Sheppard's Correction
نشير أيضا الى ان حساب الانحراف المعيارى من جداول التوزيع التكرارى يؤدى إلى نتيجة غير دقيقة مما أدى إلى اقتراح شيبرد معامل التصحيح للانحراف المعيارى
وهو طرح من قيمة التباين المحسوب من الجداول التكرارى حتى نحصل على تقدير أكثر دقة للانحراف المعيارى المحسوب لنفس الدرجات الاصلية قبل وضعها فى جدول توزيع تكرارى
وعند تطبيق معامل التصحيح لتقدير الانحراف المعيارى لبيانات التوزيع التكرارى المذكور نحصل على
الانحراف المعيارى (المصحح) = 110.71-
110.71 – 1.33 = 109.38
وتكون ع = 10.46
مميزات وعيوب الانحراف المعيارى
أولا:مميزات الانحراف المعيارى
• لا يتأثر الانحراف المعيارى باضافة (أو طرح) مقدار ثابت من الدرجات بينما يتأثر المتوسط الحسابى بنفس القيمة الاضافة (الطرح)
• يستخدم فى حساب بعض الاحصاءات الاخرى مثل معامل الاختلاف ومقاييس الالتواء
• تتأثر قيمته بكل مفردة فى العينة
• يعتمد على طرق رياضية سليمة كما يخضع للعمليات الرياضية
• من خواص الانحراف المعيارى أن ضرب الدرجات فى أو قسمنها على مقدار ثابت ينتج عنه ضرب الانحراف المعيارى فى او قسمته على نفس المقدار الثابت.
• قيمة الانحراف المعيارى لمجموعة من الدرجات أقل من متوسطها الحسابى وفى حال التوزيع الاعتدال للدرجات يكون المتوسط اكبر من ثلاثة أمثال الانحراف المعيارى. وكلما قلت النسبة عن ذلك ادت إلى التواء فى توزيع الدرجات. اما اذا كان الانحراف المعيارى أكبر من المتوسط فهذا دليل أكيد على التواء التوزيع. ويلاحظ أيضا ان مدى الدرجات فى التوزيع لاعتدال يساوى ستة أمثال الانحراف المعيارى، اما التوزيعات الاخرى (غير الاعتدالية) فيكون الانحراف المعيارى على الاقل نصف المدى الا اذا لم يكن هناك تشتت للدرجات.
• أكثر المقاييس الاحصائية استخداما وأكثرهم اهمية فهو يدخل فى بنية كثير من معادلات التوزيعات الاحتمالية.
• تعتبر قيمته متوسطة تقريبا فى الحجم بين قيم الانحرافات عن المتوسط.
• يمكن اعتباره مقياس للحدود التى تنحرف بها مفردات العينة عن المتوسط.
ثانيا: عيوب الانحراف المعيارى
• لا يمكن ايجاده بيانيا
• يحتاج إلى عمليات كثيرة لحسابه
• لا يمكن استخدامه فى مقارنة تشتت عينتين اذا اختلفت وحدات القياس المستعملة لان تمييز الانحراف المعيارى هو نفسه تميز العينة المحسوبة فيها.
• لا يمكن مقارنة عينتين تختلفان عن بعضهما اختلاف كبيرا فى المتوسط الحسابى بسبب تأثر قيمته بالمتوسط الحسابى للعينة
• يتأثر الانحراف المعيارى بالقيم المتطرفة مثل المتوسط الحسابى.
5-التباين:-
يعرف التباين بأنه متوسط مربعات إنحرافات الدرجات عن المتوسط ويعتبر أدق مقاييس التشتت ومبنى على نفس الأساس الذى بنى عليه الإنحراف المتوسط .
والتباين هو مربع الإنحراف المعيارى أى أن
التباين = ع2
الإنحراف المعيارى ع =
التباين ع = =
وبسبب اعتماد التباين المباشر على الإنحراف المعيارى فإنه يعتبر من :
- أهم مقاييس التشتت.
- يصلح لقياس الفروق الجماعية بين الأنواع المختلفة للتوزيعات التكرارية ، كحساب الفروق بين مستويات تحصيل الطلاب والطالبات فى أى مقرر دراسى أو بالنسبة لدرجات أى قدرة من القدرات العقلية ويسمى هذا النوع من التحليل بتحليل التباين.
مثال :-احسب التباين بين مجموعتين من الأفراد فى مستوى أدائهم على جهات يستخدم فى القياس السيكو حركى . وكان متوسط أدائهم 60 ، 50 على الترتيب بإنحراف معيارى ع1 = 3 ، ع2 = 2 .
