تمثيل الكميات المتجهة


          
 تمثيل  الكميات  المتجهة
 التمثيل البياني للمتجهات :
                    يتم تمثيل المتجهات برسم قطعة مستقيمة موجهة                بمقياس رسم مناسب بحيث
                           أ – يمثل طول القطعة المستقيمة الموجهة مقدار الكمية المتجهة .             نقطة النهاية
                          ب – يمثل اتجاه القطعة المستقيمة الموجهة اتجاه الكمية المتجهة .                                
                       يرمز للمتجه بحرف داكن A أو بحرف عادى وفوقه سهم صغير   .
                                 
                                                                                                                                                نقطة البداية
  أساسيات جبر المتجهات :
              يتساوى متجهين : إذا تساويا  فى المقدار وكان  لهما  نفس الاتجاه . ( حتى  لو اختلفت نقطة  بداية  كل منهما ) .
              المتجه   قيمته العددية تساوى القيمة العددية للمتجه    ولكن فى عكس اتجاهه .

   لاحظ أن : إذا ضربنا المتجه    فى ( 1 ــ ) أصبح يساوى المتجه   مقداراً  و اتجاهاً .

                                                                                                                               
  يتم جمع المتجهين بطريقتين            
      برسم  مثلث كما  فى الشكل (b)  .                                               
         برسم متوازى أضلاع  يكون  فيه  A  و B ضلعين متجاورين فيكون القطر ممثلاً  لمحصلة المتجهين كما فى الشكل (c)  .  
                
محصلة ( جمع ) المتجهات : 
             عندما تؤثر قوتان أو أكثر على جسم ما  فى اتجاهات مختلفة فإن هذا الجسم يتحرك فى اتجاه معين تحدده محصلة هذه القوى
             المؤثرة على الجسم و التى يطلق عليها القوة المحصلة .
  لاحظ أن : يحدد اتجاه محصلة القوى بالاتجاه الذى يتحرك فيه الجسم .
القوة المحصلة : هى  قوة  وحيدة  تحدث  فى الجسم  الأثر  نفسه الذى  تحدثه القوى الأصلية المؤثرة عليه .
  تطبيق :                                                                                                                         40 N             
       إذا ربطنا حجر بحبلين بينهما زاوية ˚90  و قمنا بشد الحبل الأول بقوة 40 N            اتجاه حركة الحجر
        و الثانى بقوة 30 N نلاحظ تحرك الحجر مسافة معينة فى اتجاه مختلف عن
       اتجاه القوتين المؤثرتين .                                                                                                           
                                                                                                                                              30 N         
        إذا استبدلنا الحبلين بحبل واحد و أثرنا عليه بقوة 50 N  كما بالشكل
        نلاحظ تحرك الحجر نفس المسافة فى نفس الإتجاه الذى يتحرك فيه عند التاثير عليه بالقوتين .             
        أى أن القوة  50 N  تحدث فى الحجر نفس الأثر الذى تحدثه القوتين30 N    ،  40 N                    50 N   
        و بالتالى فهى تعتبر محصلة القوتين

 محصلة قوتين متعامدتين

    إذا أثر على الجسم  قوتان متعامدتان  أحدهما فى اتجاه محور X  و هى  FX                                                     Y  
      و الأخرى فى اتجاه محور Y  و هى FY فإن :
        المحصلة تعين من العلاقة  :                                                                                                 
                                                                                  F                   FY     
                                                                                                                                                                                                        θ       
         و الزاوية التى تميل بها مع محور  X  تعين من العلاقة :                             X                  FX   
                                             
                                                             
         
