تمثيل الكميات المتجهة
التمثيل البياني للمتجهات :
يتم تمثيل المتجهات برسم قطعة مستقيمة موجهة بمقياس رسم مناسب بحيث
أ – يمثل طول القطعة المستقيمة الموجهة مقدار الكمية المتجهة . نقطة النهاية
ب – يمثل اتجاه القطعة المستقيمة الموجهة اتجاه الكمية المتجهة .
يرمز للمتجه بحرف داكن A أو بحرف عادى وفوقه سهم صغير .
نقطة البداية
أساسيات جبر المتجهات :
يتساوى متجهين : إذا تساويا فى المقدار وكان لهما نفس الاتجاه . ( حتى لو اختلفت نقطة بداية كل منهما ) .
المتجه قيمته العددية تساوى القيمة العددية للمتجه ولكن فى عكس اتجاهه .
لاحظ أن : إذا ضربنا المتجه فى ( 1 ــ ) أصبح يساوى المتجه مقداراً و اتجاهاً .
يتم جمع المتجهين بطريقتين
برسم مثلث كما فى الشكل (b) .
برسم متوازى أضلاع يكون فيه A و B ضلعين متجاورين فيكون القطر ممثلاً لمحصلة المتجهين كما فى الشكل (c) .
محصلة ( جمع ) المتجهات :
عندما تؤثر قوتان أو أكثر على جسم ما فى اتجاهات مختلفة فإن هذا الجسم يتحرك فى اتجاه معين تحدده محصلة هذه القوى
المؤثرة على الجسم و التى يطلق عليها القوة المحصلة .
لاحظ أن : يحدد اتجاه محصلة القوى بالاتجاه الذى يتحرك فيه الجسم .
القوة المحصلة : هى قوة وحيدة تحدث فى الجسم الأثر نفسه الذى تحدثه القوى الأصلية المؤثرة عليه .
تطبيق : 40 N
إذا ربطنا حجر بحبلين بينهما زاوية ˚90 و قمنا بشد الحبل الأول بقوة 40 N اتجاه حركة الحجر
و الثانى بقوة 30 N نلاحظ تحرك الحجر مسافة معينة فى اتجاه مختلف عن
اتجاه القوتين المؤثرتين .
30 N
إذا استبدلنا الحبلين بحبل واحد و أثرنا عليه بقوة 50 N كما بالشكل
نلاحظ تحرك الحجر نفس المسافة فى نفس الإتجاه الذى يتحرك فيه عند التاثير عليه بالقوتين .
أى أن القوة 50 N تحدث فى الحجر نفس الأثر الذى تحدثه القوتين30 N ، 40 N 50 N
و بالتالى فهى تعتبر محصلة القوتين
محصلة قوتين متعامدتين
إذا أثر على الجسم قوتان متعامدتان أحدهما فى اتجاه محور X و هى FX Y
و الأخرى فى اتجاه محور Y و هى FY فإن :
المحصلة تعين من العلاقة :
F FY
θ
و الزاوية التى تميل بها مع محور X تعين من العلاقة : X FX
تجربة عملية : إيجاد محصلة قوتين متعامدتين بيانيا ً
لتعيين محصلة قوتين متعامدتين F 1 = 3 N , F 2 = 4 N بيانيا ً نقوم بالآتى :
رسم خطا ً أفقيا ً A B طوله 3 cm يمثل القوة الأولى
F 1 = 3 N على ورقة رسم بيانى . C D
رسم خطا ً عموديا ً A D على الخط الأفقى A B F2
طوله4 cm يمثل القوة الثانية F 2 = 4 N .
إكمال المستطيل A B C D . 4 cm
توصيل القطر A C .
قياس طول القطر A C الذى يمثل مقدار المحصلة .
استخدام المنقلة لقياس قيمة الزاوية B A C . B θ A
التى تحدد اتجاه المحصلة بالنسبة للقوة الأولى F 1 . F1 3 cm
احسب قيمة المحصلة من علاقات المثلث قائم الزاوية حيث AC 2 = AB 2 + BC 2
F 2 = F1 2 + F2 2
قارن بين النتيجتين لمحصلة القوتين .
