معادلة التوصيل الحراري بشروط حدودية متجانسة :

معادلة التوصيل الحراري بشروط حدودية متجانسة  :
نفرض إن لدينا ذراع معدنية معزولة الجوانب وضعت منطبقة على محور السينات بحيث يكون احدى رؤوسها على نقطة الاصل ونفرض إن طول الذراع هو L وكذلك نفرض تثبيت درجة الحرارة النهائيات (اي نهايات الذراع ) على درجة الصفر المئوية اي :  .
وهذان هما الشرطان الحدوديان المتجانسان للمسألة ونفرض إن درجة الحرارة الابتدائية لنقاط الذراع تساوي (  فأن :
نحاول تعويض هذه الشروط في معادلة الحل :
لايجاد قيم الثوابت k  و L  و Wوباستخدام الشروط الحدودية الأول :
0=   K
نعوض في معادلة الحرارة
نعوض الشروط الحدودي الثاني :
0=    L  SINW
وهذا يعني إنW لها ما لانهاية من القيم باعتماد قيم h وستكتب بشكل wn ولنفس السبب لــ  L بشكل Ln وعلية تصبح المعادلة u(  بالشكل :
u(x,t) =          Ln  sin x  ….*
وبما إن لكل قيمة من قيم n ويجد حل وعلية فان مجموع هذه الحلول ايضا تمثل حل وعليه:
u (x,t)=  Ln  sih  x
يمكن تبسيط هذه المعادلة بتغيير الثابت Ln بالشكل
u(X,t)=
باستخدام الشرط الثالث تصبح المعادلة بالشكل :


وهذه متسلسلة فورية الجيبية , an وهو معامل فورية ألجيبي ويمكن حسابه بالشكل
An=

1-3-3- مثال/
ذراع معدنية متجانسة طولها وحدتين ودرجة حرارتها الابتدائية تساوي 3x ثبتت درجة حرارة نهايتها على الصفر المؤوي . جد درجة حرارة نقاط الذراع في الازمان المختلفة (لاي زمن t) ثم جد حرارة منتصف الذراع عندما t=4
الحل:.
L=2, u (x,o)=3x1, u (o,t)=o ,u(2,t)=o
An =
= 3
=3
=3
نعوض في المعادلة
u(x,t)=
معادلة التوصيل الحراري لاي زمن t
u(1,4)=
معادلة الحرارة لمنتصف الذراع .