التوزيعات التكرارية المتجمعة الصاعدة

التوزيعات التكرارية المتجمعة الصاعدة




تستخدم عند حساب عدد المشاهدات أو

 التكرارات  التي تقل عن كل قيمة من

    قيم المتغير أو الظاهرة محل  الدراسة.

مجموع تكرارات جميع القيم التي تكون أقل من أو تساوي الحد الأعلى الفعلي للفئة.

و هو ما يعرف بالتكرار المتجمع للفئة

التكرار المتجمع للفئة

لإنشاء الجدول التوزيع التكراري المتجمع
أقل من الحد الأعلى الفعلي للفئة            التكرار             الحدود الفعلية للفئة        حدود الفئة
أقل من  29.5 7         24.5 – 29.5 25 - 29
أقل من  34.5 18       29.5 – 34.5 30 – 34
أقل من  39.5 13       34.5 – 39.5 35 – 39
أقل من  44.5 9         39.5 – 44.5 40 - 44
أقل من  49.5 3         44.5 – 49.5 45 - 49
            f =50∑                        


بنفس الطريقة يمكن الحصول على التوزيع التكراري المتجمع النسبي و التوزيع التكراري المتجمع المئوي و لكن بالتجميع المتتالي للتكرار النسبي و المئوي للفئات على الترتيب.
التكرار المتجمع
7
25
38
47
50


لاحظي أن التكرار المتجمع للفئة الأخيرة = مجموع التكرارات
  تمثيل التوزيعات  التكرارية بيانياً

توجد ثلاث طرق لتمثيل التوزيعات التكرارية بيانياً:

الحدود الفعلية للفئات        49.5      44.5     39.5    34.5     29.5     24.5


1) المدرج التكراري

التكرار

2) المضلع التكراري

و هو مضلع نحصل عليه بتنصيف الأضلاع العلوية للمستطيلات و نصل بينها .

الحدود الفعلية للفئات        49.5      44.5     39.5    34.5     29.5     24.5
طريقة أخرى لرسم المضلع التكراري

نحدد النقاط ( الأزواج المرتبة) التي إحداثيها الأفقي  مركز الفئة و إحداثيها العمودي تكرار الفئة ثم نصل بينها بقطع مستقيمة.

الحدود الفعلية للفئات         52   47        42      37       32        27      22 
3) المنحنى التكراري

التكرار المتجمع

الحدود الفعلية للفئات      49.5      44.5      39.5      34.5      29.5        24.5

المضلع التكراري المتجمع

  أشكال التوزيعات  التكرارية

1) تماثل التوزيع

يكون التوزيع متماثل إذا وجد عمود يقسم التوزيع إلى قسمين منطبقين و هذا قليل التحقق على أرض الواقع و لكن تكثر التوزيعات المتماثلة تقريباً.

إذا كان عدم تماثل التوزيع واضحاً و ذلك عندما يمتد أحد طرفيه كثيراً لليمين أو لليسار أو كان علياً من جهة و منخفضاً في أخرى

التوزيع الملتوي

توزيع ملتو نحو اليمين

موجب الالتواء

توزيع ملتو نحو اليسار

سالب الالتواء

توزيع معتدل الالتواء

2) منوال التوزيع

و هو القيمة التي تكررت أكثر من غيرها ( يمثل القمة في التوزيع)

أحادي المنوال

متعدد المنوال(ثلاثي)

ثنائي المنوال

3) تفرطح التوزيع

مدى علو قمة التوزيع التكراري

قليل التفرطح (مدبب)

متوسط التفرطح

كبير التفرطح

4) بعض التوزيعات  الشهيرة

توزيع متجانس(مستطيل)

    متماثل
    ليس له منوال



توزيع U

    متماثل
    ثنائي المنوال (له قمتان من اليمين و اليسار)



توزيع ل

    ملتو نحو اليسار
    له منوال في أقصى اليمين
    إذا كان ملتو نحو اليمين فقمته أقصى اليسار.