أمثلة
( 1 ) أوجد محصلة قوتين أحداهما فى اتجاه محور X و هى FX = 4 N , والاخرى فى اتجاه محور Y هى FY = 3 N .
[ N 5 ، ˚ 36.86 ]
( 2 ) إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X و هى FX = 18 N , والاخرى فى اتجاه محور Y
هى FY = 12 N .أوجد قيمة المحصلة للقوتين و الزاوية التى تصنعها المحصلة مع المحور X .
[ N 21.633 ، ˚ 33.69 ]
( 3 ) إذا كانت محصلة قوتين متعامدتين هى F = 30 N و كانت FY = 20 N فأوجد قيمة FX و الزاوية التى تصنعها
المحصلة مع المحور X . [ N 22.36 ، ˚ 41.81 ]
( 4 ) إذا كانت محصلة قوتين متعامدتين هى F = 40 N و كانت FX = 15 N فأوجد قيمة FY و الزاوية التى تصنعها
المحصلة مع المحور X . [ N 37.08 ، ˚ 67.975 ]
( 5 ) إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X و هى FX = 8 N , والاخرى فى اتجاه محور Y
و كانت المحصلة تميل على المحور X بمقدار ˚40 أوجد قيمة المحصلة للقوتين . [ 8.7177 نيوتن ]
( 6 ) إذا أثر على جسم قوتين متعامدتين أحدهما فى اتجاه محور X والاخرى فى اتجاه محور Y و هى Fy = 6 N ,
و كانت المحصلة تميل على المحور Y بمقدار ˚30 أوجد قيمة المحصلة للقوتين . [ 6.928 نيوتن ]
( 7 ) سفينة تمر فى اتجاه الشمال بسرعة 12 km / h لكنها تنحرف نحو الغرب بتاثير المد و الجزر بسرعة قدرها 15 km / h
احسب مقدار و اتجاه السرعة المحصلة للسفينة . [ 19.2 km / h ، ˚ 38.66 غربا ً ]
( 8 ) راكب دراجة بخارية ينطلق نحو الشمال بسرعة 80 km / h بينما تهب الرياح فى اتجاه الغرب بسرعة قدرها 50 km / h
احسب سرعة الرياح الظاهرية كما يلاحظها راكب الدراجة . [ 94.3398 km / h ، ˚ 57.99 غربا ً ]
تحليل المتجهات
هو العملية العكسية لجمع المتجهات كمثال طفلة تجر أخرى بواسطة حبل فى اتجاه يصنع زاوية θ مع الافقى فيمكن تحليل
القوة F الى قوتين متعامدين على محوري (X , Y )
,
أمثلة
( 1 ) شخص يجر حقيبة بقوة 40 N بواسطة حبل يصنع زاوية ˚ 30 درجة مع الأفقى احسب قيمة القوة فى اتجاهى X , Y .
( 2 ) أثرت قوة مقدارها 60 N على جسم و كان اتجاه تاثير القوة يميل على المحور الراسى بزاوية˚ 35 احسب قيمة القوة فى
اتجاهى X , Y .
ضــــرب المتجهــــات
الضرب القياسى :
يمكن تعيين حاصل الضرب القياسى للمتجهين , من العلاقة :
θ
ملاحظــــــــــــــــــــات هــــــــــــــــــــامة :-
ناتج حاصل الضرب القياسى يعطى كمية قياسية .
حاصل الضرب القياسى إبدالى أى
حاصل الضرب القياسى يكون أقصى ما يمكن عندما تكون θ = صفر .
حاصل الضرب القياسى ينعدم عندما تكون θ = ˚90 أى المتجهان متعامدان .