   تجربة عملية : إيجاد محصلة قوتين متعامدتين بيانيا ً   
           لتعيين محصلة قوتين متعامدتين  F 1 = 3 N , F 2 = 4 N  بيانيا ً نقوم بالآتى :                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
      رسم خطا ً أفقيا ً  A B طوله  3 cm   يمثل القوة الأولى                          
          F 1 = 3 N    على ورقة رسم بيانى .                                                       C                                   D                                      
      رسم خطا ً عموديا ً A D  على الخط الأفقى A B                                                                               F2 
           طوله4 cm   يمثل القوة الثانية  F 2  = 4 N     . 
      إكمال المستطيل   A B C D   .                                                                                                                                                4 cm 
      توصيل القطر  A C .
       قياس طول القطر A C  الذى يمثل مقدار المحصلة .
     استخدام المنقلة لقياس قيمة الزاوية B A C  .                                            B                            θ      A
          التى تحدد اتجاه المحصلة بالنسبة للقوة الأولى    F 1 .                                        F1        3 cm  
     احسب قيمة المحصلة من علاقات المثلث قائم الزاوية حيث  AC 2 = AB 2 + BC 2 
                                                                    F 2 = F1 2 + F2 2
     قارن بين النتيجتين لمحصلة القوتين .
أمثلة
 ( 1 ) أوجد محصلة قوتين أحداهما فى اتجاه محور X   و هى FX = 4 N , والاخرى فى اتجاه محور Y هى FY = 3 N  .
                                                                                                                                                                                                          [ N 5   ،  ˚ 36.86 ] 
 ( 2 )  إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X   و هى FX = 18 N , والاخرى فى اتجاه محور Y
               هى FY = 12 N  .أوجد قيمة المحصلة للقوتين و الزاوية التى تصنعها المحصلة مع المحور X  .
                                                                                                                  [ N 21.633  ،  ˚ 33.69 ]       
 ( 3 )  إذا كانت محصلة  قوتين متعامدتين هى F = 30 N  و كانت FY = 20 N   فأوجد قيمة FX   و الزاوية التى تصنعها
              المحصلة مع المحور X  .                                                                        [ N 22.36  ،  ˚ 41.81 ]       

 ( 4 )  إذا كانت محصلة  قوتين متعامدتين هى F = 40 N  و كانت FX = 15 N   فأوجد قيمة FY   و الزاوية التى تصنعها
              المحصلة مع المحور X  .                                                                      [ N 37.08  ،  ˚ 67.975 ]       

 ( 5 )  إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X   و هى FX = 8 N , والاخرى فى اتجاه محور Y
               و كانت المحصلة تميل على المحور X  بمقدار ˚40 أوجد قيمة المحصلة للقوتين .                 [  8.7177 نيوتن ]  

 ( 6 )  إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X   والاخرى فى اتجاه محور Y و هى Fy = 6 N ,
               و كانت المحصلة تميل على المحور Y  بمقدار ˚30  أوجد قيمة المحصلة للقوتين .                 [  6.928 نيوتن ]  

 ( 7 )  سفينة تمر فى اتجاه الشمال بسرعة  12 km / h  لكنها تنحرف نحو الغرب بتاثير المد و الجزر بسرعة قدرها 15 km / h   
          احسب مقدار و اتجاه السرعة المحصلة للسفينة .                                 [  19.2 km / h  ،  ˚ 38.66 غربا ً  ]       
    
 ( 8 )  راكب دراجة بخارية ينطلق نحو الشمال بسرعة 80 km / h  بينما تهب الرياح فى اتجاه الغرب بسرعة قدرها   50 km / h  
             احسب سرعة الرياح الظاهرية كما يلاحظها راكب الدراجة .              [  94.3398 km / h  ،  ˚ 57.99 غربا ً ]              
تحليل المتجهات
        هو العملية العكسية لجمع المتجهات كمثال طفلة تجر أخرى  بواسطة حبل فى اتجاه يصنع  زاوية  θ  مع الافقى  فيمكن تحليل
        القوة F الى قوتين متعامدين على محوري (X , Y  )
                                                    ,          
أمثلة
 ( 1 ) شخص  يجر حقيبة بقوة 40 N بواسطة حبل يصنع زاوية ˚ 30  درجة  مع الأفقى احسب قيمة القوة فى اتجاهى X , Y .

 ( 2 )  أثرت قوة  مقدارها 60 N على جسم  و كان اتجاه تاثير القوة يميل على المحور الراسى  بزاوية˚ 35  احسب قيمة القوة فى
             اتجاهى X , Y .  
ضــــرب المتجهــــات
  الضرب القياسى :                                                                                                               
  يمكن تعيين حاصل الضرب القياسى للمتجهين   ,    من العلاقة :
                                                                                                                                              θ   
                                                                                       
    ملاحظــــــــــــــــــــات  هــــــــــــــــــــامة :-                                                                     
                 ناتج حاصل الضرب القياسى يعطى كمية قياسية  .                                                    
                حاصل الضرب القياسى إبدالى أى                                                     
                حاصل الضرب القياسى يكون أقصى ما يمكن عندما تكون  θ =  صفر .
                 حاصل الضرب القياسى ينعدم  عندما تكون  θ =  ˚90  أى المتجهان  متعامدان .