الحــل
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الأولى ع1 = 3 ، ع2=9
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الثانية ع2 = 2 ، ع2 = 4
النسبة الفائية = = = 2.25
وهذا يعنى أن درجة التشتت للمجموعة الأولى تختلف عن درجة التشتت للمجموعة الثانية .
- معامل الإختلاف :-
يعرف معامل الإختلاف بأنه مقياس يمثل نسبة مئوية للمقارنة بين تشتت مجموعتين أو أكثر.
وينتج معامل الإختلاف من قسمة الإنحراف المعيارى على المتوسط الحسابى مضروباً فى 100. وقد تنشأ الحاجة إلى معامل الإختلاف لتلافى اختلاف وحدات القياس بين المجموعات مثل الطول الذى يقاس بالسنتيمتر والوزن بالكيلو جرام ) أو اختلاف المتوسط الحسابى.كذلك يستخدم معامل الإختلاف لمعرفة مدى التشابه أو الإختلاف بين مجموعة من القيم.
طرق حساب معامل الإختلاف :-
أ- معامل الإختلاف المعيارى ويصلح للجداول المقفولة فقط .
معامل الإختلاف المعيارى = × 100
= × 100
ب- معامل الإختلاف الربيعى ويصلح للجداول المفتوحة والمقفولة
معامل الإختلاف الربيعى = × 100
= × 100
مثال :- أوجد معامل الإختلاف المعيارى بمعلومية الإنحراف المعيارى الذى يساوى=8 والمتوسط الحسابى = 32 ؟
الحــل
معامل الإختلاف = × 100
= × 100= 25%
مثال :- أوجد معامل الإختلاف الربيعى بمعلومية الربيع الأعلى = 30 والربيع الأدنى= 20 ؟
الحــل
معامل الإختلاف الربيعى = × 100
= × 100 = 20%
مثال :- احسب معامل الإختلاف للدرجات التالية .
3 ، 2 ، 4 ، 5 ، 6 .
الحــل
م = = = = 4
ع = - (م)2 = - (4)2 = 2
معامل الإختلاف = ×100= 0.3153
المئينيات Percentiles
يقصد بالميئنيات تلك الدرجات التى يمكن عندها تقسيم التوزيع التكرارى إلى نسب مئوية معينة ، فالمئين 50 (وهو الوسيط أو الربيع الثانى ) يمكن عنده تقسيم التوزيع إلى نصفين . أما المئين 25 ( وهو الربيع الأول ) فيقسم التوزيع إلى ربع ( 25%) وثلاثة أرباع (75%) .
ويعرف المئين بالنسبة المئوية للدرجات التى تساوى أو تزيد عن درجة معينة . وتستخدم الميئنيات بكثرة فى القياس النفسى والتربوى ، حيث تعد أشهر أنواع المعايير فى تقنين الإختبارات .
طرق حساب المئين :-
يحسب المئنين بنفس طريقة حساب الوسيط والربيع من الخطوات الآتية :-
1- يعتمد على ترتيب الدرجات تصاعدياً (أو تنازلياً) .
2- حساب ترتيب المئين .
3- حساب قيمة المئين بطريقة الإستكمال.
وتحسب المئينيات عادة من توزيعات التكرارية ، كما أنه يمكن حسابها من الدرجات العادية بنفس طريقة حساب نصف المدى الربيعى .
مثال :- احسب المئين للتوزيع التكرارى الآتى :-
الفئات التكرار الحدود الحقيقة للفئات
نتبع نفس خطوات حساب الربيع
فالمئين 20 رتبته = × 50 = 10 وتقع قيمته فى الفئة
(17.5-20.5 ) وهى
قيمة المئين 20 = الحد الأدنى لفئة المئنين + × طول الفئة
= 17.5 + × 3 = 17.5 + 1.67 = 19.17
وتعنى الدرجة 19.17 أنها أفضل من 20 % من درجات التوزيع
وكذلك المئين 65 رتبته هى ×50 = 32.5
وتكون قيمة المئين 65 فى الفئة (23.5 – 26.5 )
= 23.5 + × 3 = 23.5 + 1.5 = 25 ومعنى هذا أن الدرجة 25 أفضل من 65% من درجات التوزيع .
