 م2 = -1
15) ظل الزاوية هـ بين المستقيمين اللذين ميلاهما م1، م2 يعطى بالعلاقة ظاهـ = ±
16) معادلة الخط المستقيم هي علاقة (معادلة من الدرجة الأولى )في المتغيرين س ، ص صحيحة لكل النقاط الواقعة على الخط المستقيم
17) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع جزءا طوله جـ من المحور الصادي هي ص = م س + جـ ..
18) معادلة المستقيم المار بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) هي
=
19) معادلة المستقيم الذي ميله م ويمر بالنقطة (س1، ص1) هي
ص – ص1 = م (س – س1) ..
20) معادلة المستقيم الذي يقطع من المحور السني جزءا طوله أ ومن المحور الصادي جزءا طوله ب هي + = 1
21) معادلة المستقيم الذي بعده العمودي عن نقطة الأصل ر ويصنع هذا العمودي زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي
س جتاهـ +ص جاهـ = ر ..
22) بعد النقطة (س1، ص1) عن المستقيم أس + ب ص + جـ = صفر يساوي
23) املأ الجدول التالي
الميل ميل مستقيم يوازيه المعادلة معادلة مستقيم يوازيه
المحور السيني م= صفر م= صفر ص= 0 ص= ثابت
المحور الصادي م=∞ م= ∞ س= 0 س= ثابت
معادلة مستقيم يمر بنقطة الأصل أ س + ب ص= صفر
24) جد طول القطعة المستقيمة أ( -6 ، 1 ) ،ب( 2 ، 7 ).
أب = (7-1)2+ (2+6)2 = 36 + 64 = 100 = 10 وحدات
25) جد المسافة بين جـ (7 ،3) و د (2، -9).
جـ د = (7-2)2+ (3+9)2 = 25 + 144 = 169 = 13 وحدة
26) برهن أن المثلث أب جـ متساوي الأضلاع حيث أ = (1،2)، ب = (7،2) ، جـ = (4 ، 3 3+2 ) [ ارشاد : اثبت أن أب = ب جـ = أجـ ]
أب = (7-1)2+ (2-2)2 = 36 = 6 وحدات
أجـ = (1-4)2+ (2-3 3-2)2 = 9+27 = 36 = 6 وحدات
ب جـ = (7-4)2+ (2-3 3-2)2 = 9+27 = 36 = 6 وحدات
إذن أب = أ جـ = ب جـ إذن أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع
27) أثبت أن أب جـ د متوازي أضلاع حيث أ = (8 ،2)،ب = (9،1)،جـ = (2،4) ، د = (11،-5 ).
أب = (8-1)2+ (2-9)2 = 49 + 49 = 49×2 = 7 2 وحدة
ب جـ = (1-4)2+ (9-2)2 = 9+49 = 58 وحدة
جـ د = (11-4)2+ (-5-2)2 = 949 + 49 = 49×2 = 7 2 وحدة
أد = (8-11)2+ (2+5)2 = 9+49 = 58 وحدة
28) أثبت أن النقاط أ، ب ، جـ تقع على استقامة واحدة حيث أ = (7،1) ، ب = (9،2) ، جـ (3 ، 11).