الضرب الإتجاهى :-
ينتج من حاصل الضرب الإتجاهى للمتجهين , متجه ثالث عمودى
على المستوى الذى يجمع المتجهين ,
يتعين حاصل الضرب الإتجاهى للمتجهين , من العلاقة :
θ
حيث ( ) وحدة متجهات فى إتجاه عمودى على المستوى الذى يشمل المتجهين ,
و العلامة ( ) بين المتجهين تنطق cross .
ملاحظــــــــــــــــــــات هــــــــــــــــــــامة :-
ناتج حاصل الضرب الإتجاهى يعطى كمية متجهة . .
حاصل الضرب القياسى ليس إبدالى أى
بينما .
حاصل الضرب الإتجاهى يكون أقصى ما يمكن عندما تكون θ = ˚90 أى المتجهان متعامدان .
حاصل الضرب الإتجاهى ينعدم عندما تكون θ = صفر .
قيمة عدديا ً عندما تكون θ = ˚45 .
قاعدة اليد اليمنى :
الإستخدام : تحديد اتجاه محصلة الضرب الإتجاهى للمتجهين , ( اتجاه المتجه ) .
طريقة العمل :
يتم تحريك أصابع اليد اليمنى من المتجه الأول نحو المتجه الثانى عبر الزاوية الأصغر
بينهما θ فيكون الإبهام مشيرا ً لاتجاه حاصل الضرب الإتجاهى لهما .
أمثلة
( 1 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين , هى A = 4 , B = 6 و الزاوية بينهما ˚60
أوجد : ( 1 )
( 2 ) [ 12 ، 20.78 ]
( 2 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين , هى A = 2 , B = 5 و الزاوية بينهما ˚30
أوجد : ( 1 )
( 2 ) [ 8.66 ، 5 ]
( 3 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين , هى A = 12 , B = 8 و الزاوية بينهما ˚40
أوجد : ( 1 )
( 2 ) [ 73.54 ، 61.7 ]
( 4 ) قوتان متعامدتان Fy , Fx فإذا كانت الزاوية التى تصنعها محصلة القوتين مع المحور ( x ) هى ˚60
و قيمة المحصلة 20 N أوجد :
1 – قيمة كل من القوتين Fy , Fx .
2 – حاصل الضرب القياسى للمتجهين . [N 10 ، N 17.32 ، صفر ]
( 5 ) إذا كانت القيمة العددية للمتجهين , هى A = 7 , B = 9 و الزاوية بينهما ˚80
أوجد : ( 1 ) ( 2 ) [ 10.939 ، 62.04 ]
( 6 ) قوتان 100 N ، 80 N فى اتجاهين متضادين احسب :
1 – حاصل الضرب القياسى للمتجهين .
2 – حاصل الضرب الإتجاهى للمتجهين . [ 8000 ـــ ، 0 ]
( 7 ) أوجد الزاوية بين المتجهين , حيث A = 16 , B = 10 و حاصل الضرب القياسى لهما = 80
[ ˚60 ]
( 8 ) قوتان , القيمة العددية للمتجه F1 9 N = فإذا كان حاصل الضرب الإتجاهى لهما 116.91 و الزاوية
بين المتجهين ˚60 أوجد القيمة العددية للمتجه ثم أوجد حاصل الضرب القياسى لهما .