والمئين 10 رتبته هى ×50 = 5
وقيمة المئين 10 = 14.5 + × 3 = 14.5 + 3 = 17.5
والمئين 90 رتبته = ×50 = 45
وقيمة المئين 90 = 26.5 + × 3
= 26.5 + = 26.5 + 2.625 = 29.125
ويستخدم الفرق بين المئين 90 والمئين 10 كمقياس للتشتت
وهو 29.125 – 17.5 = 11.65
وعلى غرار المئينيات يمكن حساب ما يسمى بالاعشاريات ، وهى مسمى لكل 10 % بمعنى أنه يوجد العشر الأول (المئين 10 ) والعشر الثانى (المئين 20 ) والعشر الثالث (المئين 30 ) وهكذا حتى العشر التاسع (المئين 90) ومن ذلك يتضح أن المئين 50 وهو العشير الخامس وهو أيضا الربيع أو الوسيط .
وطريقة الحساب لكل من ذلك هى طريقة الأستكمال المستخدمة فى حساب الوسيط و الأرباعيات والمئينيات .
كيف يختار الباحث مقياس للتشتت المناسب عند تحليل البيانات ؟
هناك عدد من الإعتبارات يجب أن يأخذ بها الباحث عند إختياره لمقياس التشتت الذى يناسب موقفا معينا أو بيانات معينة هى :-
1- حساسية المقياس لتذبذب العينات بمعنى ثبوت القيمة النسبية للمقياس للعينات المسحوبة من نفس المجتمع الأصلى ، فإذا كانت العينات مسحوبة بطريقة عشوائية ، فإنه يمكن ترتيب مقياس التشتت من حيث مدى حساسيتها لتذبذب العينات من الأكثر ثباتا إلى الأقل ثباتا كما يلى :-
الإنحراف المعيارى – الإنحراف المتوسط – نصف المدى الربيعى – المدى المطلق وينعكس هذا الترتيب من حيث سرعة وسهولة على حساب مقياس التشتت.
2- إذا كان الباحث مهتما بحساب مقاييس إحصائية آخرى لمجموعة بياناته مثل تقدير متوسط المجتمع الأصلى أو دلالة الفروق بين متوسطات أو حساب معاملات الإرتباط وما شابه ذلك فإن الإنحراف المعيارى يفضل على جميع مقاييس التشتت الأخرى .
3- ويمكن للباحث أن يختار بين الإنحراف المعيارى ، والإنحراف المتوسط نظراً لان لان الإنحراف المعيارى يعتمد على مجموع مربعات الإنحرافات عن المتوسط ، فإنه يعطى وزناً أكبر للانحرافات المتطرفة ، فإذا كان التوزيع يحتوى على عدد كبير من القيم المتطرفة فى إتجاه أو فى إتجاهين ، ربما يستخدم الباحث الإنحراف المتوسط وبخاصة إذا كان التوزيع ملتو إلتواء شديد .
4- أما نصف المدى الربيعى فهو لا يدخل فى حساب القيم المتطرفة ، ويفضل أحيانا لهذا السبب على الإنحراف المعيارى والإنحراف المتوسط ، وهو يهتم بدرجة أكبر بالقيم الوسطى .
5- فإذا ما استخدم الباحث الوسيط كمقياس للنزعة المركزية يكون من الطبيعى أن يستخدم نصف المدى الربيعى كمقياس للتشتت فكلاهما يعتمد على نفس القواعد وإذا كان التوزيع ناقصاً أو مبتوراً أو يحتوى على قيم غير محدودة . فإن نصف المدى الربيعى يكون هو مقياس التشتت المناسب.
طرق حساب مدى التواء التوزيع التكرارى أو درجات تفرطحة .
معامل الإلتواءSkeweness
يستخدم معامل الإلتواء للحكم على شكل التوزيع التكرارى أو المنحنى التكرارى ، حيث يمكن معرفة مدى ابتعاد التوزيع التكرارى عن التوزيع الإعتدالى . ويدل معامل الإلتواء على درجة تماثل المنحنى أو البعد عن هذا التماثل . فإذا كان منحنى التوزيع التكرارى غير متماثل حول متوسطه الحسابى فيكون أحد طرفى المنحنى بأنه موجب الإلتواء ، أما إذا كان طرف المنحنى الأيسر أطول من طرفه الأيمن فإن المنحنى يميل نحو القيم الكبيرة ويكون المنحنى سالب الإلتواء .
