تعريف المعادلة التفاضلية : هي اية معادلة مكونة من دوال جبرية او دوال متسامية او معا و تحتوي مفاضلات او مشتقات .
مثال 1-1 : المعادلة
(1.1)................. او
التي فيها دالة مجهولة للمتغير المفرد هي معادلة تفاضلية اعتيادية , غالبا ما تكتب ونسمي المتغير المستقل بينما فيسمى الماغير التابع الذي يعتمد على . للاختصار يمكن ان نرمز لقيمة عند بـ ولمشتقاتها المتعاقبة بـ او ببساطة .
تعريف 1-2 : مرتبة المعادلة التفاضلية : هي مرتبة أعلى مشتقة تظهر في المعادلة .
مثال1-2 : اعلى مشتقة تظهر في المعادلة (1,1) هي والتي هي من المرتبة الأولى أي مرتبة 1 . لذلك فان المعادلة التفاضلية هي من الرتبة 1 او معادلة تفاضلية اعتيادية من المرتبة الاولى .
مثال1-3 : المعادلة من المرتبة الاولى
مكافئة للمعادلتين من المرتبة الاولى
و
تعريف 1-3 : درجة المعادلة التفاضلية الاعتيادية :
درجة المعادلة التفاضلية التي جبرية في مشتقاتها هي الدرجة الجبرية للمشتقة ذات أعلى رتبة تظهر في المعادلة .
فمثلا المعادلة التفاضلية
(2,1)............
المعادلة التفاضلية (2,1) هي من الدرجة الاولى .
ملاحظة : فضلا عن مرتبتها من المفيد ان تصنيف المعادلة التفاضلية الاعتيادية الى معادلة تفاضلية خطية او غير خطية وذلك بموجب التعريف التالي .
تعريف 1-4 :المعادلة التفاضلية الاعتيادية الخطية :
هي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة :
(3,1).........
حيث ان والمعاملات هي دوال معطاة لـ و لا تساوي صفر . المعادلة التفاضلية الاعتيادية التي لا يمكن كتابتها بالصيغة (1,1) تسمى بالمعادلة التفاضلية غير الخطية .
مثال1-4 :حل المعادلة التفاضلية التالية :
(5,1).............
مستقيما المعادلتين الجبريتين
متوازيان لان ميل الأول = , يساوي ميل الثاني =
نفرض ان فيكون و .
ثم نفاضل هذه الفرضية ونعوض عن احد المتغيرين بدلالة z والمتغير الاخر .
أي مثلا نعوض عن وهذا يعطي ثم نعوض في المعادلة التفاضلية (5,1) و نحصل على
ثم نرجع قيمة ينتج
وهذا هو الحد المطلوب .