[N 14.99 ، 67.49 ]
( 9 ) متجهان , متساويان عدديا ً و الزاوية بينهما ˚60 و حاصل الضرب القياسى لهما = 8
أوجد : قيمة كل من , العددية . [ 4 ]
( 10 ) متجهان , متساويان عدديا ً و الزاوية بينهما ˚40 و حاصل الضرب القياسى لهما = 6
أوجد : قيمة كل من , العددية . [ 2.798 ]
( 11 ) أوجد الزاوية بين المتجهين , حيث A = 5 , B = 8 و حاصل الضرب القياسى لهما = 12
[ ˚72.54 ]
( 12 ) أوجد الزاوية بين المتجهين , حيث A = 4 , B = 3 و حاصل الضرب القياسى لهما = 6
[ ˚60 ]
( 13 ) أوجد الزاوية بين المتجهين , حيث A = 7 , B = 6 و حاصل الضرب القياسى لهما = 15
[ ˚69.07 ]
( 14 ) من الشكل المقابل :
أوجد حاصل الضرب القياسى و الإتجاهى للمتجهين ,
A = 120 B = 60
[ 7200 ـــ ]
( 15 ) متجهان , القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 18
فإذا كانت A = 4 أوجد قيمة B العددية . [ 6.36 ]
( 16 ) متجهان , القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 12
فإذا كانت A = 6 أوجد قيمة B العددية . [ 2.82 ]
( 17 ) متجهان , القيمة العددية لحاصل ضربهما القياسى = القيمة العددية لحاصل ضربهما الإتجاهى = 20
فإذا كانت B = 7 أوجد قيمة A العددية . [ 4.04 ]
( 18 ) من الشكل المقابل :
أوجد : ( 1 )
( 2 ) B = 60
( 3 ) مع تحديد اتجاه ناتج حاصل ضربهما على الرسم .
[ صفر ، صفر ، 7200 ] A = 120
الباب الثــــــانى الحركة الخطية
الفصل الأول الحــــــركـــة فى خط مستقيم
مفهوم الحركة :- هو تغير موضع جسم فى الفضاء مع الزمن .
الجسم الساكن :- هو الجسم الذى لا يتغير موضعه بالنسبة لنقطة ثابتة بمرور الزمن .
الجسم المتحرك :- هو الجسم الذى يتغير موضعه بالنسبة لنقطة ثابتة بمرور الزمن .
أنواع الحـــــــركة
إنتقالية . دورية .
أولاً : الحــــركة الإنتقالية : هى حركة الجسم بين نقطتين هما نقطة البداية و نقطة النهاية .
مثل : الحركة فى خط مستقيم مثل حركة القطار – المقذوفات .
ثانياً : الحـــــركة الدورية : هى تكرر نفسها على فترات زمنية متساوية .
مثل : بندول الساعة – الأقمار حول الكواكب – الحركة فى دائرة – الحركة الإهتزازية – الحركة الموجية .
سؤال علل تعتبر حركة البندول البسيط حركة دورية ؟ و كذلك حركة الإلكترون حول النواة ؟
ﺠ لأنها تكرر نفسها على فترات زمنية متساوية .
سؤال علل تعتبر حركة المقذوفات حركة إنتقالية ؟
ﺠ لأن الجسم يتحرك بين نقطتين بداية و نهاية .
الســــــرعة ( V )
الســــرعة : هى المعدل الزمنى للتغير فى الإزاحة .
أو هى الإزاحة المقطوعة فى الثانية الواحدة . ( و هى كمية متجهة ) .
وحــــدة قياس الســـرعة : هى م / ث أو m / s
كم / ساعة أو km / h
معادلة أبعاد الســـرعة : L . T - 1
سؤال علل الســــــــرعة كمية متجهة ؟
ﺠ لأن السرعة تساوى خارج قسمة الإزاحة على الزمن و الإزاحة كمية متجهة و الزمن كمية قياسية و خارج قسمة كمية متجهة
على كمية قياسية يساوى كمية متجهة .
عزيزى الطالب : يمكن التعبير عن السرعة بطريقتين و هما :
1 – السرعة العددية و يمثل مقدار السرعة فقط مثل التى يحددها عداد السيارة و مثل قولنا سيارة تتحرك بسرعة km / h 60 .
2 – السرعة المتجهة و يمثل مقدار و اتجاه السرعة مثل قولنا سيارة تتحرك بسرعة km / h 60 شرقا ً و فى حالة عدم التحديد
لنوع السرعة نقصد السرعة المتجهة لأنها تصف حركة الجسم وصفا ً تاما ً.
