مزايا وعيوب المدى
أولا:- مزايا المدى
1 - أبسط وأسهل طريقة لحساب التشتت
2 - مقياس سريع لمدى التشتت المفردات أو حينما يكون للمفردات المتطرفة أهمية خاصة.
ثانيا :عيوب المدى :
1- ليس للمدى أهمية كبيرة فى البحوث العلمية نظرا لأنه لا يأخذ فى الاعتبار تشتت كل المفردات فى حسابه.
2 - مقياس تقريبى غير دقيق
3 - يتأثر تأثرا كبيرا بالقيم المتطرفة
4 - يصعب تقدير قيمته من الجداول التكرارية المفتوحة.
(2 ) : الانحراف المتوسط
تعريفه هو متوسط انحرافات قيم المفردات عن متوسطها الحسابى بغض النظر عن اشارات الانحرافات
طرق حساب الانحراف المتوسط
1) فى حالة الارقام غير المبوبة
للحصول على الانحراف المتوسط أو متوسط الانحرافات من البيانات غير المبوبة نتبع الخطوات الاتية:
1- نوجد المتوسط الحسابى
2- نوجد انحرافات القيم عن المتوسط الحسابى
3 –نوجد مجموع انحرافات القيم عن المتوسط الحسابى مع اهمال الاشارات
4 - الانحراف المتوسط =
مثال احسب المتوسط الحسابى للقيم الاتية:
2، 4، 5، 11، 15، 23
المتوسط الحسابى= = 10
انحرافات كل قيمة عن المتوسط الحسابى تكون كالآتى:
-8، -6، -5، 1، 5، 13
مجموع انحرافات مع اهمال الاشارة الحسابية= 38
متوسط هذه الانحرافات = وهو الانحراف المتوسط
مثال 5، 8، 10، 6، 13، 12
س= 9
الانحرافات = -4، -1، 1، -3، 4، 3
الانحراف المتوسط = = = 3.6
الانحراف المتوسط =
اوجد الانحراف المتوسط للدرجات الاتية:
23، 12، 17، 15، 13
الحل
1 - حساب الانحراف حول المتوسط الحسابى
المتوسط الحسابى = = 16
2 - انحراف الدرجات عن المتوسط الحسابى = 7،-4، 1، -1، -3
الدرجة – المتوسط
3 - القيم مع الغاء الاشارة7، 4، 1، 1، 3
4 - مجموع الانحرافات عن المتوسط = 7+4+1+1+3 = 16
5 - الانحراف المتوسط = = 3.2
ب ) - حساب الانحرافات عن الوسيط
- ترتيب الدرجات 12، 13، 15، 17، 23
يمكن حساب الوسيط و هو هنا = 15
- انحرافات القيم عن الوسيط = -3، -2، صفر، 2 , 8 .
- مجموع انحرافات القيم عن الوسيط مع اهمال الاشارة الجبرية = 3+2+2+8 = 15
- متوسط هذه الانحرافات عن الوسيط = = 3
وهذا هو الانحراف المتوسط
(ب) الانحراف المتوسط من بيانات مبوبة
لايجاد الانحراف المتوسط من بيانات مبوبة نتبع الخطوات التالية:
1. نحسب مركز الفئة
2. نضرب مركز الفئة فى التكرار الفئة
3. نوجد حاصل ضرب مركز الفئة فى التكرار
4. نوجد المتوسط الحسابى =
5. نوجد انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى
6. نضرب الانحرافات × التكرارات المناظرة لكل منها
7. نوجد مجموع حاصل ضرب الانحرافات فى التكرارات المناظرة مع اهمال الاشارة
8. نحدد الانحراف المتوسط باستخدام القانون =
مثال : احسب الانحراف المتوسط للجدول التكرارى التالى
الفئة 2 4 6 8 10 12 14
التكرار 2 1 3 5 6 1 2
الحل
الفئة التكرار مركز الفئة ك×س الانحرافات 1ح1×ك
2
مزايا وعيوب الانحراف المتوسط أو متوسط الانحرافات
- يستخدم فى حالة تواجد مفردات متطرفة تؤثر على التباين بسبب توزيع الفروق وحينما نريد حساب مقياس مناسب للتشتت بدلا من الانحراف المعيارى
- يعتمد على جميع القيم الموجودة فى التوزيع
- سهولة حساب
- يمكن ايجاده لبعض مقاييس النزعة المركزية (غير المتوسط الحسابى) مثل الوسيط
عيوبه
- تأثره بالقيم المتطرفة مثله فى ذلك مثل المدى المطلق
- عدم خضوعه للعمليات الحسابية بسبب اهمال اشارات الانحرافات مما يحد من استخدامه أى ان اغفال الاشارات الحيوية بصورة غير منطقية يجعل هذه الطريقة غير شائعة الاستخدام فى حساب التشتت.