وفى حالة ارتفاع قيمة المتوسط الحسابى عن الوسيط والمنوال يكون التوزيع ملتو التواء موجبا ، أما فى حالة ارتفاع قيمة المنوال والوسيط عن المتوسط الحسابى يكون التوزيع ملتو التواء سالبا.
وأبسط الطرق لحساب الألتواء تعتمد على القانون الأتى :-
معامل الإلتواء = وهى تلك المعادلة التى توصل اليها سبيرمان.
مثال :- إذا كان متوسط درجات ذكاء مجموعة من الأطفال 95.38 والوسيط 90.18 والإنحراف المعيارى 19.52 أحسب معامل الإلتواء؟
الحـل
معامل الإلتواء=
= 0.80
ونظرا لان هذه القيمة كبيرة وتقترب من الواحد الصحيح ، فهذا يدل على أن هذا التوزيع ملتو ، حيث أن قيمة معامل الإلتواء موجبة فيكون ذلك ممتد أكثر نحو اليمين.
وتتراوح قيمة معامل الإلتواء بين + 3 إلى -3 أما معامل الإلتواء المنحنى الإعتدالى فهو يساوى الصفر.
وأحيانا نستخدم نفس المعادلة السابقة لحساب معامل الإلتواء دون استخدام الرقم 3 وتكون بذلك على النحو التالى :
معامل الإلتواء=
وهنا يتراوح معامل الإلتواء بين +1 ، -1 .
أما فى حالة عدم إمكانية حساب المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى (كما فى حالة البيانات الترتيبية ) فيمكن حساب معامل الإلتواء بإستخدام الوسيط والإرباعيات .
ويكون معامل الإلتواء الربيعى =
= =
وتتراوح قيمته بين +1 ، -1 .
- المعادلة الأكثر دقة فى حساب معامل الإلتواء =
= ولكنها صعبة الإستخدام وهى معادلة مستخدمة فى برنامج spss .
ويختلف معامل الإلتواء الربيعى عن معامل التواء فيما يلى :-
1 – يمكن إيجاد معامل الإلتواء الربيعى بالرسم أما معامل الإلتواء فلا يمكن حسابه بالرسم لاعتماد على المتوسط الحسابى الذى لا يمكن إيجاده بالرسم .
2- تنحصر قيمة معامل الإلتواء الربيعى بين+1 ، -1 أما معامل الإلتواء فتنحصر قيمته بين +3 ، -3 .
3- يستخدم للجداول المفتوحة والمقفولة أما معامل الإلتواء فيستخدم فى الجداول المقفولة فقط (لان المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى غير موجودان فى الجداول المفتوحة).
لاحظ أن معامل الإلتواء بإستخدام المتوسط الحسابى والوسيط والإنحراف المعيارى أدق من حسابه من الأرباعيات والوسيط .
- ومعامل الإلتواء أكثر أهمية من معامل التفرطح مما يستلزم مدى دلالة التواء التوزيع بقسمة معامل الإلتواء على الخطأ المعيارى لمعامل الإلتواء وهو وبحث دلالة الناتج .
يستفاد من معامل الإلتواء فى أمرين هما :
1- معرفة نوعية التواء التوزيع التكرارى ، فإذا كان معامل الإلتواء موجباً ، فمعنى ذلك أن المتوسط الحسابى أكبر من الوسيط ، وأن الطرف الأيمن ممتد أكثر ، وبالتالى يكون الإلتواء نحو اليمين . أما إذا كان الإلتواء سالبا فهذا يعنى أن الإلتواء نحو اليسار والطرف الأيسر هو الممتد أكثر.
2- مقارنة التواء توزيعين أو مجموعتين من البيانات ، فالمجموعة التى معامل الإلتواء لها أكبر يكون توزيعها ملتويا أكثر من توزيع المجموعات الآخرى .
منحنى متماثل منحنى ملتو ناحية اليسار منحنى ملتو ناحية اليمين
المتوسط = الوسيط = المنوال سَ أصغر المنوال سَ أكبر من المنوال
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء.