مقارنة بين السرعة العددية والسرعة المتجهة :-
أنواع الســــــــرعة
سرعة منتظمة ( ثــــــابتة ) : هى سرعة الجسم عندما يقطع إزاحات متساوية فى أزمنة متساوية . d
التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن بيانياً نحصل على خط مستقيم الإزاحة
و هذا يدل على أن الجسم المتحرك يقطع إزاحات متساوية فى أزمنة متساوية x Δ
و ميل هذا الخط المستقيم يمثل السرعة المنتظمة . t Δ
Slope = الميل t الزمن
سؤال مـا معنى قولنا أن ســيارة تسير بسرعة منتظمة = 15 م / ث ؟
ﺠ أى أن السيارة تقطع مسافة قدرها 15 متر كل ثانية بانتظام .
سرعة غير منتظمة ( متغيرة ) : هى سرعة الجسم عندما يقطع إزاحات غير متساوية فى أزمنة متساوية .
التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن بيانياً نحصل على خط منحنى d
و هذا يدل على أن الجسم المتحرك يقطع إزاحات غير متساوية فى أزمنة متساوية الإزاحة
و ميل المماس للمنحنى عند أى لحظة يمثل السرعة اللحظية للجسم عند هذه اللحظة .
سرعة لحظية : هى سرعة الجسم المتحرك عند لحظة ما . t الزمن
سرعة لحظية سرعة متوسطة
سرعة متوسطة ( ) : هى السرعة المنتظمة التى لو سار بها الجسم لقطع نفس المسافة فى نفس الزمن .
تعيين السرعة المتوسطة ( ) من الرسم : و تتعين سرعة الجسم المتوسطة برسم خط يصل بين نقطة بداية الحركة
و نقطة النهاية و يكون ميل هذا الخط يمثل السرعة المتوسطة ( أى ميل الوتر) .
قوانين السرعة المتوسطة : عند رسم العلاقة بين الإزاحة و الزمن
الإزاحة الكلية السرعة الإبتدائية + السرعة النهائية
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الزمن الكلى 2
معلومــــــــــات هــــــــــــــــــــامة :-
تختلف السرعة المتوسطة عن السرعة العددية المتوسطة حيث أن :
و هى كمية متجهة .
بينما و هى كمية قياسية .
تتساوى السرعة اللحظية مع السرعة المتوسطة عندما يتحرك الجسم بسرعة منتظمة .
لتحويل مقدار سرعة الجسيم من وحدة ( كم / ساعة ) إلى وحدة ( م / ث ) نضرب × أو نضرب ×
يوجد داخل السيارة ثلاث أدوات للتحكم فى مقدار و اتجاه السرعة هم :
1 – دواسة البنزين لزيادة السرعة .
2 – دواسة الفرامل لتقليل السرعة .
3 – عجلة القيادة لتغيير اتجاه الحركة .
أشكال بيانية هامة :
d d V
الإزاحة الإزاحة السرعة
t الزمن t الزمن t الزمن
جسم ســـــاكن جسم متحرك بسرعة منتظمة جسم متحرك بسرعة منتظمة
تجربة عملية : تعيين السرعة التى يتحرك بها جسم
الغرض من التجربة :
تعيين السرعة التى يتحرك بها جسم .
فكــــــرة التجربة :
# رصد العلاقة بين المسافة و الزمن عن طريق تحريك سيارة لعبة بجوار مسطرة مترية .
# رسم العلاقة البيانية بين المسافة و الزمن و منها نحسب سرعة السيارة .
الادوات : سيارة لعبة – مسطرة مترية – كاميرا رقمية .
الخطوات :
ثبت المسطرة المترية بجوار المسار الذى ستسير فيه السيارة .
ضع الكاميرا الرقمية أمامها و قم بتشغيلها .
ضع السيارة عند خط البداية ثم اتركها تتحرك موازية للمسطرة .
حدد موقع السيارة كل 5 ثوانى بقراءة المسطرة المترية على شريط الفيديو .
سجل النتائج فى جدول كالتالى :
(m) d
ارسم علاقة بيانية بين الزمن t على المحور الأفقى و المسافة d على المحور الرأسى .