(3) : الانحراف المعيارى
تعريفه
يعرف الانحراف المعيارى بأنه الجذر التربيعى لمتوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابى أو بأنه الجذر التربيعى للتباين.
يتضح من هذا التعريف ان الانحراف المعيارى يعتمد على ايجاد مربع الفروق بدلا من اهمال الاشارة وذلك للتخلص من الاشارات السالبة.
ويعد الانحراف المعيارى ادق مقاييس التشتت للدرجات ذات مستوى القياس الفترى أو النسبى، وهو أكثر استخداما فى البحوث المختلفة. فهو يوضح مدى تشتت (تباين) الدرجات، فإذا تساوى متوسطى مجموعتين من الدرجات فلا يدل ذلك على تساوى المجموعتين. وإنما ننظر إلى الانحراف المعيارى لمعرفة مدى التجانس أو التباين فكلما كان الانحراف المعيارى صغيرا كلما قل تشتت (تباين) الدرجات وزاد تجانسها وإذا زاد الانحراف المعيارى زاد تشتت الدرجات وقل تجانسها.
(أ ) : حساب الانحراف المعيارى من البيانات غير المبوبة:
يحسب الانحراف المعيارى بعد حساب تباين الدرجات، حيث أن الانحراف المعيارى يساوى الجذر التربيعى للتباين، وتباين مجموعة من الدرجات هو متوسط مجموع انحراف الدرجات عن متوسطها الحسابى يتم حساب التباين حسب الخطوات الاتية:
• حساب المتوسط الحسابى للدرجات
• حساب انحراف كل درجة من الدرجات عن المتوسط الحسابى.
• تربيع الانحرافات
• تجميع مربع الفروق لكل القيم فينتج مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط الحسابى
• نقسم مجموع مربعات الانحرافات على عدد الدرجات فينتج التباين
• لحساب الانحراف المعيارى نوجد الجذر التربيعى للتباين
يرمز للانحراف المعيارى بالرمز ع ويرمز للتباين بالرمز ع2
مثال اذا فرضنا مجموعة من الدرجات هى 4، 9، 5، 4، 6، 8، 7،5 ومتوسطهما = 6
احسب الانحراف المعيارى
الدرجات
الدرجة – م ح2
ويكون التباين = = = 3
ويكون الانحراف المعيارى = 3 -= 1.73
مثال : احسب الانحراف المعيارى للقيم الآتية
التباين ع2= = 10.75
الانحراف المعيارى= = 3.27
س- = = 10.5
مثال حساب ع2، ع من القيم الخام غير المبوبة
مثال درجات عينة من الأطفال على اختبار الذكاء
القيم س – س- (س – س-)2
المتوسط = = 11
التباين = = 48.5
الانحراف المعيارى= 48.5 = 6.9
حساب الانحراف المعيارى من الدرجات العادية
للتغلب على العمليات الحسابية المذكورة فى حساب الانحراف المعيارى من الدرجات غير المبوبة يتم اتباع الخطوات التالية:
1- نحسب مجموع الدرجات (مج س)
2- نحسب المتوسط الحسابى للدرجات (م)
3- نحسب مربع الدرجات س2
4- نوجد مجموع المربعات مج س2
5- نحسب التباين باستخدام القانون التالى
ع2 = - م2
أو ع2 =
مثال : احسب الانحراف المعيارى للدرجات الآتية
4، 9، 5، 4، 6، 8، 7، 5
مربع الدرجات 16، 81، 25، 16، 36، 64، 49، 25
مجموع المربعات هو 312
المتوسط الحسابى = 6
ع2= =
ع2 =
ع2= = 3
الانحراف المعيارى = 3 = 1.73
مثال :
مسلسل الدرجة مربع الدرجات (س2)
1
المتوسط الحسابى = = 112.5
التباين ع2=
=
ع2= ع2 = 8.25 وهى نفس القيمة السابق الحصول عليها
ويكون الانحراف المعيارى = 8.25 = 2.87
حساب الانحراف المعيارى للبيانات المبوبة
يتم حساب الانحراف المعيارى للدرجات (الفترية – النسبية) فى البحوث بالطرق السابقة. أما إذا كانت البيانات المتاحة فى شكل جدول توزيع تكرارى فيمكن حساب الانحراف المعيارى للتوزيع بالطرق الآتية:
1- طريقة مركز الفئات
تستخدم هذه الطريقة فى حساب الانحراف المعيارى، وهى تعد الطريقة العادية لحساب الانحراف المعيارى للتوزيع التكرارى. وتفترض هذه الطريقة أن تكرارات كل فئة تتساوى فى الدرجة مع مراكز الفئة.