الوسيط = 58 المتوسط الحسابى = 60 الانحراف المعيارى = 4.2
الحل
معامل الالتواء = = =1.4
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الوسيط = 7 الربيع الاعلى = 8.83 والربيع الادنى = 5.37
الحل
معامل الالتواء الربيعى =
= 0.057
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الإنحراف المعيارى = 8 ، المنوال = 25 ، المتوسط الحسابى = 24
الحل
معامل الإلتواء= = = -0.125
نشير أيضا الى ان حساب الانحراف المعيارى من جداول التوزيع التكرارى يؤدى إلى نتيجة غير دقيقة مما أدى إلى اقتراح شيبرد معامل التصحيح للانحراف المعيارى
وهو طرح من قيمة التباين المحسوب من الجداول التكرارى حتى نحصل على تقدير أكثر دقة للانحراف المعيارى المحسوب لنفس الدرجات الاصلية قبل وضعها فى جدول توزيع تكرارى
وعند تطبيق معامل التصحيح لتقدير الانحراف المعيارى لبيانات التوزيع التكرارى المذكور نحصل على
الانحراف المعيارى (المصحح) = 110.71-
110.71 – 1.33 = 109.38
وتكون ع = 10.46
مميزات وعيوب الانحراف المعيارى
أولا:مميزات الانحراف المعيارى
• لا يتأثر الانحراف المعيارى باضافة (أو طرح) مقدار ثابت من الدرجات بينما يتأثر المتوسط الحسابى بنفس القيمة الاضافة (الطرح)
• يستخدم فى حساب بعض الاحصاءات الاخرى مثل معامل الاختلاف ومقاييس الالتواء
• تتأثر قيمته بكل مفردة فى العينة
• يعتمد على طرق رياضية سليمة كما يخضع للعمليات الرياضية
• من خواص الانحراف المعيارى أن ضرب الدرجات فى أو قسمنها على مقدار ثابت ينتج عنه ضرب الانحراف المعيارى فى او قسمته على نفس المقدار الثابت.
• قيمة الانحراف المعيارى لمجموعة من الدرجات أقل من متوسطها الحسابى وفى حال التوزيع الاعتدال للدرجات يكون المتوسط اكبر من ثلاثة أمثال الانحراف المعيارى. وكلما قلت النسبة عن ذلك ادت إلى التواء فى توزيع الدرجات. اما اذا كان الانحراف المعيارى أكبر من المتوسط فهذا دليل أكيد على التواء التوزيع. ويلاحظ أيضا ان مدى الدرجات فى التوزيع لاعتدال يساوى ستة أمثال الانحراف المعيارى، اما التوزيعات الاخرى (غير الاعتدالية) فيكون الانحراف المعيارى على الاقل نصف المدى الا اذا لم يكن هناك تشتت للدرجات.
• أكثر المقاييس الاحصائية استخداما وأكثرهم اهمية فهو يدخل فى بنية كثير من معادلات التوزيعات الاحتمالية.
• تعتبر قيمته متوسطة تقريبا فى الحجم بين قيم الانحرافات عن المتوسط.
• يمكن اعتباره مقياس للحدود التى تنحرف بها مفردات العينة عن المتوسط.
ثانيا: عيوب الانحراف المعيارى
• لا يمكن ايجاده بيانيا
• يحتاج إلى عمليات كثيرة لحسابه
• لا يمكن استخدامه فى مقارنة تشتت عينتين اذا اختلفت وحدات القياس المستعملة لان تمييز الانحراف المعيارى هو نفسه تميز العينة المحسوبة فيها.
• لا يمكن مقارنة عينتين تختلفان عن بعضهما اختلاف كبيرا فى المتوسط الحسابى بسبب تأثر قيمته بالمتوسط الحسابى للعينة
• يتأثر الانحراف المعيارى بالقيم المتطرفة مثل المتوسط الحسابى.
5-التباين:-
يعرف التباين بأنه متوسط مربعات إنحرافات الدرجات عن المتوسط ويعتبر أدق مقاييس التشتت ومبنى على نفس الأساس الذى بنى عليه الإنحراف المتوسط .
والتباين هو مربع الإنحراف المعيارى أى أن
التباين = ع2
الإنحراف المعيارى ع =
التباين ع = =
وبسبب اعتماد التباين المباشر على الإنحراف المعيارى فإنه يعتبر من :
- أهم مقاييس التشتت.
- يصلح لقياس الفروق الجماعية بين الأنواع المختلفة للتوزيعات التكرارية ، كحساب الفروق بين مستويات تحصيل الطلاب والطالبات فى أى مقرر دراسى أو بالنسبة لدرجات أى قدرة من القدرات العقلية ويسمى هذا النوع من التحليل بتحليل التباين.
مثال :-احسب التباين بين مجموعتين من الأفراد فى مستوى أدائهم على جهات يستخدم فى القياس السيكو حركى . وكان متوسط أدائهم 60 ، 50 على الترتيب بإنحراف معيارى ع1 = 3 ، ع2 = 2 .