الإستنتاج : عند رسم علاقة بيانية بين الزمن t على المحور الأفقى
و المسافة d على المحور الرأسى ينتج خط مستقيم يمر
بنقطة الأصل ميله يساوى السرعة . (s) t
Slope = الميل
أمثلة
( 1 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة مقدارها 10 م / ث إحسب المسافة التى قطعتها بعد مرور زمن قدره 15 ثانية . [ 150 متر ]
( 2 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة مقدارها 8 م / ث فقطعت مسافة 800 متر احسب الزمن اللازم لذلك . [ 100 ث ]
( 3 ) سيارة تسير بسرعة منتظمة فقطعت مسافة 400 متر فى 50 ثانية احسب سرعة السيارة . [ 8 متر/ ث ]
( 4 ) تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة 20 متر خلال 5 ثوانى ثم قطع مسافة 34 متر خلال 4 ثوانى
فى نفس الإتجاه إحسب سرعته المتوسطة . [ 6 متر/ ث ]
( 5 ) تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة 40 متر خلال 4 ثوانى شرقا ً ثم قطع مسافة 30 متر خلال 6 ثوانى
شمالا ً إحسب سرعته المتوسطة و سرعته العددية المتوسطة . [ 5 متر/ ث ، 7 متر/ ث ]
( 6 ) الجدول التالي يوضح العلاقة بين الإزاحة و الزمن لجسم متحرك
50 40 30 20 10 d(m)
5 4 3 2 1 t.(sec)
ارسم العلاقة بين الإزاحة d على المحور الرأسى و الزمن t على المحور الأفقى .
و من الرسم احسب السرعة و ما نوعها ؟ [ 10 متر/ ث ، منتظمة ]
( 7 ) تحرك جسم فى خط مستقيم فقطع مسافة 80 متر خلال 4 ثوانى ثم قطع مسافة 20 متر خلال 6 ثوانى
فى الإتجاه المضاد إحسب سرعته المتوسطة و سرعته العددية المتوسطة . [ 6 متر/ ث ، 10 متر/ ث ]
(8) يعبر الشكل عن حركة عمرو من منزله حتى عودته مرة أخرى أجب عن الآتى :
1 – ما النقاط التى توقف عندها عمرو ؟ ( m ) d
2 – ما أكبر سرعة تحرك بها عمرو ؟
3 – لماذا تكون سرعة عودته سالبة ؟ e d 3
4 – احسب المسافة و الإزاحة التى يقطعها عمرو ؟
[ b , d ، 1.5 متر/ ث ، 6 متر ، صفر ]
( s ) t f a
8 6 5 4 2 0
(9) الجدول التالى يوضح العلاقة بين الإزاحة و الزمن لجسم متحرك
24 C 16 B 8 4 d(m)
A 5 4 3 2 1 t.(sec)
ارسم العلاقة بين الإزاحة d على المحور الرأسى و الزمن t على المحور الأفقى و من الرسم احسب :-
1 - قيم A , B ,C . 2- قيمة الميل و ما يساويه فيزيائيا ؟
[ 20 ، 12 ، 6 ، 4 ، السرعة ]
(10) الشكل البيانى المرسوم يوضح حركة شخص يمشى على طريق مستقيم حيث الإزاحة بالمتر ممثلة على المحور الصادى
و الزمن بالثانية على المحور السينى .
1- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص ساكناً ؟ وكم تكون الفترة الزمنية التى يستمر فيها الشخص ساكناً ؟ الإزاحة
2- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص متحركاً فيها بسرعة منتظمة مبتعداً عن نقطة البدء ؟ بالمتر
احسب قيمة هذه السرعة المنتظمة ؟
3- أى أجزاء الخط البيانى يكون فيها الشخص متحركاً فيها بسرعة منتظمة مقتربأ من نقطة البدء ؟
و كم تكون هذه السرعة ؟ ﺠ ب 100
الزمن t بالثوانى د
300 200 50 0 أ
[ ب ﺠ , 150 ث ، أ ب ، 2 م / ث ، ﺠ د ، 1 م / ث ]
( 11 ) الشكل البيانى المقابل يمثل علاقة بين الإزاحة الحادثة لجسم و الزمن X ( m )
احسب الإزاحة الحادثة و المسافة الكلية .