أب = (1-2)2+ (7-9)2 = 1 + 4 = 5 وحدة
ب جـ = (2-3)2+ (9-11)2 = 1+4= 5 وحدة
أجـ = (1-3)2+ (7-11)2 = 4 + 16 = 20 =2 5 وحدة
إذن أب + ب جـ = أجـ
29) أثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاوية حيث أ = (6،1) ، ب = ( 2،1) ، جـ (2،4). [ ارشاد : اثبت أن(أب)2 + (ب جـ)2 = (أجـ)2]
(أب)2 = (1-1)2+ (6-2)2 = صفر + 16 = 16
(ب جـ)2 = (1-4)2+ (2-2)2 = 9 + صفر = 9
(أجـ)2 = (1-4)2+ (6-2)2 = 9 + 16 = 25
إذن(أب)2 + (ب جـ)2 = (أجـ)2 إذن مثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب
اكتب بلغة المجموعات مجموعات النقاط التالية من المستوى الإحداثي
30) المحور السيني = { (س ، ص ) : ص = صفر }
31) المحورالصادي= { (س ، ص ) : س = صفر }
32) الربع الأول = { (س ، ص ) : س > صفر ، ص > صفر }
33) الربع الثاني = { (س ، ص ) : س < صفر ، ص > صفر }
34) الربع الثالث = { (س ، ص ) : س < صفر ، ص < صفر }
35) الربع الرابع = { (س ، ص ) : س > صفر ، ص < صفر }
36) النصف الأعلى = { (س ، ص ) : ص > صفر }
37) النصف الأسفل ={ (س ، ص ) : ص < صفر }
38) النصف الأيمن = . { (س ، ص ) : س > صفر }
39) النصف الأيسر= { (س ، ص ) : س < صفر }
40) نقطة الأصل ={ (س ، ص ) : س = صفر ، ص = صفر }
41) الدائرة(س2 + ص2= 100)={ (س ، ص ) : س2 + ص2= 100}
42) داخل الدائرة (س2 + ص2= 100)={ (س،ص):س2+ص2<100}
43)خارج الدائرة (س2 + ص2=100)={ (س،ص):س2+ص2>100}
44) الجزء السالب لمحور س = { (س،ص) : ص = صفر،س< صفر}
45) الجزءالموجب لمحور س = { (س،ص) : ص = صفر،س> صفر}
46) الجزء السالب لمحور ص = { (س،ص) : س = صفر،ص< صفر}
47) الجزء الموجب لمحور ص ={ (س،ص) : س = صفر،ص> صفر}
48) نقاط المستقيم(س +3ص = 12)={ (س،ص) : س +3ص =12}
49) النقاط الواقعة أعلى المستقيم (ص = 4)= { (س،ص) : ص > 4}
50) النقاط الواقعة يسارالمستقيم (س = 3) = { (س،ص) : س < 3 }
51) النقاط الواقعةداخل المستطيل المحصوربين المحورين والمستقيمين س=8 و ص=2 { (س،ص) : صفر < س < 8 ، صفر < ص < 2 }
52) جد إحداثيات نقطة تنصيف أب حيث أ = (11،3 ) ، ب = (5 ،7 )
س = = = 4
ص = 9
إذن نقطة التنصيف = (4 ، 9)
53) جد إحداثيات نقطة تنصيف أب حيث أ = (-8، 15 )،ب = (2،7 )
س = = = -3
ص = = = 11
إذن نقطة التنصيف = (-3 ، 11)
54) جد إحداثيات النقطة أ إذا كانت إحداثيات تنصيف أب هي ( 5، 2 ) وكانت ب = (2 ،7 )
س = إذن 5 = إذن10 = س1+2 إذن س1= 8
وبالمثل ص1 = -3 إذن أ هي النقطة (8 ، -3 )
55) جد د إذا كان أب جـ د متوازي أضلاع وكانت أ=(3،12 )، ب=(7،7)،جـ = (1، صفر)
أقطار المتوازي ينصف بعضها البعض فإذا كانت م نقطة تلاقي القطرين فإن
م = وأيضا م = إذن س1+س3= س2+س4
إذن 3+1=7+س4 إذن س4= 4-7 = -3
وبالمثل ص4 = 5 إذن أ هي النقطة (-3 ، 5 )
56) جد نقطة تلاقى المستقيمات المتوسطة للمثلث أ(4،2)، ب (1،1)،جـ (10، 6)
إذا كانت د هي منتصف أجـ فإن إحداثيات د هي (7 ، 4)
نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة م تقسم ب د بنسبة 2 :1 إذن إحداثيات م هي س = (2×7 + 1×1) /3 = 15/3 = 5
ص= (2×4 + 1×1) /3 = 9/3 = 3 إذن م هي (5، 3)
57) جد نقطة تقسيم أ(11،3 ) ، ب (1،8)من الداخل بنسبة 2:3
س= = = 6
وبالمثل ص = 7 إذن نقطة التقسيم هي = (6 ، 7)
58) جد نقطة تقسيم أ(2،1)ب(13،8) من الداخل بنسبة 1:5
س= = = 7
وبالمثل ص = 11 إذن نقطة التقسيم هي (7 ، 11)
59) جد نقطة تقسيم أ(7،3)ب(1،9) من الخارج بنسبة 1:3
س = = = 12
وبالمثل ص = -2 إذن نقطة التقسيم هي (12 ، -2)
60) جد ميل المستقيم أب حيث أ = ( -5،2) ، ب = (1،-1)
م = = = -2
61) جد ميل المستقيم الذي يصنع مع الاتجاه الموجب لمحورالسينات زاوية 45 ْ
م = ظاهـ = ظا45 = 1
62) أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين أ و ب حيث أ = (4،1) ، ب = (2،5) يعامد المستقيم الذي معادلته س -2ص -2 = 0 عند النقطة أ
شرط التعامد م1م2= -1
م1= = - 2 م2 = -معامل س / معامل ص = -1/-2 = 1/2
إذن م1م2= -1 إذن المستقيمان متعامدان
وواضح أن المستقيم الثاني يمر بـ أ لأن إحداثيات أ تحقق معادلته
إذن هما متعامدان عند أ
63) جد ميل مستقيم عمودي على المحور السيني (يوازي المحور الصادي )
المستقيم العمودي على المحور السيني يوازي المحور الصادي
إذن ميله يساوي ميل المحور الصادي (شرط التوازي )
ميل المحور الصادي = ∞ ميل المستقيم المطلوب = ∞
64) جد قيمة هـ التي تجعل المستقيمان هـ س - 3ص -1 = صفر و 4س - 5ص +7 = صفر متعامدين
شرط التعامد م1م2= -1 ، م1= - هـ/-3 = هـ/3 ، م2 = -4/-5 = 4/5
إذن (هـ/3)(4/5) = -1 إذن 4هـ = -15 إذن هـ (-15 / 4 )
65) جد الزاوية الحادة بين المستقيمين الذين ميلاهما 3 و 0.5
ظاهـ = ±(م2 – م1)/(1+ م1م2) = ± (0.5 – 3.0) / (1.0 + (3)(0.5))=
±(-2.5)/ (2.5) = ± -1 وبما أن المطلوب هو الزاوية الحادة إذن ظاهـ = 1 إذن هـ = 45 إذن الزاوية المحصورة بينهما هي 45
66) جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين أ ، ب حيث أ = ( 5،2) ، ب = (3،7)
من صيغة النقطتين
= إذن ص -5 = 2س -4 إذن 2س- ص +1 =صفر
67) جدمعادلة المستقيم الماربنقطة الأصل صانعاً مع المحورالسيني زاوية ظا-1 2
ص – ص1 = م (س – س1) ، م = 2 والنقطة هي (صفر، صفر)
إذن المعادلة هي ص = 2س أو 2س – ص = صفر
68) جد معادلةمستقيم ميله3 ويقطع من المحورالصادي جزءاً طوله -5
ص = م س+ جـ،م = 3، جـ = -5 إذن المعادلة هي ص=3س -5 أو 3س – ص -5 = صفر
66) جد معادلة مستقيم عمودي على المستقيم الذي معادلته 4س+5ص-2 =0 ويقطع من المحور الصادي جزءاً طوله 7
ص = م س+ جـ ، جـ =7 ، شرط التعامد م1م2 = -1 ، م2= -4/-5 = 4/5 إذن م2= -5/4 إذن المعادلة هي ص = (-5/4)س +7 أو 4ص = -5س+28 أو 5س + 4ص -28 = صفر
67) إذا كان المستقيم ل1 الذي ميله 4 يعامد المستقيم ل2: أس – ص +11=0 فما قيمة أ وما طول الجزء المقطوع من المحور الصادي بواسطة ل2 .