الحــل
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الأولى ع1 = 3 ، ع2=9
الإنحراف المعيارى لدرجات المجموعة الثانية ع2 = 2 ، ع2 = 4
النسبة الفائية = = = 2.25
وهذا يعنى أن درجة التشتت للمجموعة الأولى تختلف عن درجة التشتت للمجموعة الثانية .
- معامل الإختلاف :-
يعرف معامل الإختلاف بأنه مقياس يمثل نسبة مئوية للمقارنة بين تشتت مجموعتين أو أكثر.
وينتج معامل الإختلاف من قسمة الإنحراف المعيارى على المتوسط الحسابى مضروباً فى 100. وقد تنشأ الحاجة إلى معامل الإختلاف لتلافى اختلاف وحدات القياس بين المجموعات مثل الطول الذى يقاس بالسنتيمتر والوزن بالكيلو جرام ) أو اختلاف المتوسط الحسابى.كذلك يستخدم معامل الإختلاف لمعرفة مدى التشابه أو الإختلاف بين مجموعة من القيم.
طرق حساب معامل الإختلاف :-
أ- معامل الإختلاف المعيارى ويصلح للجداول المقفولة فقط .
معامل الإختلاف المعيارى = × 100
= × 100
ب- معامل الإختلاف الربيعى ويصلح للجداول المفتوحة والمقفولة
معامل الإختلاف الربيعى = × 100
= × 100
مثال :- أوجد معامل الإختلاف المعيارى بمعلومية الإنحراف المعيارى الذى يساوى=8 والمتوسط الحسابى = 32 ؟
الحــل
معامل الإختلاف = × 100
= × 100= 25%
مثال :- أوجد معامل الإختلاف الربيعى بمعلومية الربيع الأعلى = 30 والربيع الأدنى= 20 ؟
الحــل
معامل الإختلاف الربيعى = × 100
= × 100 = 20%
مثال :- احسب معامل الإختلاف للدرجات التالية .
3 ، 2 ، 4 ، 5 ، 6 .
الحــل
م = = = = 4
ع = - (م)2 = - (4)2 = 2
معامل الإختلاف = ×100= 0.3153
المئينيات Percentiles
يقصد بالميئنيات تلك الدرجات التى يمكن عندها تقسيم التوزيع التكرارى إلى نسب مئوية معينة ، فالمئين 50 (وهو الوسيط أو الربيع الثانى ) يمكن عنده تقسيم التوزيع إلى نصفين . أما المئين 25 ( وهو الربيع الأول ) فيقسم التوزيع إلى ربع ( 25%) وثلاثة أرباع (75%) .
ويعرف المئين بالنسبة المئوية للدرجات التى تساوى أو تزيد عن درجة معينة . وتستخدم الميئنيات بكثرة فى القياس النفسى والتربوى ، حيث تعد أشهر أنواع المعايير فى تقنين الإختبارات .
طرق حساب المئين :-
يحسب المئنين بنفس طريقة حساب الوسيط والربيع من الخطوات الآتية :-
1- يعتمد على ترتيب الدرجات تصاعدياً (أو تنازلياً) .
2- حساب ترتيب المئين .
3- حساب قيمة المئين بطريقة الإستكمال.
وتحسب المئينيات عادة من توزيعات التكرارية ، كما أنه يمكن حسابها من الدرجات العادية بنفس طريقة حساب نصف المدى الربيعى .
مثال :- احسب المئين للتوزيع التكرارى الآتى :-
الفئات التكرار الحدود الحقيقة للفئات
نتبع نفس خطوات حساب الربيع
فالمئين 20 رتبته = × 50 = 10 وتقع قيمته فى الفئة
(17.5-20.5 ) وهى
قيمة المئين 20 = الحد الأدنى لفئة المئنين + × طول الفئة
= 17.5 + × 3 = 17.5 + 1.67 = 19.17
وتعنى الدرجة 19.17 أنها أفضل من 20 % من درجات التوزيع
وكذلك المئين 65 رتبته هى ×50 = 32.5
وتكون قيمة المئين 65 فى الفئة (23.5 – 26.5 )
= 23.5 + × 3 = 23.5 + 1.5 = 25 ومعنى هذا أن الدرجة 25 أفضل من 65% من درجات التوزيع .