20
10
t ( s ) 0
25 20 5
10 ـــ
[ 10 متر ، 50 متر ]
العجــــــلة( a )
العجــــــلة: هى المعدل الزمنى للتغير فى السرعة .
وحــــدة قياس العجــــــلة : هى م / ث۲ أو m / s 2
معادلة أبعاد العجــــــلة : L . T - 2
الحركة المعجلة : هى الحركة التى يحدث فيها تغير للسرعة مع مرور الزمن .
سؤال علل العجلة كمية متجهة؟
ﺠ لأن العجلة تساوى خارج قسمة التغير فى السرعة على الزمن و السرعة كمية متجهة و الزمن كمية قياسية و خارج قسمة كمية
متجهة على كمية قياسية يساوى كمية متجهة .
عزيزى الطالب : كلمة عجلة فى الفيزياء تعنى إما تسارع أو تباطؤ و بالتالى فى حالة السرعة المنتظمة تكون العجلة صفرا ً .
أنواع العجـــــــلة
عجـــلة منتظمة ( ثــــــابتة ) : هى العجلة التى تتغير فيها سرعة الجسم بمقادير متساوية فى أزمنة متساوية .
V
التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين السرعة و الزمن بيانياً نحصل على خط مستقيم السرعة
و هذا يدل على أن الجسم المتحرك تتغير سرعته بانتظام مع الزمن . V Δ
و ميل هذا الخط المستقيم يمثل العجلة المنتظمة . t Δ
Slope = t الزمن
عجــلة غير منتظمة ( متغيرة ) : هى العجلة التى تتغير فيها سرعة الجسم بمقادير غير متساوية فى أزمنة متساوية .
التمثيل البيانى : عند رسم العلاقة بين السرعة و الزمن بيانياً نحصل على خط منحنى V
و ميل المماس للمنحنى عند أى لحظة يمثل العجلة اللحظية للجسم عند هذه اللحظة . السرعة
t الزمن
معلومــــــــــات هــــــــــــــــــــامة :-
العجلة سواء كانت منتظمة أو متغيرة ممكن أن تكون تزايدية ( موجبة ) أو تناقصية ( سالبة ).
العجلة التزايدية تحدث عندما تزداد سرعة الجسم أى عندما تكون Vf > Vi و تكون إشارتها ( + ) .
العجلة التناقصية أو التقصيرية تحدث عندما تتناقص سرعة الجسم أى عندما تكون Vf < Vi و تكون إشارتها ( ـــ ) .
عندما يتحرك الجسم بسرعة منتظمة تنعدم عجلته ( a = 0 ) و ذلك لأن العجلة و عندما تكون السرعة
منتظمة يكون V Δ = 0 و بالتالى يكون a = 0 و تسمى العجلة الصفرية .
سؤال مـا معنى قولنا أن ســيارة تسير بعجلة منتظمة = ( 15 ـــ ) م / ث۲ ؟
ﺠ أى أن سرعة السيارة تتناقص بمقدار 15 م / ث كل ثانية .
سؤال مـا معنى قولنا أن قطار يسير بعجلة منتظمة = ( 15 ) م / ث۲ ؟
ﺠ أى أن سرعة القطار تزدا بمقدار 15 م / ث كل ثانية .