الضرب الإتجاهى :-
          ينتج من حاصل الضرب الإتجاهى  للمتجهين     ,     متجه ثالث     عمودى                                  
          على المستوى الذى يجمع المتجهين       ,                                                                                   
           يتعين حاصل الضرب الإتجاهى للمتجهين   ,      من العلاقة :

                                                                           θ  
                                                                                                                                                    
        حيث (  ) وحدة متجهات فى إتجاه عمودى على المستوى الذى يشمل المتجهين  ,                                        
        و العلامة (   )  بين المتجهين تنطق cross .

ملاحظــــــــــــــــــــات  هــــــــــــــــــــامة :-                                                                    
                 ناتج حاصل الضرب الإتجاهى  يعطى كمية متجهة .                                                     .                                                    
                حاصل الضرب القياسى ليس  إبدالى أى      
                بينما                                  .
                 حاصل الضرب الإتجاهى  يكون أقصى ما يمكن عندما تكون  θ =  ˚90   أى المتجهان  متعامدان  .
                 حاصل الضرب الإتجاهى  ينعدم  عندما تكون  θ =  صفر .
                  قيمة   عدديا ً عندما تكون  θ =  ˚45    .  

قاعدة اليد اليمنى :
  الإستخدام : تحديد اتجاه محصلة الضرب الإتجاهى للمتجهين  ,      ( اتجاه المتجه  ) .
  طريقة العمل :
             يتم تحريك أصابع اليد اليمنى من المتجه الأول   نحو المتجه الثانى    عبر الزاوية الأصغر
              بينهما θ فيكون  الإبهام مشيرا ً لاتجاه حاصل الضرب الإتجاهى  لهما .

أمثلة
 ( 1 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين      ,    هى  A = 4    , B = 6 و الزاوية بينهما  ˚60   
                      أوجد :      ( 1 )       
                                   ( 2 )                                                                    [  12   ،    20.78 ] 
   
 ( 2 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين      ,    هى  A = 2    , B = 5 و الزاوية بينهما  ˚30   
                      أوجد :      ( 1 )       
                                   ( 2 )                                                                         [  8.66  ،    5 ]        
   
 ( 3 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين      ,    هى  A = 12    , B = 8 و الزاوية بينهما  ˚40   
                      أوجد :      ( 1 )       
                                   ( 2 )                                                                 [  73.54   ،    61.7 ] 
   
 ( 4 )  قوتان متعامدتان Fy , Fx  فإذا كانت الزاوية التى تصنعها محصلة القوتين مع المحور ( x ) هى ˚60  
                و قيمة المحصلة  20 N  أوجد :
                                 1 –  قيمة كل من القوتين Fy , Fx .    
                             2 –  حاصل الضرب القياسى للمتجهين .                                  [N   10  ، N 17.32  ، صفر ]  
 ( 5 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين      ,    هى  A = 7    , B = 9  و الزاوية بينهما  ˚80   
                     أوجد :  ( 1 )             ( 2 )                                     [  10.939  ،    62.04 ]     
   
 ( 6 )   قوتان 100 N   ، 80  N فى اتجاهين متضادين احسب :
                 1 –  حاصل الضرب القياسى للمتجهين .                
                 2 –  حاصل الضرب الإتجاهى  للمتجهين .                                                             [ 8000  ـــ  ،  0  ]                  

 ( 7 ) أوجد الزاوية بين المتجهين       ,     حيث   A = 16    , B = 10  و حاصل الضرب القياسى لهما = 80
                                                                                                                                             [ ˚60  ]  
                                           
  ( 8 )   قوتان    ,      القيمة العددية للمتجه F1 9 N =  فإذا كان حاصل الضرب الإتجاهى لهما   116.91 و الزاوية
                بين المتجهين ˚60  أوجد القيمة العددية للمتجه   ثم أوجد حاصل الضرب القياسى لهما .
                                                                                                                        [N   14.99  ، 67.49  ]            
                
 ( 9 )  متجهان      ,      متساويان عدديا ً و الزاوية بينهما  ˚60  و حاصل الضرب القياسى لهما = 8  
                      أوجد :  قيمة كل من    ,      العددية .                                                                       [  4  ]                                                   
   
 ( 10 )  متجهان      ,      متساويان عدديا ً و الزاوية بينهما  ˚40  و حاصل الضرب القياسى لهما = 6  
                      أوجد :  قيمة كل من    ,      العددية .                                                                 [  2.798  ]                                                                
  
 ( 11 )  أوجد الزاوية بين المتجهين       ,     حيث   A = 5    , B = 8  و حاصل الضرب القياسى لهما = 12 
                                                                                                                                         [ ˚72.54 ]  
                                                 