والمئين 10 رتبته هى ×50 = 5
وقيمة المئين 10 = 14.5 + × 3 = 14.5 + 3 = 17.5
والمئين 90 رتبته = ×50 = 45
وقيمة المئين 90 = 26.5 + × 3
= 26.5 + = 26.5 + 2.625 = 29.125
ويستخدم الفرق بين المئين 90 والمئين 10 كمقياس للتشتت
وهو 29.125 – 17.5 = 11.65
وعلى غرار المئينيات يمكن حساب ما يسمى بالاعشاريات ، وهى مسمى لكل 10 % بمعنى أنه يوجد العشر الأول (المئين 10 ) والعشر الثانى (المئين 20 ) والعشر الثالث (المئين 30 ) وهكذا حتى العشر التاسع (المئين 90) ومن ذلك يتضح أن المئين 50 وهو العشير الخامس وهو أيضا الربيع أو الوسيط .
وطريقة الحساب لكل من ذلك هى طريقة الأستكمال المستخدمة فى حساب الوسيط و الأرباعيات والمئينيات .
كيف يختار الباحث مقياس للتشتت المناسب عند تحليل البيانات ؟
هناك عدد من الإعتبارات يجب أن يأخذ بها الباحث عند إختياره لمقياس التشتت الذى يناسب موقفا معينا أو بيانات معينة هى :-
1- حساسية المقياس لتذبذب العينات بمعنى ثبوت القيمة النسبية للمقياس للعينات المسحوبة من نفس المجتمع الأصلى ، فإذا كانت العينات مسحوبة بطريقة عشوائية ، فإنه يمكن ترتيب مقياس التشتت من حيث مدى حساسيتها لتذبذب العينات من الأكثر ثباتا إلى الأقل ثباتا كما يلى :-
الإنحراف المعيارى – الإنحراف المتوسط – نصف المدى الربيعى – المدى المطلق وينعكس هذا الترتيب من حيث سرعة وسهولة على حساب مقياس التشتت.
2- إذا كان الباحث مهتما بحساب مقاييس إحصائية آخرى لمجموعة بياناته مثل تقدير متوسط المجتمع الأصلى أو دلالة الفروق بين متوسطات أو حساب معاملات الإرتباط وما شابه ذلك فإن الإنحراف المعيارى يفضل على جميع مقاييس التشتت الأخرى .
3- ويمكن للباحث أن يختار بين الإنحراف المعيارى ، والإنحراف المتوسط نظراً لان لان الإنحراف المعيارى يعتمد على مجموع مربعات الإنحرافات عن المتوسط ، فإنه يعطى وزناً أكبر للانحرافات المتطرفة ، فإذا كان التوزيع يحتوى على عدد كبير من القيم المتطرفة فى إتجاه أو فى إتجاهين ، ربما يستخدم الباحث الإنحراف المتوسط وبخاصة إذا كان التوزيع ملتو إلتواء شديد .
4- أما نصف المدى الربيعى فهو لا يدخل فى حساب القيم المتطرفة ، ويفضل أحيانا لهذا السبب على الإنحراف المعيارى والإنحراف المتوسط ، وهو يهتم بدرجة أكبر بالقيم الوسطى .
5- فإذا ما استخدم الباحث الوسيط كمقياس للنزعة المركزية يكون من الطبيعى أن يستخدم نصف المدى الربيعى كمقياس للتشتت فكلاهما يعتمد على نفس القواعد وإذا كان التوزيع ناقصاً أو مبتوراً أو يحتوى على قيم غير محدودة . فإن نصف المدى الربيعى يكون هو مقياس التشتت المناسب.
طرق حساب مدى التواء التوزيع التكرارى أو درجات تفرطحة .
معامل الإلتواءSkeweness
يستخدم معامل الإلتواء للحكم على شكل التوزيع التكرارى أو المنحنى التكرارى ، حيث يمكن معرفة مدى ابتعاد التوزيع التكرارى عن التوزيع الإعتدالى . ويدل معامل الإلتواء على درجة تماثل المنحنى أو البعد عن هذا التماثل . فإذا كان منحنى التوزيع التكرارى غير متماثل حول متوسطه الحسابى فيكون أحد طرفى المنحنى بأنه موجب الإلتواء ، أما إذا كان طرف المنحنى الأيسر أطول من طرفه الأيمن فإن المنحنى يميل نحو القيم الكبيرة ويكون المنحنى سالب الإلتواء .
وفى حالة ارتفاع قيمة المتوسط الحسابى عن الوسيط والمنوال يكون التوزيع ملتو التواء موجبا ، أما فى حالة ارتفاع قيمة المنوال والوسيط عن المتوسط الحسابى يكون التوزيع ملتو التواء سالبا.