لحساب الانحراف المعيارى بطريقة مراكز الفئات نتبع الخطوات الآتية:
1- نحدد مركز كل فئة من فئات التوزيع.
2- نضرب مركز كل فئة فى تكرارها.
3- نحسب المتوسط الحسابى للتوزيع (حاصل ضرب المركز فى كل فئة × تكرارها)
4- نضرب التكرار فى مركز الفئة.
5- نضرب حاصل ضرب مركز الفئة × التكرار فى س2 × ت
6- نحسب الانحراف المعيارى.
ع2 =
مج س2 ك الخطوة رقم 5
مج س ك مجموع حاصل ضرب التكرار × مركز الفئة
مج ك مجموع التكرارات
مج ك -1 مجموع التكرارات – 1
ع2 التباين
ع الجذر التربيعى للتباين
مثال احسب الانحراف المعيارى للتوزيع الآتى:
فئات الدرجات التكرار ك مركز الفئة س س × ك س2 × ك
علاقة الانحراف المعيارى بمقاييس التشتت الأخرى
1- علاقة الانحراف المعيارى بالمدى
إذا كانت البيانات موزعة توزيعا طبيعيا وحجم العينة كبيراً جداً فإن
الانحراف المعيارى=
ع =
ب- علاقة الانحراف المعيارى بالانحراف المتوسط
إذا كانت البيانات موزعة توزيعاً طبيعيا فإن
الانحراف المعيارى = (الانحراف المتوسط)
جـ- علاقة الانحراف المعيارى بنصف المدى الربيعى
إذا كانت البيانات موزعة توزيعا طبيعيا فإن
الانحراف المعيارى = (نصف المدى الربيعى)
أولا:- مزايا المدى
1 - أبسط وأسهل طريقة لحساب التشتت
2 - مقياس سريع لمدى التشتت المفردات أو حينما يكون للمفردات المتطرفة أهمية خاصة.
ثانيا :عيوب المدى :
1- ليس للمدى أهمية كبيرة فى البحوث العلمية نظرا لأنه لا يأخذ فى الاعتبار تشتت كل المفردات فى حسابه.
2 - مقياس تقريبى غير دقيق
3 - يتأثر تأثرا كبيرا بالقيم المتطرفة
4 - يصعب تقدير قيمته من الجداول التكرارية المفتوحة.
(2 ) : الانحراف المتوسط
تعريفه هو متوسط انحرافات قيم المفردات عن متوسطها الحسابى بغض النظر عن اشارات الانحرافات
طرق حساب الانحراف المتوسط
1) فى حالة الارقام غير المبوبة
للحصول على الانحراف المتوسط أو متوسط الانحرافات من البيانات غير المبوبة نتبع الخطوات الاتية:
1- نوجد المتوسط الحسابى
2- نوجد انحرافات القيم عن المتوسط الحسابى
3 –نوجد مجموع انحرافات القيم عن المتوسط الحسابى مع اهمال الاشارات
4 - الانحراف المتوسط =
مثال احسب المتوسط الحسابى للقيم الاتية:
2، 4، 5، 11، 15، 23
المتوسط الحسابى= = 10
انحرافات كل قيمة عن المتوسط الحسابى تكون كالآتى:
-8، -6، -5، 1، 5، 13
مجموع انحرافات مع اهمال الاشارة الحسابية= 38
متوسط هذه الانحرافات = وهو الانحراف المتوسط
مثال 5، 8، 10، 6، 13، 12
س= 9
الانحرافات = -4، -1، 1، -3، 4، 3
الانحراف المتوسط = = = 3.6
الانحراف المتوسط =
اوجد الانحراف المتوسط للدرجات الاتية:
23، 12، 17، 15، 13
الحل
1 - حساب الانحراف حول المتوسط الحسابى
المتوسط الحسابى = = 16
2 - انحراف الدرجات عن المتوسط الحسابى = 7،-4، 1، -1، -3
الدرجة – المتوسط
3 - القيم مع الغاء الاشارة7، 4، 1، 1، 3
4 - مجموع الانحرافات عن المتوسط = 7+4+1+1+3 = 16
5 - الانحراف المتوسط = = 3.2
ب ) - حساب الانحرافات عن الوسيط
- ترتيب الدرجات 12، 13، 15، 17، 23
يمكن حساب الوسيط و هو هنا = 15
- انحرافات القيم عن الوسيط = -3، -2، صفر، 2 , 8 .