 ( 12 )  أوجد الزاوية بين المتجهين       ,     حيث   A = 4    , B = 3  و حاصل الضرب القياسى لهما = 6 
                                                                                                                                             [ ˚60  ]
                                                      
 ( 13 )  أوجد الزاوية بين المتجهين       ,     حيث   A = 7    , B = 6  و حاصل الضرب القياسى لهما = 15 
                                                                                                                                        [ ˚69.07  ]                                                 
 ( 14 ) من الشكل المقابل :
           أوجد حاصل الضرب القياسى و الإتجاهى للمتجهين     ,         
                                                                                                       A = 120              B = 60                
                                                                                                                                      [  7200 ـــ  ]   
                                                     
 ( 15 ) متجهان    ,    القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 18
               فإذا كانت   A = 4   أوجد قيمة B   العددية  .                                                                     [  6.36  ]                                                         
           
 ( 16 ) متجهان    ,    القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 12
               فإذا كانت   A = 6   أوجد قيمة B   العددية  .                                                                     [  2.82  ]                                                             
                  
 ( 17 ) متجهان    ,    القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 20
               فإذا كانت   B = 7   أوجد قيمة A  العددية  .                                                                       [  4.04 ]                                                                     
              
 ( 18 ) من الشكل المقابل :
                   أوجد :  ( 1 )                                                                                                        
                            ( 2 )                                                                                                     B = 60    
                            ( 3 )      مع تحديد اتجاه ناتج حاصل ضربهما على الرسم .                                         
                                  [  صفر ، صفر  ،    7200 ]                                                        A = 120     
                                                                                                                                    

   الباب  الثــــــانى            الحركة الخطية     
        الفصل الأول                 الحــــــركـــة فى خط مستقيم      
مفهوم الحركة  :-  هو تغير موضع جسم فى الفضاء مع الزمن .
الجسم الساكن :-  هو الجسم الذى لا يتغير موضعه بالنسبة لنقطة ثابتة بمرور الزمن .
الجسم المتحرك :-  هو الجسم الذى يتغير موضعه بالنسبة لنقطة ثابتة بمرور الزمن .

                                      أنواع الحـــــــركة 

                                                   إنتقالية .                    دورية  .

أولاً : الحــــركة الإنتقالية : هى حركة الجسم بين نقطتين هما نقطة البداية و نقطة النهاية .
               مثل : الحركة فى خط مستقيم مثل حركة القطار – المقذوفات .

ثانياً : الحـــــركة الدورية : هى تكرر نفسها على فترات زمنية متساوية .
              مثل : بندول الساعة – الأقمار حول الكواكب – الحركة فى دائرة – الحركة الإهتزازية – الحركة الموجية .

  سؤال  علل تعتبر حركة البندول البسيط حركة دورية  ؟ و  كذلك حركة الإلكترون  حول النواة ؟
         لأنها تكرر نفسها على فترات زمنية متساوية .

  سؤال علل تعتبر حركة المقذوفات حركة إنتقالية ؟
         لأن الجسم يتحرك بين نقطتين بداية و نهاية .


 الســــــرعة ( V  )  

                                                                  
                                               
  الســــرعة :  هى المعدل الزمنى للتغير فى الإزاحة .
                     أو  هى الإزاحة المقطوعة فى الثانية الواحدة . ( و هى كمية متجهة ) .

  وحــــدة قياس الســـرعة  :  هى      م / ث   أو   m / s
                                                         كم / ساعة  أو   km / h 

  معادلة أبعاد الســـرعة  :   L  . T - 1  
  سؤال علل الســــــــرعة كمية متجهة ؟
         لأن السرعة تساوى خارج قسمة الإزاحة على الزمن و الإزاحة كمية متجهة و الزمن كمية قياسية و خارج قسمة كمية متجهة
           على كمية قياسية يساوى كمية متجهة .

 عزيزى الطالب : يمكن التعبير عن السرعة بطريقتين و هما :
    1 – السرعة العددية و يمثل مقدار السرعة فقط  مثل التى يحددها عداد السيارة و مثل قولنا سيارة تتحرك بسرعة  km / h  60   .
    2 – السرعة المتجهة و يمثل مقدار و اتجاه السرعة مثل قولنا سيارة تتحرك بسرعة  km / h  60 شرقا ً و فى حالة عدم التحديد
          لنوع السرعة نقصد السرعة المتجهة لأنها تصف حركة الجسم وصفا ً تاما ً.