من شرط التعامد وقانون الميل من المعادلة أ= (-1/4) إذن معادلة ل2 س +4ص -44 = صفر ومنها الجزء المقطوع من المحور الصادي =11
68) جد معادلة مستقيم يقطع من المحورالسيني جزءاً طوله 4 ومن المحورالصادي جزءا طوله7. جد ميله وميل مستقيم عمودي عليه
صيغة المقطعين (س/أ) +(ص/ب)=1،أ=4،ب=7، إذن (س/4)+(ص/7)= 1 إذن 7س +4ص = 28 إذن الميل (7/4) ، ميل العمودي (-4/7)
69) ضع المعادلة 6س+ 7ص -42 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
6س + 7ص =42 إذن (س/7) +(ص/6)=1،أ=7،ب=6
70) ضع المعادلة 3س+ ص -3 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
3س + ص =3 إذن (س/1) +(ص/3)=1،أ=7،ب=6
71) ضع المعادلة س- ص -13 = صفر في صورة المقطعين ومن ثم جد طولي الجزءين المقطوعين من المحورين بواسطة هذا المستقيم
س - ص =13 إذن (س/13) +(ص/-13)=1،أ=13،ب=-13
72) جد معادلة المستقيم الذي يبعد العمودي منه عن نقطة الأصل 3 وحدات ويصنع هذا العمودي زاوية ظلها 12/5
إذا كان هـ هي الزاوية التي ظلها 12/5 فإن جاهـ = 12/13، جتاهـ = 5/13
إذن المعادلة المطلوبة هي س (5/13) + ص (12/13) = 3
أو 5س +12ص -39 = صفر
73) جد معادلة المستقيم الذي يبعد العمودي منه عن نقطة الأصل 5 وحدات ويصنع هذا العمودي زاوية 60 درجة
س جتاهـ +ص جاهـ = ر إذن س جتا60 + ص جا60 = 5 إذن
س + 3 ص - 5 3 = صفر
74) ضع س + ص – 8 = صفر في الصورة العمودية ثم جد ر، هـ
بقسمة كل حدود المعادلة على 2 وإعادة الترتيب
(س / 2 ) + (ص / 2 ) = 4 2 إذن هـ = 45 ، ر= 4 2
75) ضع المعادلة ص = 3 س + 6 في الصورة العمودية ومن ثم جد طول العمود النازل من نقطة الأصل على هذا المستقيم وزاوية ميل العمود
بقسمة كل حدود المعادلة على 2 وإعادة الترتيب
س (- 3 /2 ) + ص (1/2) = 3 إذن ر = 3 ، هـ = 120 درجة
76) جد البعد العمودي للمستقيم 5س + 12 ص +26 عن نقطة الأصل
البعد العمودي = =
= = 2 وحدة
77) جد البعد العمودي للنقطة (-4،0) عن المستقيم 3س+4 ص+7 = صفر
البعد العمودي = = وحدة واحدة
78) جد المسافة بين المستقيمين المتوازيين س +2 ص -14 =صفر و 3س+6ص -11 = صفر
النقطة (14، صفر) تقع على المستقيم س +2 ص -14 =صفر إذن البعد العمودي بين المستقيمين = =
79) إذاكان المستقيمان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 1 فإن ميل ل2=-1
80) إذاكان المستقيمان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 0 فإن ميل ل2= ∞
81) إذاكان المستقيمان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = ∞ فإن ميل ل2=0
82) إذاكان المستقيمان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 2 فإن ميل ل2=-0.5
83) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = - 10 فإن ميل ل2= 0.1
84) إذاكان المستقيمان ل1،ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 0.25 فإن ميل ل2=-4
85) إذاكان ل1 ، ل2 متعامدين وكان ميل ل1 = 0.8 فإن ميل ل2= - 1.25
[ حول الكسر العشري إلى صورة كسر اعتيادي ]
86) جد نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة للمثلث الذي رؤوسه أ(2، -1) ، ب (-6، 1) ، ج (10،9)
إذا كانت د هي منتصف أب فإن إحداثيات د هي (-2 ، صفر)
نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة م تقسم جـ د بنسبة 2 :1 إذن إحداثيات م هي
س = (2×-2 + 1×10) /3 = 6/3 = 2
ص= (2×صفر + 1×9) /3 = 9/3 = 3
إذن نقطة تلاقي المتوسطات م هي (2، 3)
87) جد ميل المستقيم الذي يصنع زاوية 45 درجة مع المستقيم الذي ميله -3
(م2- م1)/ (1+م1م2) = 1 => (م2+ 3)/ (1-3م2) = 1 => م2+ 3 = 1-3م2
4م2= -2 => م2= -0.5 وبافتراض العكس (-3- م1)/ (1-3م1) = 1 => م1+ 3 = 3م1- 1 => 2م1=4 => م1=2