- مجموع انحرافات القيم عن الوسيط مع اهمال الاشارة الجبرية = 3+2+2+8 = 15
- متوسط هذه الانحرافات عن الوسيط = = 3
وهذا هو الانحراف المتوسط
(ب) الانحراف المتوسط من بيانات مبوبة
لايجاد الانحراف المتوسط من بيانات مبوبة نتبع الخطوات التالية:
1. نحسب مركز الفئة
2. نضرب مركز الفئة فى التكرار الفئة
3. نوجد حاصل ضرب مركز الفئة فى التكرار
4. نوجد المتوسط الحسابى =
5. نوجد انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى
6. نضرب الانحرافات × التكرارات المناظرة لكل منها
7. نوجد مجموع حاصل ضرب الانحرافات فى التكرارات المناظرة مع اهمال الاشارة
8. نحدد الانحراف المتوسط باستخدام القانون =
مثال : احسب الانحراف المتوسط للجدول التكرارى التالى
الفئة 2 4 6 8 10 12 14
التكرار 2 1 3 5 6 1 2
الحل
الفئة التكرار مركز الفئة ك×س الانحرافات 1ح1×ك
2
مزايا وعيوب الانحراف المتوسط أو متوسط الانحرافات
- يستخدم فى حالة تواجد مفردات متطرفة تؤثر على التباين بسبب توزيع الفروق وحينما نريد حساب مقياس مناسب للتشتت بدلا من الانحراف المعيارى
- يعتمد على جميع القيم الموجودة فى التوزيع
- سهولة حساب
- يمكن ايجاده لبعض مقاييس النزعة المركزية (غير المتوسط الحسابى) مثل الوسيط
عيوبه
- تأثره بالقيم المتطرفة مثله فى ذلك مثل المدى المطلق
- عدم خضوعه للعمليات الحسابية بسبب اهمال اشارات الانحرافات مما يحد من استخدامه أى ان اغفال الاشارات الحيوية بصورة غير منطقية يجعل هذه الطريقة غير شائعة الاستخدام فى حساب التشتت.
(3) : الانحراف المعيارى
تعريفه
يعرف الانحراف المعيارى بأنه الجذر التربيعى لمتوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابى أو بأنه الجذر التربيعى للتباين.
يتضح من هذا التعريف ان الانحراف المعيارى يعتمد على ايجاد مربع الفروق بدلا من اهمال الاشارة وذلك للتخلص من الاشارات السالبة.
ويعد الانحراف المعيارى ادق مقاييس التشتت للدرجات ذات مستوى القياس الفترى أو النسبى، وهو أكثر استخداما فى البحوث المختلفة. فهو يوضح مدى تشتت (تباين) الدرجات، فإذا تساوى متوسطى مجموعتين من الدرجات فلا يدل ذلك على تساوى المجموعتين. وإنما ننظر إلى الانحراف المعيارى لمعرفة مدى التجانس أو التباين فكلما كان الانحراف المعيارى صغيرا كلما قل تشتت (تباين) الدرجات وزاد تجانسها وإذا زاد الانحراف المعيارى زاد تشتت الدرجات وقل تجانسها.
(أ ) : حساب الانحراف المعيارى من البيانات غير المبوبة:
يحسب الانحراف المعيارى بعد حساب تباين الدرجات، حيث أن الانحراف المعيارى يساوى الجذر التربيعى للتباين، وتباين مجموعة من الدرجات هو متوسط مجموع انحراف الدرجات عن متوسطها الحسابى يتم حساب التباين حسب الخطوات الاتية:
• حساب المتوسط الحسابى للدرجات
• حساب انحراف كل درجة من الدرجات عن المتوسط الحسابى.