وأبسط الطرق لحساب الألتواء تعتمد على القانون الأتى :-
معامل الإلتواء = وهى تلك المعادلة التى توصل اليها سبيرمان.
مثال :- إذا كان متوسط درجات ذكاء مجموعة من الأطفال 95.38 والوسيط 90.18 والإنحراف المعيارى 19.52 أحسب معامل الإلتواء؟
الحـل
معامل الإلتواء=
= 0.80
ونظرا لان هذه القيمة كبيرة وتقترب من الواحد الصحيح ، فهذا يدل على أن هذا التوزيع ملتو ، حيث أن قيمة معامل الإلتواء موجبة فيكون ذلك ممتد أكثر نحو اليمين.
وتتراوح قيمة معامل الإلتواء بين + 3 إلى -3 أما معامل الإلتواء المنحنى الإعتدالى فهو يساوى الصفر.
وأحيانا نستخدم نفس المعادلة السابقة لحساب معامل الإلتواء دون استخدام الرقم 3 وتكون بذلك على النحو التالى :
معامل الإلتواء=
وهنا يتراوح معامل الإلتواء بين +1 ، -1 .
أما فى حالة عدم إمكانية حساب المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى (كما فى حالة البيانات الترتيبية ) فيمكن حساب معامل الإلتواء بإستخدام الوسيط والإرباعيات .
ويكون معامل الإلتواء الربيعى =
= =
وتتراوح قيمته بين +1 ، -1 .
- المعادلة الأكثر دقة فى حساب معامل الإلتواء =
= ولكنها صعبة الإستخدام وهى معادلة مستخدمة فى برنامج spss .
ويختلف معامل الإلتواء الربيعى عن معامل التواء فيما يلى :-
1 – يمكن إيجاد معامل الإلتواء الربيعى بالرسم أما معامل الإلتواء فلا يمكن حسابه بالرسم لاعتماد على المتوسط الحسابى الذى لا يمكن إيجاده بالرسم .
2- تنحصر قيمة معامل الإلتواء الربيعى بين+1 ، -1 أما معامل الإلتواء فتنحصر قيمته بين +3 ، -3 .
3- يستخدم للجداول المفتوحة والمقفولة أما معامل الإلتواء فيستخدم فى الجداول المقفولة فقط (لان المتوسط الحسابى والإنحراف المعيارى غير موجودان فى الجداول المفتوحة).
لاحظ أن معامل الإلتواء بإستخدام المتوسط الحسابى والوسيط والإنحراف المعيارى أدق من حسابه من الأرباعيات والوسيط .
- ومعامل الإلتواء أكثر أهمية من معامل التفرطح مما يستلزم مدى دلالة التواء التوزيع بقسمة معامل الإلتواء على الخطأ المعيارى لمعامل الإلتواء وهو وبحث دلالة الناتج .
يستفاد من معامل الإلتواء فى أمرين هما :
1- معرفة نوعية التواء التوزيع التكرارى ، فإذا كان معامل الإلتواء موجباً ، فمعنى ذلك أن المتوسط الحسابى أكبر من الوسيط ، وأن الطرف الأيمن ممتد أكثر ، وبالتالى يكون الإلتواء نحو اليمين . أما إذا كان الإلتواء سالبا فهذا يعنى أن الإلتواء نحو اليسار والطرف الأيسر هو الممتد أكثر.
2- مقارنة التواء توزيعين أو مجموعتين من البيانات ، فالمجموعة التى معامل الإلتواء لها أكبر يكون توزيعها ملتويا أكثر من توزيع المجموعات الآخرى .
منحنى متماثل منحنى ملتو ناحية اليسار منحنى ملتو ناحية اليمين
المتوسط = الوسيط = المنوال سَ أصغر المنوال سَ أكبر من المنوال
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء.
الوسيط = 58 المتوسط الحسابى = 60 الانحراف المعيارى = 4.2
الحل
معامل الالتواء = = =1.4
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الوسيط = 7 الربيع الاعلى = 8.83 والربيع الادنى = 5.37
الحل
معامل الالتواء الربيعى =
= 0.057
مثال :- استخدام البيانات الآتية فى حساب معامل الإلتواء
الإنحراف المعيارى = 8 ، المنوال = 25 ، المتوسط الحسابى = 24
الحل
معامل الإلتواء= = = -0.125