وصف البيانات

المقاييس الإحصائية الوصفية

    مقاييس النزعة المركزية.
    مقاييس التشتت.
    معاملات الالتواء.
    و غيرها.....



تشمل كل من

شروط المقياس الجيد

    أن يتم تحديد قيمته بالضبط و لا تترك للتقدير الشخصي.
    أن تدخل في حسابه جميع المشاهدات و البيانات.
    سهولة فهمه و حسابه.
    قابليته للتعامل الجبري.
    عدم تأثره بالقيم الشاذة.

مقاييس النزعة المركزية

أولاً

القيم التي تقترب منها أو تتركز حولها أو تتوزع بالقرب منها معظم البيانات

الوسط الحسابي ( المتوسط )

طريقة حساب الوسط الحسابي

البيانات الغير مبوبة

أمثلة

البيانات التالية تمثل عدد أيام الغياب خلال ربع السنة لعينة عشوائية من الموظفين, أوجدي الوسط الحسابي

6 9 5 7 3 2 10

شركة لديها 6 مصانع في مناطق مختلفة لإنتاج منتج معين سعتها الإنتاجية كما يلي

1000 3000 2000 1000 2500 1200

أوجدي الوسط الحسابي لإنتاج الشركة الكلي

قد يساوي المتوسط إحدى القيم و قد يكون مختلف

طريقة حساب الوسط الحسابي

البيانات المبوبة
التكرار             الفئات
F1       a—b
F2       b—c
f3        c—d
             
Fk       f—
             


+h

+h

مركز الفئة الثانية=

مركز الفئة الأولى +h

مثال

الجدول التالي يوضح الأجر اليومي لعينة عشوائية من 36 عامل بالريال. أوجدي الوسط الحسابي
54 - 58          50-54            46-50            42-46            38 -42           34 -38           30-34            فئات الأجر
3         4         8         10       7         3         1         عدد العمال
            فئات الأجر
1         30-34
3         34—38
7         38-42
10       42-46
8         46—50
4         50-54
3         54—58
36        


نكمل الجدول

مزايا و عيوب الوسط الحسابي

المزايا

العيوب

    سهولة حسابه و التعامل معه جبرياً
    لا يحتاج لترتيب البيانات.
    تدخل في حسابه جميع القيم.
    يعتبر الأساس في معظم عمليات الإحصاء الاستدلالي.



    لا يمكن إيجاده للبيانات الوصفية.
    لا يمكن إيجاده من خلال الرسم.
    يتأثر بالقيم الشاذة.
    قد لا يساوي عدداً صحيحاً أو أي من القيم الداخلة في حسابه.

أي من الأعداد التالية هو العدد الأوسط ؟

2, 4,10, 6, 8,1, 5

نعيد ترتيب الأعداد تصاعدياً أو تنازلياً

1, 2, 4 , 5 , 6 , 8 , 10

يسمى الوسيط

أي من الأعداد التالية هو العدد الأوسط ؟

2, 4,10, 8,2, 5

نعيد ترتيب الأعداد تصاعدياً أو تنازلياً

2, 2, 4 , 5 , 8 , 10

الوسيط

يسمى الوسيط مقياس الموقع

طريقة حساب الوسيط

البيانات الغير مبوبة

أمثلة

أوجدي الوسيط للأجور اليومية بالدولار للبيانات التالية:

العينة الأولى :    50 70           40 50 80

العينة الثانية :  50   70          60 40 30 80

العينة الأولى

العينة الثانية
ت.م.ص                      الفئات
                         

                        المجموع  ∑


فئة الوسيط

التكرار المتجمع للفئة التي تسبق فئة الوسيط

تكرار فئة الوسيط

الحد الأدنى لفئة الوسيط

طريقة حساب الوسيط في البيانات المبوبة

الفئة الأكبر منهما

مثال

الجدول التالي يبين درجات تحديد مستوى 30 طالب في اللغة الانجليزية  و المطلوب حساب الوسيط للدرجات.
84 -100         68 -84           52 -68           36 -52           20 -36             4 -20            الدرجات
2         7         10       6         2         3         عدد الطلاب
            الدرجات
3         4—20
2         20—36
6         36—
10       52—68
7         68—84
2         84—100
30        