مقارنة بين السرعة العددية والسرعة المتجهة :-

أنواع الســــــــرعة
  سرعة منتظمة ( ثــــــابتة ) :  هى سرعة الجسم عندما يقطع إزاحات متساوية فى أزمنة متساوية .                   d  
  التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن بيانياً نحصل على خط مستقيم                                      الإزاحة 
                       و هذا يدل على أن الجسم المتحرك يقطع إزاحات متساوية فى أزمنة متساوية                x Δ
                       و ميل هذا الخط المستقيم يمثل السرعة المنتظمة .                                                     t Δ 
                                      Slope  =   الميل                                 t  الزمن
سؤال  مـا معنى قولنا أن ســيارة تسير بسرعة منتظمة = 15 م / ث ؟
      أى أن السيارة تقطع مسافة قدرها 15 متر كل ثانية بانتظام .

  سرعة غير منتظمة ( متغيرة ) :  هى سرعة الجسم عندما يقطع إزاحات غير متساوية فى أزمنة متساوية .
  التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن بيانياً نحصل على خط منحنى                                         d  
              و هذا يدل على أن الجسم المتحرك يقطع إزاحات غير متساوية فى أزمنة متساوية                                          الإزاحة   
             و ميل المماس للمنحنى عند أى لحظة يمثل السرعة اللحظية للجسم عند هذه اللحظة .    
 
  سرعة  لحظية :  هى سرعة الجسم المتحرك عند لحظة ما .                  t  الزمن                      
                                                                                                      






  
 
                                                                         

                          سرعة لحظية                                                         سرعة  متوسطة
                            
  سرعة  متوسطة (  ) :  هى السرعة المنتظمة التى لو سار بها الجسم لقطع نفس المسافة فى نفس الزمن .

   تعيين  السرعة  المتوسطة (  ) من الرسم :  و تتعين سرعة الجسم المتوسطة برسم خط يصل بين نقطة بداية الحركة
                                                                 و نقطة النهاية و يكون ميل هذا الخط يمثل السرعة المتوسطة ( أى ميل الوتر) . 

         قوانين السرعة المتوسطة : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن


                                                     الإزاحة الكلية            السرعة الإبتدائية  +  السرعة النهائية          
                                          =   ــــــــــــــــــــــــــــــــ  =  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                      الزمن الكلى                                   2


                                                         

  معلومــــــــــات  هــــــــــــــــــــامة :-
          تختلف السرعة المتوسطة عن السرعة العددية المتوسطة  حيث أن :
                
                                                                                           و هى كمية متجهة .
             
                                                                                               
                                                                                               
            بينما                                                                                  و هى كمية قياسية .


         تتساوى السرعة اللحظية مع السرعة المتوسطة عندما يتحرك الجسم بسرعة منتظمة .  

         لتحويل مقدار سرعة الجسيم من وحدة ( كم / ساعة ) إلى وحدة ( م / ث ) نضرب ×    أو  نضرب  × 

        يوجد داخل السيارة ثلاث أدوات للتحكم فى مقدار و اتجاه السرعة هم :
                            1 – دواسة البنزين لزيادة السرعة .  
                            2 – دواسة الفرامل لتقليل السرعة .  
                           3 – عجلة القيادة لتغيير اتجاه الحركة .

 أشكال  بيانية  هامة :

                                                      d                                            d                                             V     
                                                     الإزاحة                                       الإزاحة                                          السرعة




              t  الزمن                                     t  الزمن                                       t  الزمن                                 
                                جسم ســـــاكن                        جسم متحرك بسرعة منتظمة                      جسم متحرك بسرعة منتظمة 


 تجربة عملية : تعيين  السرعة  التى  يتحرك  بها  جسم 
الغرض من التجربة :
       تعيين السرعة التى يتحرك بها جسم .
فكــــــرة  التجربة :
       # رصد العلاقة بين المسافة و الزمن عن طريق تحريك سيارة لعبة بجوار مسطرة مترية . 
       #  رسم العلاقة البيانية بين المسافة و الزمن و منها نحسب سرعة السيارة .
الادوات :  سيارة لعبة –      مسطرة مترية              كاميرا رقمية .
الخطوات :
      ثبت المسطرة المترية بجوار المسار الذى ستسير فيه السيارة .
     ضع الكاميرا الرقمية أمامها و قم بتشغيلها . 
      ضع السيارة عند خط البداية ثم اتركها تتحرك موازية للمسطرة .
     حدد موقع السيارة كل 5 ثوانى بقراءة المسطرة المترية على شريط الفيديو  .
     سجل النتائج فى جدول كالتالى : 
                        
(m) d     
     ارسم علاقة بيانية بين الزمن t  على المحور الأفقى و المسافة  d على المحور الرأسى .