• تربيع الانحرافات
• تجميع مربع الفروق لكل القيم فينتج مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط الحسابى
• نقسم مجموع مربعات الانحرافات على عدد الدرجات فينتج التباين
• لحساب الانحراف المعيارى نوجد الجذر التربيعى للتباين
يرمز للانحراف المعيارى بالرمز ع ويرمز للتباين بالرمز ع2
مثال اذا فرضنا مجموعة من الدرجات هى 4، 9، 5، 4، 6، 8، 7،5 ومتوسطهما = 6
احسب الانحراف المعيارى
الدرجات
الدرجة – م ح2
ويكون التباين = = = 3
ويكون الانحراف المعيارى = 3 -= 1.73
مثال : احسب الانحراف المعيارى للقيم الآتية
التباين ع2= = 10.75
الانحراف المعيارى= = 3.27
س- = = 10.5
مثال حساب ع2، ع من القيم الخام غير المبوبة
مثال درجات عينة من الأطفال على اختبار الذكاء
القيم س – س- (س – س-)2
المتوسط = = 11
التباين = = 48.5
الانحراف المعيارى= 48.5 = 6.9
حساب الانحراف المعيارى من الدرجات العادية
للتغلب على العمليات الحسابية المذكورة فى حساب الانحراف المعيارى من الدرجات غير المبوبة يتم اتباع الخطوات التالية:
1- نحسب مجموع الدرجات (مج س)
2- نحسب المتوسط الحسابى للدرجات (م)
3- نحسب مربع الدرجات س2
4- نوجد مجموع المربعات مج س2
5- نحسب التباين باستخدام القانون التالى
ع2 = - م2
أو ع2 =
مثال : احسب الانحراف المعيارى للدرجات الآتية
4، 9، 5، 4، 6، 8، 7، 5
مربع الدرجات 16، 81، 25، 16، 36، 64، 49، 25
مجموع المربعات هو 312
المتوسط الحسابى = 6
ع2= =
ع2 =
ع2= = 3
الانحراف المعيارى = 3 = 1.73
مثال :
مسلسل الدرجة مربع الدرجات (س2)
1
المتوسط الحسابى = = 112.5
التباين ع2=
=
ع2= ع2 = 8.25 وهى نفس القيمة السابق الحصول عليها
ويكون الانحراف المعيارى = 8.25 = 2.87
حساب الانحراف المعيارى للبيانات المبوبة
يتم حساب الانحراف المعيارى للدرجات (الفترية – النسبية) فى البحوث بالطرق السابقة. أما إذا كانت البيانات المتاحة فى شكل جدول توزيع تكرارى فيمكن حساب الانحراف المعيارى للتوزيع بالطرق الآتية:
1- طريقة مركز الفئات
تستخدم هذه الطريقة فى حساب الانحراف المعيارى، وهى تعد الطريقة العادية لحساب الانحراف المعيارى للتوزيع التكرارى. وتفترض هذه الطريقة أن تكرارات كل فئة تتساوى فى الدرجة مع مراكز الفئة.
لحساب الانحراف المعيارى بطريقة مراكز الفئات نتبع الخطوات الآتية:
1- نحدد مركز كل فئة من فئات التوزيع.
2- نضرب مركز كل فئة فى تكرارها.
3- نحسب المتوسط الحسابى للتوزيع (حاصل ضرب المركز فى كل فئة × تكرارها)
4- نضرب التكرار فى مركز الفئة.
5- نضرب حاصل ضرب مركز الفئة × التكرار فى س2 × ت
6- نحسب الانحراف المعيارى.
ع2 =
مج س2 ك الخطوة رقم 5
مج س ك مجموع حاصل ضرب التكرار × مركز الفئة
مج ك مجموع التكرارات
مج ك -1 مجموع التكرارات – 1
ع2 التباين
ع الجذر التربيعى للتباين
مثال احسب الانحراف المعيارى للتوزيع الآتى:
فئات الدرجات التكرار ك مركز الفئة س س × ك س2 × ك
علاقة الانحراف المعيارى بمقاييس التشتت الأخرى
1- علاقة الانحراف المعيارى بالمدى
إذا كانت البيانات موزعة توزيعا طبيعيا وحجم العينة كبيراً جداً فإن
الانحراف المعيارى=
ع =
ب- علاقة الانحراف المعيارى بالانحراف المتوسط
إذا كانت البيانات موزعة توزيعاً طبيعيا فإن
الانحراف المعيارى = (الانحراف المتوسط)
جـ- علاقة الانحراف المعيارى بنصف المدى الربيعى
إذا كانت البيانات موزعة توزيعا طبيعيا فإن
الانحراف المعيارى = (نصف المدى الربيعى)