أشكال بيانية هامة :
V V V
السرعة السرعة السرعة
t الزمن t الزمن t الزمن
جسم متحرك بعجلة منتظمة جسم متحرك بعجلة منتظمة جسم متحرك بسرعة منتظمة
تزايدية ( موجبة ) تناقصية ( سالبة ) العجلة الصفرية a = 0
أمثلة
( 1 ) تتحرك سيارة بسرعة ابتدائية 15 م / ث و تزداد سرعتها لتصل إلى 25 م / ث خلال 2.5 ثانية احسب العجلة التى
تتحرك بها خلال تلك الفترة الزمنية بفرض أن التغير فى السرعة كان منتظما ً . [4 m / s 2 ]
( 2 ) جسم يتحرك بسرعة ابتدائية 25 م / ث و تزداد سرعتها لتصل إلى 45 م / ث خلال 4 ثوان احسب العجلة التى
تحرك بها خلال تلك الفترة الزمنية بفرض أن التغير فى السرعة كان منتظما ً . [5 m / s 2 ]
( 3 ) جسم يتحرك بسرعة ابتدائية 4 م / ث تناقصت سرعته تدريجيا ً حتى توقف عن الحركة بعد مضى 8 ثوان احسب العجلة
التى يتحرك بها الجسم و نوعها . [0.5 m / s 2 ــ ]
( 4 ) بدأ عمرو فى تحريك سيارته من السكون حتى وصلت سرعتها 20 م / ث خلال 10 ثوان فاحسب العجلة التى تحركت
بها السيارة و ما نوعها . [2 m / s 2 ]
( 5 ) بدأت مـــــى فى تحريك سيارتها من السكون حتى وصلت سرعتها 60 م / ث خلال 15 ثانية فاحسب العجلة التى تحركت
بها السيارة و ما نوعها . [4 m / s 2 ]
( 6 ) الجدول التالى يوضح العلاقة بين الزمن وسرعة جسم بدأ حركته من السكون
8 7 6 4 2 1 t (sec)
40 35 30 20 10 5 V (m/s)
ارسم علاقة بيانية بين الزمن على المحور الأفقى والسرعة على المحور الرأسي ومن الرسم أوجد :
- العجلة التي يتحرك بها الجسم . [5 m / s 2 ]
( 7 ) الجدول التالى يوضح العلاقة بين الزمن و السرعة لجسم :
11 17 19 23 25 V ( m / s )
7 4 3 1 0 t ( s )
1 – ارسم علاقة بيانية بين السرعة على المحور الرأسى و الزمن على المحور الأفقى .
2 - من الرسم أوجد العجلة و أذكر نوعها . [2 m / s 2 ـــ ]
الفصل الثانى الحركة بعجلة منتظمة
معـــــادلات الحـــــركة بعجـــــلة منتظمة
( 1 Vf = Vi + a t ( ( 2 ) ( 3 ) Vf 2 = Vi 2 + 2 a d
حيث Vi السرعة الإبتدائية و Vf السرعة النهائية أو السرعة بعد فترة زمنية معينة و a العجلة و d الإزاحة و t الزمن .
استنتاج معادلة الحركة الأولى :-
Vf - Vi = a t
# Vf = Vi + a t
استنتاج معادلة الحركة الثانية :-
( 1 ) ,
و بالتعويض عن قيمة Vf من المعادلة الأولى للحركة فى المعادلة ( 1 ) ينتج أن :
استنتاج معادلة الحركة الثانية بيانيا ً:- V
الإزاحة = السرعة × الزمن .
من الرسم البيانى
الإزاحة = المساحة تحت المنحنى ( السرعة – الزمن ) . Vf
تقسم المساحة تحت المنحنى إلى مستطيل و مثلث
مساحة المستطيل = t Vi Vf - Vi
مساحة المثلث = Vi
و من المعادلة الأولى للحركة Vf - Vi = a t t
مساحة المثلث = t 0
و بجمع المساحتين #
**************************************************************************************************************
استنتاج معادلة الحركة الثالثة :-
(1)
(2)
و من المعادلة الأولى للحركة (3)
بالتعويض من (2) ، (3) فى (1) ينتج ان :
# Vf 2 = Vi 2 + 2 a d Vf 2 - Vi 2 = 2 a d