  الإستنتاج :   عند رسم علاقة بيانية بين الزمن t  على المحور الأفقى
                        و المسافة d  على المحور الرأسى ينتج خط مستقيم يمر
                        بنقطة الأصل ميله يساوى السرعة .                                            (s) t
                                                               Slope  =   الميل 
أمثلة
 ( 1 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة مقدارها 10 م / ث إحسب المسافة التى قطعتها بعد مرور زمن قدره 15 ثانية  . [ 150 متر ]            

 ( 2 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة مقدارها 8  م / ث  فقطعت مسافة 800 متر احسب الزمن اللازم لذلك .          [  100  ث  ]             

 ( 3 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة فقطعت مسافة 400  متر فى 50 ثانية  احسب سرعة السيارة .                  [ 8  متر/ ث ]            

 ( 4 )  تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة  20  متر خلال  5  ثوانى ثم قطع مسافة  34  متر خلال  4 ثوانى
             فى نفس الإتجاه  إحسب سرعته المتوسطة .                                                                         [ 6  متر/ ث ]                        

 ( 5 )  تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة  40  متر خلال  4  ثوانى  شرقا ً ثم قطع مسافة  30  متر خلال  6 ثوانى
              شمالا ً إحسب سرعته المتوسطة  و سرعته العددية المتوسطة  .                               [ 5  متر/ ث ، 7  متر/ ث  ]                                                                      

 ( 6 ) الجدول التالي يوضح العلاقة بين الإزاحة و الزمن لجسم متحرك

50        40        30        20        10        d(m)
5          4          3          2          1          t.(sec)
     ارسم العلاقة بين الإزاحة  d على المحور الرأسى و الزمن t    على المحور الأفقى .
     و من الرسم احسب السرعة  و ما نوعها  ؟                                                                [ 10 متر/ ث ، منتظمة  ]                                                                           

 ( 7 )  تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة  80  متر خلال  4  ثوانى ثم قطع مسافة  20  متر خلال  6 ثوانى
              فى الإتجاه المضاد إحسب سرعته المتوسطة  و سرعته العددية المتوسطة  .               [ 6  متر/ ث ، 10  متر/ ث  ]                                                                       

 (8)  يعبر الشكل عن حركة عمرو من منزله حتى عودته مرة أخرى أجب عن الآتى :
                      1 –  ما النقاط التى توقف عندها عمرو ؟                                                     ( m ) d
                      2 –  ما أكبر سرعة تحرك بها عمرو ؟                                                                     
                      3 –  لماذا تكون سرعة عودته سالبة ؟                 e      d                                     3
                      4 –  احسب المسافة و الإزاحة التى يقطعها عمرو ؟

 [ b , d  ، 1.5 متر/ ث ، 6 متر ، صفر ]                                                                        


                                                               
                                     ( s ) t                    f                                                      a      
                                                                 8             6     5       4            2              0    

 (9) الجدول التالى  يوضح العلاقة  بين الإزاحة و الزمن  لجسم  متحرك

24        C         16        B         8          4          d(m)
A         5          4          3          2          1          t.(sec)

ارسم العلاقة بين الإزاحة  d على المحور الرأسى و الزمن t   على المحور الأفقى و من الرسم احسب :-
                     1 -  قيم A , B ,C  .                  2- قيمة الميل و ما يساويه  فيزيائيا ؟
                                                                                                            [  20 ، 12 ، 6  ، 4 ، السرعة ]                                                                                                 
 (10)  الشكل البيانى المرسوم يوضح حركة شخص يمشى على طريق مستقيم  حيث  الإزاحة بالمتر ممثلة على المحور الصادى
            و الزمن بالثانية على المحور السينى .                                                                                     
             1- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص ساكناً ؟ وكم تكون الفترة الزمنية التى يستمر فيها الشخص ساكناً ؟       الإزاحة
             2- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص متحركاً فيها بسرعة منتظمة مبتعداً عن نقطة البدء ؟                        بالمتر   
                 احسب قيمة هذه السرعة المنتظمة ؟
             3- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص متحركاً فيها بسرعة منتظمة مقتربأ من نقطة البدء ؟
                  و كم تكون هذه السرعة ؟                                                                                 ب                      100 
                                                                                                             
                                                                                                                                                                     
                       

                     الزمن t  بالثوانى         د
                                                    300                              200                                          50                  0    أ
                                                                                                       [ ب    , 150 ث  ، أ ب ، 2 م / ث ، ﺠ د ، 1 م / ث ]
 ( 11 )  الشكل البيانى المقابل يمثل علاقة بين الإزاحة الحادثة لجسم و الزمن                                             X ( m )
                 احسب الإزاحة الحادثة و المسافة الكلية .
                                                                                                                                            20


                                                                                                                                            10

                    t ( s )                                                                                                                0
                                                     25               20                                             5             
                                                                                                                                           10 ـــ
                                                                                  [ 10 متر ، 50 متر ]

 العجــــــلة( a  )  

                                                                         
                           
  العجــــــلة:  هى المعدل الزمنى للتغير فى السرعة .

  وحــــدة قياس العجــــــلة :  هى    م / ث۲   أو   m / s 2

  معادلة أبعاد العجــــــلة  :   L  . T - 2  

  الحركة المعجلة :  هى الحركة التى يحدث فيها تغير للسرعة مع  مرور الزمن .

  سؤال علل العجلة كمية متجهة؟
         لأن العجلة تساوى خارج قسمة التغير فى السرعة على الزمن و السرعة كمية متجهة و الزمن كمية قياسية و خارج قسمة كمية
           متجهة على كمية قياسية يساوى كمية متجهة .

  عزيزى الطالب : كلمة عجلة فى الفيزياء تعنى إما تسارع أو تباطؤ و بالتالى فى حالة السرعة المنتظمة تكون العجلة صفرا ً .


  أنواع  العجـــــــلة

  عجـــلة منتظمة ( ثــــــابتة ) :  هى العجلة التى تتغير فيها سرعة الجسم  بمقادير متساوية فى أزمنة متساوية .
                                                                                                                                                       V  
  التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين السرعة و الزمن بيانياً نحصل على خط مستقيم                                      السرعة
                       و هذا يدل على أن الجسم المتحرك تتغير سرعته بانتظام مع الزمن .                       V Δ
                       و ميل هذا الخط المستقيم يمثل العجلة المنتظمة .                                                     t Δ 
                                      Slope  =                                        t  الزمن
  عجــلة غير منتظمة ( متغيرة ) :  هى العجلة التى تتغير فيها سرعة الجسم  بمقادير غير متساوية فى أزمنة متساوية .
  التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين السرعة و الزمن بيانياً نحصل على خط منحنى                                        V  
                  و ميل المماس للمنحنى عند أى لحظة يمثل العجلة اللحظية للجسم عند هذه اللحظة .                                    السرعة                                                                                                               
            
                                      

                                                                                                      t  الزمن 

 معلومــــــــــات  هــــــــــــــــــــامة :-
          العجلة سواء كانت منتظمة أو متغيرة ممكن أن تكون تزايدية ( موجبة ) أو تناقصية ( سالبة ).
         العجلة التزايدية تحدث عندما تزداد سرعة الجسم أى عندما تكون  Vf  >  Vi  و تكون إشارتها ( + ) .

         العجلة التناقصية أو التقصيرية تحدث عندما تتناقص سرعة الجسم أى عندما تكون  Vf  <  Vi و تكون إشارتها ( ـــ ) .
         عندما يتحرك الجسم بسرعة منتظمة تنعدم عجلته ( a = 0 ) و ذلك لأن العجلة   و عندما تكون السرعة
              منتظمة يكون V Δ = 0   و بالتالى يكون a = 0  و تسمى العجلة الصفرية .
سؤال  مـا معنى قولنا أن ســيارة تسير بعجلة منتظمة = ( 15 ـــ ) م / ث۲ ؟
      أى أن سرعة السيارة تتناقص بمقدار 15 م / ث  كل ثانية .
سؤال  مـا معنى قولنا أن قطار يسير بعجلة منتظمة = ( 15 ) م / ث۲ ؟
      أى أن سرعة القطار تزدا بمقدار 15 م / ث  كل ثانية .   
           
