المقاييس الإحصائية الوصفية

المقاييس الإحصائية الوصفية

                Descriptive Statistical Measures

1- مقاييس النزعة المركزية:Measures of Central Tendency  

هى قيم مركزية (متوسطة) تتمركز او تتوزع حولها البيانات.

2- مقاييس التشتت: Measures of Dispersion 

هى درجة تقارب او تباعد البيانات عن بعضها البعض. 

المقاييس الإحصائية الوصفية

مقاييس النزعة المركزية

Measures of Central Tendency

الوسط الحسابي

Arithmetic Mean

الوسيط

Median

المنوال

Mode

مقاييس التشتت

Measures of Dispersion

المدى

Range

التباين

Variance 

مقاييس النزعة المركزية ( الوسط الحسابي )

يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من البيانات، بأنه حاصل جمعها مقسوماً على عددها، يرمز للوسط الحسابي بالرمز μليمثل متوسط المجتمع أو     ليمثل متوسط العينة.

طرق حسابه في حالة البيانات الغير مبوبة 

1- الوسط الحسابي

Arithmetic Mean

(بيانات المجتمع):

حيث:            : مجموع بيانات المجتمع

N                  : عدد بيانات المجتمع

(بيانات العينة):

حيث:            : مجموع بيانات العينة

n                  : عدد بيانات العينة 

http://stat.kau.edu.sa

مقاييس النزعة المركزية ( الوسط الحسابي )

    مثال (1-3):

احسبى الوسط الحسابى للأجور اليومية بالدولار للعينة التالية

المكونة من خمس عمال باحدى القطاعات:

الحل:

يراعى أن يكون الوسط الحسابي بين أصغر قيمة و أكبر قيمة ضمن البيانات

60

90

80

70

50

مقاييس النزعة المركزية ( الوسط الحسابي )

    مثال (2-3):

    البيانات التالية تمثل عدد أيام الأجازات السنوية التى حصل عليها 9أشخاص أُختيروا من مدن مختلفة بالمملكة. إحسبى الوسط الحسابى لعدد ايام الأجازات السنوية من هذة العينة.

    

  الحل:

        يوم

 

مقاييس النزعة المركزية ( الوسط الحسابي )

مزايا الوسط الحسابي

    تدخل جميع القيم في حسابه.

    سهولة حسابه والتعامل معه جبرياً.

    يعتبر الأساس في معظم عمليات الإحصاء الاستدلالي.

  

مقاييس النزعة المركزية ( الوسيط )

 هو القيمة العددية التي تقل عنها نصف البيانات (50%) ويزيد عنها النصف الآخر. ويرمز له بالرمز ( m). ويعرف كذلك بأنه مقياس الموقع لأن قيمته تعتمد على موقعه في البيانات.

طرق حسابه (في حالة البيانات غير المبوبة )

Median 2- الوسيط

 

       إذا كانت                           تمثل n من بيانات العينة

لإيجاد الوسيط يجب اتباع الآتي:

1- ترتيب البيانات تصاعديا أو تنازليا.

2- نوجد موقع الوسيط =

إذا كان الناتج عدد صحيح فان

الوسيط هوالقيمة التي تقع في هذا الموقع مباشرة

إذا كان الناتج كسر فان

الوسيط هو متوسط القيمتين التي  وقع الوسيط بينهما. 

مقاييس النزعة المركزية ( الوسيط )

    مثال (10 - 3)

    احسب وسيط الأجور اليومية بالدولار للبيانات الآتية والتي تمثل عينتين من العمال مختارتين من شركتين مختلفتين:

    العينة : (1) 

    العينة: (2) 

    الحل:

    العينة : (1)لحساب قيمة الوسيط:

1- نرتب القيم تصاعديا فتصبح

50    60    70    80    90            

2- نوجد موقع الوسيط =                                   (الناتج عدد صحيح) 

، حيث أن الناتج عدد صحيح إذن الوسيط هو القيمة التي موقعها 3

    نجد ان قيمة الوسيط $70 = m = 

مقاييس النزعة المركزية ( الوسيط )

    العينة: (2)  50 70 80 90 60 100

    لحساب قيمة الوسيط:

1- نرتب القيم تصاعديا فتصبح

50    60    70    80    90    100                         

2- نوجد موقع الوسيط وهو                                          (عدد كسرى)

حيث أنه عدد كسري اذن الوسيط هو متوسط القيمتين التي موقعهما 3و4 

نجد ان  الوسيط = m=                 =

$75

مقاييس النزعة المركزية ( المنوال )

هو المفردة ذات القيمة الأكثر شيوعا أو تكراراً.ويرمز له بالرمز D

3- المنوال Mode 

 مثال:(بيانات لها منوال واحد)

البيانات التالية تمثل أعمار خمسه من الطلبة في إحدى الجامعات

أوجدي المنوال ؟

الحل:

       المنوال = القيمة الأكثر تكراراُ

       المنوال =20

مقاييس النزعة المركزية ( المنوال )

    مثال (19-3): (بيانات وصفية اسمية)

البيانات الآتية تمثل تقديرات 10 طلاب فى المدخل الى علم النفس:

  D   C   D   B   A   C   D   F   D   F  

  اوجدى منوال التقديرات لهؤلاء الطلاب.

الحل:

   المنوال =   D(بيانات لها منوال واحد) 

http://stat.kau.edu.sa

مقاييس النزعة المركزية ( المنوال )

مثال: (بيانات لها اكثر من منوال)

البيانات التالية تمثل عدد الأشخاص في عدد من الشقق السكنية أوجدي المنوال :

الحل:

هناك منوالان : المنوال الأول = 4 ، المنوال الثاني = 7

, لأن كليهما تكررا  ثلاث مرات أكثر  من غيرهما. 