أقل من الحد الأعلى للفئة
أقل من 20
أقل من 36
أقل من 52
أقل من 68
أقل من 84
أقل من100


نوجد ت.م.ص

فئة الوسيط

مزايا و عيوب الوسيط

المزايا

العيوب

    سهولة حسابه .
    لا يتأثر بالقيم الشاذة.
    يمكن إيجاده عن طريق الرسم.
    يمكن حسابه في الجداول التكرارية المفتوحة.
    يمكن إيجاده للبيانات الوصفية الترتيبية.



    يحتاج لترتيب البيانات.
    لا تدخل في حسابه جميع القيم.
    يصعب استخدامه في الإحصاء الاستدلالي لصعوبة التعامل معه جبرياً.

المنوال

طريقة حساب المنوال

البيانات الغير مبوبة

أمثلة

أوجدي المنوال لكل من العينات التالية:

المخالفات المرورية التي ارتكبها كل شخص في عينة من 10 أشخاص:
1         4         5         4         3         0         1         4         6         4


المنوال

D = 4

أحادية المنوال

تقديرات عينة من 10 طلاب :
A         C         A         D         F          D         B         D         C         C


المنوال

D,C

ثنائية  المنوال

D تكرر 3 مرات

C تكرر 3 مرات

جنسيات عينة من 10 حجاج أجانب :
لبناني   مصري            لبناني   تونسي مصري
تونسي سوداني            كويتي قطري أمريكي


المنوال

تونسي , لبناني, مصري

ثلاثية المنوال

( متعددة المنوال)

كل من المصري التونسي و اللبناني تكرر مرتين

عدد أيام الغياب عينة من 10 طلاب خلال شهر :
1         2         4         0         5         6         3         7         8         10


المنوال

غير موجود

عديمة المنوال

جميع القيم تكررت مرة واحدة

فصائل الدم لعينة من 10 مرضى :

المنوال

O

عدد المرضى

أوجد المنوال في الحلات التالية 
8  9  9 14  8  8 10  7  6  9 7  8 10  14  11  8  14  11 
110  731  1031  84  20  118  1162  1977  103   752
104   104   104   104   104 107   109   109   109   110              109   111    112   111   109 
الحل   :                                                                                 
المنوال= 8
لا يوجد منوال
المنولان:104 و 109  

طريقة حساب المنوال

البيانات المبوبة

البيانات الوصفية أو الكمية المنفصلة

يحسب المنوال من التعريف مباشرة أي القيمة التي يقابلها أكبر تكرار

أمثلة

أوجدي المنوال لبيانات عينة عشوائية من العمال موزعين حسب الحالة الاجتماعية:
عدد العمال       الحالة الاجتماعية
40       متزوج
25       أعزب
14       مطلق
10       أرمل


المنوال

متزوج

أكبر تكرار

المنوال

أمثلة

الجدول التالي يمثل عدد أجهزة الهاتف النقال المباعة خلال شهر في أحد المحلات و المطلوب إيجاد المنوال
التكرار             عدد الأجهزة المباعة
6         0
13       1
6         2
3         3
2         4


المنوال

1

أكبر تكرار

المنوال

البيانات المتصلة

توجد عدة طرق تقريبية لحساب المنوال منها:

    أن يكون المنوال هو مركز الفئة المنوالية.
    استخدام طريقة العزوم.
    استخدام طريقة الفروق ( بيرسون)

الفئة المنوالية

الحد الأدنى للفئة المنوالية

طريقة  بيرسون حساب المنوال 

نحدد الفئة المنوالية

و هي الفئة التي لها أكبر تكرار.

مثال

أوجدي المنوال لعدد الساعات التي قضاها 33. متطوعاً في العمل التطوعي كما هو موضح بالجدول:
11 -13           9 -11 7 -9    5 -       3 -5    1 -3    عدد الساعات
3         1         10       7         9         3         عدد المتطوعين


الفئة المنوالية

مزايا و عيوب المنوال

المزايا

العيوب

    سهولة حسابه و إيجاده
    لا يتأثر بالقيم الشاذة.
    يمكن حسابه في الجداول التكرارية المفتوحة.
    يمكن إيجاده لجميع أنواع البيانات الوصفية و الكمية.
    يمكن إيجاده من خلال الرسم
    يعتبر المقياس الوحيد الذي يمكن استخدامه للبيانات الاسمية



    لا تدخل في حسابه جميع البيانات.
    قد لا يقع في مركز البيانات بل في طرفها.
    تتغير قيمته باختلاف طريقة اختيار الفئات.
    يصعب التعامل معه في الإحصاء الاستدلالي لأنه قد تكون له أكثر من قيمة.

89
المعدل (المتوسط)        تعريفه مدى استخدامه إيجاده   تأثره بالقيم المتطرقة     تأثره بجميع القيم          مميزاته وعيوبه
الوسط الحسابي                        الأكثر استخداما            دائما     نعم       نعم       يعمل بكفاءة مع جميع الطرق الإحصائية
الوسيط             القيمة التي تتوسط القيم             غالبا     دائما     لا         لا         غالبا ما يستخدم في حالة وجود قيم متطرقة
المنوال             القيم الأكثر تكرارا        أحيانا    أحيانا لا يوجد وأحيانا أكثر من واحد     لا         لا         صالح للبيانات من المستوى الاسمي

إذا كانت درجات طالبة في ثلاثة مقررات كالتالي :
95       80       76       الدرجة
4         2         3         عدد الساعات


كيف يمكن حساب متوسط درجات الطالبة.

لاحظي :

كل درجة تتأثر بعدد الساعات.

لحساب المتوسط

يسمى

المتوسط الموزون

المتوسط المرجح ( الموزون)

المتوسط المرجح لمجموعة من القيم هو مجموع حواصل ضرب القيم في أوزانها المخصصة مقسوماً على مجموع الأوزان.

يرمز للمتوسط المرجح بالرمز   

لمجموعة من القيم

ذات الأوزان



على التوالي

2) الوسط الهندسي

الوسط الحسابي للوغاريتمات تلك الأعداد

في حالة التوزيعات التكرارية ذات الفئات

العلاقة بين المتوسطات الثلاثة وشكل التوزيع 


94

شكل التوزيع متناظر

الوسط=الوسيط=المنوال 

التكرار( النسبي  )

***** 2010

العلاقة بين المتوسطات الثلاثة وشكل التوزيع 


95

التكرار(النسبي)

لتكرار(النسبي)

التوزيع ملتوي نحو اليمين

الوسط أكير من الوسيط

و الوسيط أكبر من المنوال 

التوزيع ملتوي نحو اليسار

    الوسط أصغر من  الوسيط

   والوسيط أصغر من  المنوال 

***** 2010

خلاصة:العلاقة بين المتوسطات الثلاث و شكل التوزيع

          الشكل   متناظر      فان  الوسط =   الوسيط  =   المنوال

    الشكل ملتوي نحو اليسار      فان  الوسط أصغر من الوسيط  و الوسيط أصغر من المنوال

      الشكل ملتوي نحو  اليمين     فان  الوسط أكبرر  من الوسيط  و  الوسيط أكبر   من المنوال 
    
    
         التوزيع ملتوي نحو اليمين               التوزيع متناظر               التوزيع ملتوي نحو اليسار

        الوسط أكبر من الوسيط              الوسط=الوسيط=المنوال          الوسط أصغر من الوسيط

        الوسيط أكبر من المنوال                                                   الوسيط أصغر من المنوال