 أشكال بيانية هامة :
                                                      V                                            V                                            V     
                                                     السرعة                                      السرعة                                         السرعة




              t  الزمن                                     t  الزمن                                       t  الزمن                                 
                         جسم متحرك بعجلة منتظمة                    جسم متحرك بعجلة منتظمة                      جسم متحرك بسرعة منتظمة 
                             تزايدية ( موجبة )                      تناقصية ( سالبة )                        العجلة الصفرية   a = 0

أمثلة
 ( 1 )  تتحرك سيارة بسرعة ابتدائية 15 م / ث و تزداد سرعتها لتصل إلى 25 م / ث خلال 2.5 ثانية احسب العجلة التى
              تتحرك بها خلال تلك الفترة الزمنية بفرض أن التغير فى السرعة كان منتظما ً .                          [4 m / s 2   ]

 ( 2 )  جسم يتحرك بسرعة ابتدائية 25  م / ث و تزداد سرعتها لتصل إلى 45 م / ث خلال 4 ثوان احسب العجلة التى
              تحرك بها خلال تلك الفترة الزمنية بفرض أن التغير فى السرعة كان منتظما ً .                                      [5 m / s 2   ]

 ( 3 ) جسم يتحرك بسرعة ابتدائية  4  م / ث  تناقصت سرعته  تدريجيا ً حتى  توقف عن الحركة بعد مضى 8  ثوان احسب العجلة
            التى يتحرك بها الجسم  و نوعها .                                                                           [0.5 m / s 2  ــ ] 

 ( 4 )  بدأ عمرو فى تحريك سيارته من السكون حتى وصلت سرعتها 20 م / ث خلال 10 ثوان فاحسب العجلة التى تحركت
                بها السيارة و ما نوعها .                                                                                   [2 m / s 2   ]         

 ( 5 ) بدأت  مـــــى  فى تحريك سيارتها من السكون حتى وصلت سرعتها 60 م / ث خلال 15 ثانية  فاحسب العجلة التى تحركت
               بها السيارة و ما نوعها .                                                                                    [4 m / s 2   ]       

 ( 6 )  الجدول التالى يوضح العلاقة بين الزمن وسرعة جسم بدأ حركته من السكون

8          7          6          4          2          1          t (sec)
40        35        30        20        10        5          V (m/s)

          ارسم علاقة بيانية بين الزمن على المحور الأفقى والسرعة على المحور الرأسي ومن الرسم أوجد :
                - العجلة التي يتحرك بها الجسم .                                                                         [5 m / s 2   ]
           
 ( 7 )   الجدول التالى يوضح العلاقة بين الزمن و السرعة لجسم :
                  
                       11                 17               19               23               25           V   ( m / s )   

                        7                  4                3                 1                 0                t   ( s )      

          1 – ارسم علاقة بيانية بين السرعة على المحور الرأسى و الزمن على المحور الأفقى .
          2 - من الرسم أوجد العجلة و أذكر نوعها .                                                                [2 m / s 2  ـــ ]               



الفصل الثانى                  الحركة بعجلة منتظمة
             معـــــادلات الحـــــركة  بعجـــــلة منتظمة  

 ( 1   Vf =  Vi + a t  (                  ( 2 )              ( 3 )  Vf 2  =  Vi 2  +  2 a d        

 
 حيث  Vi السرعة الإبتدائية   و Vf السرعة النهائية أو السرعة بعد فترة زمنية معينة  و a العجلة   و d الإزاحة   و t الزمن .

استنتاج معادلة الحركة الأولى :-                                                                                
                   Vf  - Vi  =  a t                                                            

                                                                       #  Vf  =  Vi  +  a t       


استنتاج معادلة الحركة الثانية :-                                                                           
        ( 1 )                                                     ,         

  و بالتعويض عن قيمة Vf من المعادلة الأولى للحركة فى المعادلة ( 1 ) ينتج أن :

                                                                        
استنتاج معادلة الحركة الثانية بيانيا ً:-                                                                                V 
                 الإزاحة = السرعة × الزمن .
               من الرسم البيانى
                  الإزاحة  = المساحة تحت المنحنى ( السرعة – الزمن ) .                                                                   Vf
              تقسم المساحة تحت المنحنى إلى مستطيل و مثلث
                         مساحة المستطيل = t Vi                                  Vf  - Vi 
                           مساحة المثلث =                                                                               Vi
     و من المعادلة الأولى للحركة Vf  - Vi  =  a t                                                                t
                   مساحة المثلث =                                 t                                                               0

                           و بجمع المساحتين              #              
************************************************************************************************************** 

    استنتاج معادلة الحركة الثالثة :-                                                                           
                                                                            (1)                              
                                                                            (2)                             
      و من المعادلة الأولى للحركة                                     (3)                      
    بالتعويض من (2) ، (3)  فى (1)  ينتج ان :
                                                                            
                                                                      
                       #      Vf 2  =  Vi 2  +  2 a d                        Vf 2  -  Vi 2  =  2 a d