مقارنة بين الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

    الوسط الحسابي يفضل على غيره من المتوسطات(الوسيط والمنوال) لكونه أدقها وأكثرها ثباتاً.

    في حالة وجود قيم شاذة في البيانات يفضل الوسيط أو المنوال على الوسط الحسابي لتأثره بالقيم المتطرفة.

    يستخدم المنوال فى حالة البيانات الوصفية الاسمية.

    مجموع انحرفات القيم عن وسطها الحسابى يساوى صفر.

 

مقاييس التشتت ( المدى )

 هو الفرق بين أكبر قيمة وأقل قيمة من البيانات، ويرمز له بالرمز (R).

مثال (31-3):

البيانات الآتية تمثل أسعار سهم شركة معينة خلال خمسة أيام بالريال السعودي:

50 70 80 90 60

احسبى المدى.

  الحل:            اكبر قيمة = 90

                      اقل قيمة = 50

ريال سعودي  R= 90-50 = 40  =المدى

1- المدى Range 

مقاييس التشتت ( التباين والانحراف المعياري )

والتباين لبيانات المجتمع هو عبارة عن متوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي بينما التباين لبيانات العينة هو عبارة عن مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي مقسوماً على (عدد هذه القيم مطروح منه واحد).

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين. 

2- التباين والانحراف المعياري 

مقاييس التشتت ( التباين والانحراف المعياري )

طرق حسابه في حالة البيانات غير المبوبة

 إذا كانت                 تمثل     من بيانات المجتمع ، بمتوسط حسابي (  ) ، وكانت هذه المشاهدات تعبر عن جميع بيانات المجتمع تحت الدراسة ، فإن التباين والانحراف المعياري لهذا المجتمع يحسبان عن طريق الصيغتين التاليتين على التوالي : 

مقاييس التشتت ( التباين والانحراف المعياري )

طرق حسابه في حالة البيانات غير المبوبة

إذا كانت                 تمثل     من بيانات العينة ، بمتوسط حسابي (  ) ، وكانت هذه المشاهدات تعبر عن عينة مأخوذة من مجتمع الدراسة ، فإن التباين والانحراف المعياري لهذه العينة يحسبان عن طريق الصيغتين التاليتين على التوالي : 

مقاييس التشتت (التباين والانحراف المعياري )

مثال (40-3):

أوجد التباين والانحراف المعياري لعدد مرات التداول اليومي خلال أيام العمل الرسمية من أحد حسابات بنك ما:           8        0        3        7        4

التباين

الانحراف المعيارى 

مقاييس التشتت (التباين والانحراف المعياري )

مثال (37-3) :

احسبي الانحراف المعياري للأجور اليومية بالدولار للعينة التالية المكونة من خمس عمال بإحدى القطاعات :          60      90       80      70        50 

الحل :

التباين

الانحراف المعياري 

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الاختلاف )

هو معامل نسبي يستخدم للمقارنة بين تشتت ظاهرتين أو أكثر مختلفتين في وحدة القياس أو فى القيمة المتوسطة لهما. والظاهرة التي معامل اختلافها أكبر تكون أكثر تشتتاً من الأخرى. ويرمز له بالرمز x))c.v. 

طرق حسابه 

1- معامل الاختلاف

(coefficient of variation)

حسابه من بيانات المجتمع

حسابه من بيانات العينة 

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الاختلاف )

    مثال (45-3):

    فى دراسة لمستوى أداء طلاب المرحلة الثانوية فى المدارس الحكومية (A) و الخاصة (B) فى اختبار القدرات و القياس, تم اخذ عينتيين عشوائيتين من المجتمعين محل الدراسة فكانت النتائج التالية:

    المطلوب ايهما اكثر تشتتا مجتمع طلاب المدارس الحكومية أم الخاصة؟

    

    

المقاييس الوصفية لاختبار القدرات و القياس

الوسط الحسابي

الانحراف المعياري

طلاب المدارس الحكومية (A)

65

8

طلاب المدارس الخاصة (B)

70

15

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الاختلاف )

    الحل:

    مجتمع طلاب المدارس الخاصة اكثر تشتتا من مجتمع طلاب المدارس الحكومية. 

    

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الالتواء )

هو درجة بُعد المنحنى التكراري عن التماثل. ويقصد بالتماثل أنه إذا أسقطنا عموداً من قمة المنحنى التكراري وقسمه إلى قسمين منطبقين يكـون التوزيع متماثلاً. والعكس فيكون التوزيع غير متماثل أي ملتو إما إلى جهة اليمين أو إلى جهة اليسار.

2- معامل الالتواء

Skewness 

طريقة حساب معامل الألتواء 

معامل الالتواء الأول (يحسب عن طريق المنوال)

معامل الالتواء الثاني (يحسب عن طريق الوسيط)

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الالتواء )

مثال (47-3):

الجدول التالي يعطي بعض المقاييس الوصفية لمبالغ الاستثمارات (بالمليون ريال) لـ(40) شركة، و المطلوب قياس معامل الالتواء المناسب لهذه البيانات:

الحل:

شكل توزيع مبالغ الاستثمارات لهذه الشركات ملتو جهة اليسار.

الانحراف المعياري

المنوال

الوسط الحسابي

10.43

153

152 

العلاقة بين المتوسطات والتشتت (معامل الالتواء )

مثال (48-3):

الجدول التالي يوضح بعض المقاييس الوصفية للمصروفات(بالمليون ريال) لـ(50) شركة، والمطلوب دراسة تماثل توزيع المصروفات لهذه الشركات:

الحل:

         التوزيع موجب الالتواء فهو ملتو جهة اليمين.

الانحراف المعياري

الوسيط

الوسط الحسابي

8.27

62.67

65.52