88) في النظام الإحداثي للخط المستقيم إذا كان إحداثي أ يساوي -4 وإحداثي ب يساوي 8 وكانت جـ هي منتصف أب فإن إحداثي جـ يساوي
جـ = (-4 +8)/2 = 4/2 = 2
89) اكتب معادلة المستقيم المار بـ (صفر،-3) موازياً المستقيم س+ ص = 0
ميل المستقيم المطلوب حسب شرط التوازي وقانون الميل من المعادلة = -1
إذن المعادلة هي ص + 3 = - س أو س + ص +3 = صفر
90) إذا كان ميل مستقيم ما يساوي (هـ +1 ) وكان هذا المستقيم موازياً للمستقيم 2ص = 6س +2 ، فما قيمة هـ
هـ +1 ( حسب شرط التوازي وقانون الميل من المعادلة ) = 3
إذن هـ = 2
91) جد إحداثيات النقاط الثلاث التي تقسم القطعة المستقيمة أب إلى 4 قطع متساوية حيث أ (5 ، -7) ، ب ( 1 ، 1 )
إذ افترضنا أن النقاط المطلوبة هي جـ ، د ، هـ فإن د تنصف أب إذن
د = (3، -3) وبالمثل جـ تنصف أ د إذن جـ = ( 4 ، -5) ، أيضاً هـ منتصف دب إذن هـ = ( 2 ، -1 )
92 ) اكتب معادلة المستقيم الذي يبعد عن نقطة الأصل وحدة واحدة ويصنع العمودي منها إليه زاوية ظلها 0.75 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
إذا كانت الزاوية هـ بحيث ظاهـ = 0.75 فإن جاهـ = 0.6 ، جتاهـ = 0.8 إذن المعادلة المطلوبة س جتاهـ + ص جاهـ = ر أو 0.8س + 0.6ص= 1
أو 4س + 3 ص – 5 = صفر
93) هناك طريقتان لاثبات أن ثلاث نقط أ، ب ، ج تقع على استقامة واحدة ، وضحهما
عن طريق البعد نثبت أن أب + ب جـ = أجـ أو عن طريق الميل نثبت أن
ميل أب = ميل ب جـ = ميل أجـ
94) كيف يمكنك إيجاد ميل مستقيم إذا علمت معادلته – معامل س / معامل ص
95) كيف يمكنك إيجاد معادلة مستقيم إذا علمت ميله ونقطة يمر بها
ص – ص1 = م (س – س1)
96) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يمر بنقطة الأصل
أي معادلة فيها الحد المطلق منعدم
97) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني ص = أي عدد
98) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني ويقع في النصف الأعلى للمستوى الإحداثي ص = عدد موجب
99) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور السيني ويقع في النصف الأسفل للمستوى الإحداثي ص = عدد سالب
100) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحورالصادي ويقع في النصف الأيمن للمستوى الإحداثي س = عدد موجب
101) هات مثالاً لمعادلة مستقيم يوازي المحور الصادي ويقع في النصف الأسفل للمستوى الإحداثي س = عدد سالب
102) جدمعادلة المستقيم الذي ميله ب ويقطع جزءا من محور الصادات طوله ب
ص = ب س + ب أو ب س – ص + ب = صفر
103) جد معادلة المستقيم الذي يقطع من المحور السيني جزءا طوله ب ومن المحور الصادي جزءا طوله ب
س/ب + ص / ب = 1 أو س + ص – ب = صفر
104) برهن على أن معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( ب ، 2أ) ، (2ب، أ) هي أس + ب ص – 3أب = صفر
المعادلة بمعلومية نقطتين هي (ص- 2أ) / (س – ب ) = -أ/ب أو
ب ص – 2أب = -أس +أب أو أس + ب ص – 3أب = صفر
105) برهن على أن معادلة المستقيم الماربـ ( ب ، ب2) والذي ميله ب هي
ص = ب س
المعادلة هي ص – ب2 = ب (س – ب ) أو ص – ب2 = ب س – ب2 أو ص = ب س
106) أثبت أن بعدالمستقيم 3أس +4أص -2أ2=صفر عن النقطة (أ،أ) يساوي أ
البعد │3أ×أ +4أ×أ -2أ2│/ (25أ2) = 5أ2/5أ = أ وهو المطلوب
107) أثبت أن المثلث المحصور بين المستقيمات التي أميالها 3 ، -2 ، 0.5 قائم الزاوية ومتساوي الساقين
من شرط التعامد المستقيمان الثاني والثالث متعامدان إذن المثلث قائم الزاوية
ومن السؤال (65) الزاوية بين المستقيمين الأول والثالث تساوي 45 إذن المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين