اختبار الفرضيات
:يتعلق اختبار الفرضيات بإيجاد ألا جابه على هذا السؤال ما اذا كانت القيمة المحسوبة من العينة متوافقة مع الفرضية أم لا؟ الكلمة متوافقة هنا تعني أن القيمة المحسوبة قريبه من القيمة المفترضة بحيث أننا لا نستطيع إن نرفض القيمة المفترضة. إي إذا كان هناك نظريه سابقه أو اعتقاد إن الميل الحقيقي لدالة الاستهلاك والدخل يساوي على سبيل المثال 1 هل القيمة المحسوبة أو المشاهدة والتي تساوي =0.509 و تحصل عليها من العينة متفقه مع القيمة التي افترضناها سابقا؟ إذا كان الجواب بنعم فاننا لا نرفض الفرضية.في القياسي نسمي القيمة المفترضة بـفرضية العدم لفرضية البديلة
فرضية العدم الفرضية البديلة
من المثال (1) نفترض إننا سوف نقوم باختبار الفرضية انه ليس هناك علاقة بين X , Y,
فرضية العدم الفرضية البديلة
الاختبار يقارن بين ما تقوله الفرضية وما تقوله العينة إذا كان الفرق كبير إي اكثر من القيمة الجد وليه التي نحصلنا عليها من جدول t فأننا نرفض الفرض. إذا كان الفرق قليل فان هذا يعني إن العينة تؤيد ما يقوله الفرض وبالتالي نقبل الفرض.
توزيع t
t الجدوليه =3.182
يعني إننا يجب إن نوجد القيمة الفرضية من اجل اتخاذ القرار آما بقبول أو برفض . إن قرار القبول أو الرفض يتعلق بفرضية العدم وليس بالفرضيه البديلة.
اختبار جودة النموذج وتحليل التباين.
SST
Total Sum of Squares مجموع المربعات الإجمالي للتغيرات التي تحدث في المتغير التابعY
SSR
Regression Sum of Squares يسمى بمجموع مربعات الانحدار يعني جزء من تباين Y الذي تم تفســـيره بواســـطة الانحدار. إي الجزء من المتغيرات التي تحدث في المتغير التابع والذي تم تفســيرها بواســطة النموذج المقدر
SSE
Error مجموع مربعات البواقي، u2, وهذا مؤشــر للجزء الذي لم يفســر
بواســطة نموذج الانحدار، إي الجزء الذي فشل النموذج في تفسيره
ويمثل نسبة مجموع مربعات الانحدار إلي مجموع المربعات الإجمالي ما يسمى بـ معامل التحديد
قيمة R2 تتراوح بين صفر وواحد. إذا كانت مرتفعه أي قربيه من الواحد تعتبرX جيده في تفسير التغيرات في Y. إذا كانت قربيه من الصفر فان المتغير لا يشرح إلا القليل من التغير في Y.
جدول تحليل التباين لمعادلة الانحدارANOVAِAnalysis Of Variance)): وهو إن تحليل مجموع المربعات الصغرى إلي مجموع مربعات البواقي ومجموع مربعات الانحدار. الغرض من هذا التحليل لاختبار معنوية مجموع مربعات الانحدار وهذا أيضا يدخل في اختبار معنوية المعامل . ونمثل هذا التحليل في جدول تحليل التباين:
جدول تحليل التباين ANOVA
التباين مجموع المربعات درجة الحرية متوسط المربعات
مجموع مربعات الانحدار
k-1=2-1 SSR/1
مجموع مربعات البواقي
n-k=n-2 SSE/(n-2)
مجموع مربعات الإجمالي
n-2=3
جدول تحليل التباين للمثال (1)
التباين مجموع المربعات درجة الحرية متوسط المربعات
مجموع مربعات الانحدار SSR=122.5 K-1=1 122.5/1
مجموع مربعات البواقي SSE=1.500 n-k=3 1.5/3
مجموع مربعات الإجمالي SST=124 n-1=4
اختبار F هو اختبار لجودة النموذج. يحاول أن يجيب على السؤال هل افلح النموذج في تفسير التغيرات التي تحدث في المتغير التابع. ويختبر الفرضية إن معاملات المتغيرات المفسرة تساوي الصفر. أي أن فرضية العدم تقول انه لا يوجد علاقة بين المتغيرات المفسرة والمتغير التابع. وتقارن قيمة المحسوبة من الجدول مع الجد وليه بدرجة حرية للبسط تساوي k-1 ودرجة حرية المقام n-k. قيمة الجد وليه عند مستوى معنوية 5% تساوي .10.13
توزيع F
8.2 التنبؤ باستخدام معادلة الانحدار:
معادلة الانحدار المقدرة تستخدم في عملية التنبؤ لقيم Y لقيم محدده من X . إذا كانت X0 تمثل القيمة المحددة من X تستخدم في التنبؤ بقيمة Y0 من قيم Y.
حيث u تمثل حد الخطأ.
حيث يمثل خطأ التنبؤ
حيث إن
إذا تكون
هذه تعني إن قيمة Y هي قيمه غير متحيزة ويكون تباين يساوي:
أي إن التباين يرتفع بارتفاع تباين X أي باختلاف قيم X عن قيم متوسطها.
باستخدام البيانات أعلاه نحصل على Y=10.0+0.90 X
إذا استخدمنا X0 =250 ستكون قيمة Y0 المتنبأ بها يساوي: =10.0+0.9(250)=235 Y0
حيث أن t=2.228 من جدول مع 10 درجات حريه، و فترة الثقة 95% تكون
235 2.228 (0.131) = 235 0.29
آي أن فترة الثقة تساوي (234.71 - 235.29)
التنبؤ للقيمة المتوقعة:-
أحيانا يرغب الباحث في التنبؤ بالقيمة المتوقعة لـY بدلا من Y0 آي قيمة E(Y0) آي القيمة المتوسطة لـ E(Y0 وليس Y0 . عند التنبؤ بالقيمة المتوقعة فان Y0= E(Y0) حيث أن فان القيمة المتنبأ بها تساوي آي يساوي Y0 ولكن الخطأ المعياري والتباين
سيكون مختلفا. سيكون اصغر قيمه
التباين يساوي:
والخطأ المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين وفترة الثقة تساوي
55 23 15
X=3.0 Y =1.0 + 1.2 X SSE=8.8
نفترض إن مدير المبيعات يرغب في التنبؤ بدخل المبيعات عندما تكون النفقات الاعلانيه تساوي 600 ريال. ويريد أيضا بناء 95% فترة ثقة لتنبؤه. X0 =6 إذا
y=1.0 + 1.2(6)=8.2
والتباين يساوي
الخطأ المعياري
عند مستوى المعنوية 5% ، ودرجة حرية df=2.353. و 90% فتره
تطبيق
دالة الاســتهلاك الخاص للملكة العربية الســعودية:
حيث ترمز X الى الاستهلاك الخاص و Y الى الدخل.
البيانات:
GDP
الدخل (اجمالي الناتج المحلي) باسعار الجاريه Private Consumption X
الاستهلاك الخاص Year
طريقة الإمكانية العظمى Maximum Likelihood Method (ML)
هي طريقة احصائيه تستعمل في مجال التقدير أول من قدمها الإحصائي المشهور Fisher . الإمكانية : مفهوم احتمال حدوث عمل ما. وهي طريقة للتقدير الإحصائي مثلها مثل طريقة المربعات الصغرى تستخدم في تقدير قيم المعالم المجهولة ويمكن أن تطبق على نماذج الانحدار وممكن تطبيقها على آي علاقة مجتمع تحتوي على معالم مجهولة، تتميز مقدرات الإمكانية العظمى بخواص جيدة ومطلوبة سنرى طبية هذه الخواص فيما بعد. طريقة الإمكانية العظمى تتطلب أجراء حسابات معقدة مثل الحسابات المعقدة كانت عامل مهم في الماضي، لكن الآن الحسابات تجري بواسطة الحاسبات الآلية وبالتالي هذا الاعتبار لا يشكل نقيصة فيما يختص باستخدام الإمكانية العظمى.
الإمكانية العظمى تشترك في بعض الحالات مع مقدرات المربعات الصغرى، آي نتحصل على مقدرات الإمكانية العظمى تتطابق مع مقدرات المربعات الصغرى العادية أن مقدرات ألا مكانيه العظمى في مثل نموذج الانحدار البسيط ما هي آلا مقدرات المربعات الصغرى ، لكن في نماذج أخرى اكثر تعقيدا نرى أن مقدرات الإمكانية العظمى تختلف عن مقدرات المربعات الصغرى العادية.
مقدرات الإمكانية العظمى: هي تلك القيم التي تعظم إمكانية ( الاحتمال) الحصول على العينة المشاهدة والمستخدمة في التقدير.
طريقة الإمكانية العظمى: نبدأ بنموذج الانحدار البسيط:
الخطوة الأولى : افتراض حول شكل التوزيع الاحتمالي الخاص بالعناصر العشوائية. افترضنا أن المتغير العشوائي يتوزع توزيع طبيعيا.
الخطوة الثانية: تحديد دالة الاحتمال أو دالة الكثافة الاحتمالية Probability Density Function الخاصة بالعناصر العشوائية.
الخطوة الثالثة: استخلاص دالة الاحتمال الخاصة بالمتغير التابع، حيث أن المتغير التابع يعتمد على المتغير العشوائي. ثم يعمم على العينة.
الخطوة الرابعة: تعظم تلك الدالة بالنسبة لقيم المعالم فنتحصل على مقدرات الإمكانية العظمى.
1- دالة الكثافة الاحتمالية لـلعنصر العشوائي u هي دالة توزيع طبيعي معروفه تكتب على النحو التالي:
حيث أن =-3.14 و e=2.718
الجزء الثاني من المعادلة هو مربع u1/2 مضروب في المتغير العشوائي مطروح من الوسط ومقسوم على الانحراف المعياري . وبالتعويض بالمتوسط الصفري يمكن كتابتها كما يلي:
2- تحدد دالة الاحتمال المشتركة join Density Function آي دالة العناصر العشوائية والتي تكون عادة بعدد n en …… e1, e2, وحيث أن العنصر العشوائية غير مرتبطة مع بعض يمكن كتابة دالة الاحتمال المشتركة كما يلي:
تعوض الدوال بقيمتها من معادلة دالة الكثافة الاحتمالية للعشوائي
3- استخلاص دالة الاحتمال الخاصة بالمتغير التابع Y، حيث أن المتغير التابع يعتمد على المتغير العشوائي. ثم يعمم على العينة.
حيث أن
نعوض بقيمة u من دالة الإمكانية العظمى:
تحولنا عن البواقيu إلى دالة يظهر فيها التابع Y وبحكم ظهور على الجانب الأيمن من المعادلة. تعتبر هذه المعادلة دالة الاحتمال المشتركة وتسمى بدالة الإمكانية العظمى ويرمز لها بالرمز
ومن دالة الاحتمال المشتركة يمكن الحصول مقدرات الإمكانية العظمى بهذه المعادلة. المطلوب هو أيجاد القيم للمقدرات التي تعظم احتمال العثور على القيم الخاصة بـ Y. آي أن المعيار في دالة الإمكانية العظمى يتطلب تعظيم دالة ألا مكانيه العظمى. لتعظيم أي دالة من الدوال يجب أجراء التفاضل حسب متطلبات شرط الدرجة الأولى ومساواته بالصفر. وحيث أن المعادلة معقده لذل تستخدم الخاصية الرياضية التي تقول أن القيمة العظمى لدالة من الدوال أو قيمة المعلمة التي تحقق القيمة العظمى لدالة من الدوال هي نفس القيمة التي تحقق القيمة العظمى للدالة الرئيسية . للتبسيط نأخذ لوغاريتم الدالة
نلاحظ وجه التبسيط انه بينما كانت معالم تظهر في الأس لـ u الآن تظهر كدالة خطية وذلك يسهل عملية أجراء التفاضل.
الغرض من كتابة المعادلة على الصورة المختلفة هو عزل التباين 2 عن الثابت (2). ومن ذلك يمكن التوصل إلى مقدرة معلمة التباين لهذا تعتبر طريقة الإمكانية افضل من طريقة المربعات الصغرى لأنها تعطينا بالأضافه إلى مقدرة تعطينا مقدرة 2 .
إذا للحصول على مقدرات ألا مكانيه العظمى يتم أجراء التفاضل الذي يعظم دالة الإمكانية اختيار المقدرات التي تعظم الدالة.
للحصول على المجاهيل نحل المعادلات الثلاث ومســاواتها بالصفر. يمكن الحصول على المعادلات التالية:
9.2
هذه المعادلتين هي نفس المعادلتين التي تم الحصول عليها في طريقة المربعات الصغرى العادية أي إن الإمكانية العظمى تقود إلي نفس المعادلات الطبيعية التي تم الحصول عليها في طريقة م ص ع ولكن استخدمنا رموز جديده لمقدرات الإمكانية العظمي أي المقدرات التي تعظم دالة الإمكانية:
وبحل المعادلتين أما بطريقة المصفوفات أو بالمعادلات الآنية أو بطريقة Cramer وباتباع أي من هذه الطرق نتحصل على صيغة خاصة ب مقدرات الإمكانية العظمى:
وهي نفس صيغة مقدرة المربعات الصغرى العادية. في حالة النموذج الخطي البســيط. أما في النماذج المتعددة فلا تنطبق المقدرات.
ومن ميزات مقدرات الإمكانية العظمى الحصول مقدرة التباين σ2 ويتم العثور من المعادلة رقم 3 .
وبحل المعادلة نتحصل
وهذه هي مقدرة الإمكانية العظمى للتباين ويمكن إن تكتب على النحو التالي:
تتميز هذه المقدرة بأنها متحيزة ولا تتميز بالكفاءة…. ولا تستخدم في العينات الصغيرة ولكن إذا كانت العينة كبيرة يمكن استخدام مقدرة الإمكانية العظمى للتباين.
10.2 خصائص مقدرات الإمكانية العظمى:
ويشار أليها بالخصائص التقاربية وهي الخصائص التي تتحقق إذا كان حجم العينة كبير ، ولكن في الاقتصاد من الصعب الحصول على عينات كبيرة الحجم وعادة تكون سلاسل زمنية من 20 إلي 25 وبالتالي العينات المستخدمة في الاقتصاد كلها صغيرة الحجم ولا تنطبق عليها الخصائص التقاربية.
الخصائص التقاربيه Asmpotitic result لمقدرات الإمكانية العظمى كما يلي:
1- عدم التحيز التقاربي: إذا زاد حجم العينة أي كلما اقتربت n→∞ كلما تلاشى التحيز الموجود بالعينة الصغيرة. فعلى سبيل المثال مقدرة التباين متحيزة في العينات الصغيرة ولكن في العينات الكبيرة يختفي ذلك التحيز. أي إن وسط توزيعها عيناتها الاحتمالي لا يساوي القيمة الحقيقية أما إذا ارتفع حجم العينة فن التوزيع الخاص بمقدرات العينات المختلفة يقترب من التوزيع الطبيعي وتكون القيمة المتوقعة في الوسط. أي غير متحيزة.
2- الكفاءة التقاربية (أدنى تباين وأعلى دقة) :
ينخفض التباين وينخفض التحيز إذا وجد بزيادة حجم العينة وتزداد دقة المقدرات.
3- الاتســـــاق Consistency.
إذا زاد حجم العينة إلي لانهاية فان التوزيع الاحتمالي للمعلمة المقدرة ينهار على القيمة الحقيقية للمعلمة سواء كانت مقدرة الميل أو القاطع أو التباين.
الملخص:
الفروض الاساسيه توضح إن نموذج الانحدار خطي بخطأ معياري ذا وسط صفري وغير مرتبطة مع المتغيرات المفسرة ويتميز بتباين ثابت ، يتوزع توزيعا طبيعيا.
تتميز مقدرات م ص ع بعدم التحيز وأدنى تباين. وخطية .
تمارين
1-عرف المصطلحات التالية:
1- الخطأ المعياري.
2- التباين.
2-عدد الافتراضات اللازمة لتطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية.
3- للمشاهدات التالية
Y={5,2,3,2,-2} و X={3,2,1,,-1,0}
أ- أوجدي القيم التاليه
ب-ارسم شكل الانتشار الخاص بالمتغيرين X,Y
ج-أوجد الخط الذي يمثل العلاقةY=a+bX مع الرسم.
د-مالمقصود بـ a,b
هـ- حدد متوسط Y ومتوسط X على الرسم.
4- حدد دالة الانتاج التي تعبر عن العلاقة بين كمية الانتاج وعنصر الانتاج العمل حسب البيانات المعطاة
اذا افترضنا ان البيانات يمكن وصفها بعلاقة خطية تحت الفروض الخمسة. حددي تلك العلاقة . واشرحي العلاقة الاقتصادية التي تربط المتغيرات حسب المعادلة. مع رسم شكل الانتشار والخط المربعات الصغرى العدية.
تمرين :
جدول : حددي نتائج الانحدار للعلاقة بين الكمية المطلوبة لسلعه والسعر كما يلي
1- حددي معاملات النموذج. مع رسم شكل الانتشار وخط الانحدار
2- قومي ببناء فترة الثقه لمعامل الميل وحددي فرضية العدم و نتائج اختبار t,F. مستخدمة 5% مستوى الثقة.
3- حددي معامل التحديد R2
:يتعلق اختبار الفرضيات بإيجاد ألا جابه على هذا السؤال ما اذا كانت القيمة المحسوبة من العينة متوافقة مع الفرضية أم لا؟ الكلمة متوافقة هنا تعني أن القيمة المحسوبة قريبه من القيمة المفترضة بحيث أننا لا نستطيع إن نرفض القيمة المفترضة. إي إذا كان هناك نظريه سابقه أو اعتقاد إن الميل الحقيقي لدالة الاستهلاك والدخل يساوي على سبيل المثال 1 هل القيمة المحسوبة أو المشاهدة والتي تساوي =0.509 و تحصل عليها من العينة متفقه مع القيمة التي افترضناها سابقا؟ إذا كان الجواب بنعم فاننا لا نرفض الفرضية.في القياسي نسمي القيمة المفترضة بـفرضية العدم لفرضية البديلة
فرضية العدم الفرضية البديلة
من المثال (1) نفترض إننا سوف نقوم باختبار الفرضية انه ليس هناك علاقة بين X , Y,
فرضية العدم الفرضية البديلة
الاختبار يقارن بين ما تقوله الفرضية وما تقوله العينة إذا كان الفرق كبير إي اكثر من القيمة الجد وليه التي نحصلنا عليها من جدول t فأننا نرفض الفرض. إذا كان الفرق قليل فان هذا يعني إن العينة تؤيد ما يقوله الفرض وبالتالي نقبل الفرض.
توزيع t
t الجدوليه =3.182
يعني إننا يجب إن نوجد القيمة الفرضية من اجل اتخاذ القرار آما بقبول أو برفض . إن قرار القبول أو الرفض يتعلق بفرضية العدم وليس بالفرضيه البديلة.
اختبار جودة النموذج وتحليل التباين.
SST
Total Sum of Squares مجموع المربعات الإجمالي للتغيرات التي تحدث في المتغير التابعY
SSR
Regression Sum of Squares يسمى بمجموع مربعات الانحدار يعني جزء من تباين Y الذي تم تفســـيره بواســـطة الانحدار. إي الجزء من المتغيرات التي تحدث في المتغير التابع والذي تم تفســيرها بواســطة النموذج المقدر
SSE
Error مجموع مربعات البواقي، u2, وهذا مؤشــر للجزء الذي لم يفســر
بواســطة نموذج الانحدار، إي الجزء الذي فشل النموذج في تفسيره
ويمثل نسبة مجموع مربعات الانحدار إلي مجموع المربعات الإجمالي ما يسمى بـ معامل التحديد
قيمة R2 تتراوح بين صفر وواحد. إذا كانت مرتفعه أي قربيه من الواحد تعتبرX جيده في تفسير التغيرات في Y. إذا كانت قربيه من الصفر فان المتغير لا يشرح إلا القليل من التغير في Y.
جدول تحليل التباين لمعادلة الانحدارANOVAِAnalysis Of Variance)): وهو إن تحليل مجموع المربعات الصغرى إلي مجموع مربعات البواقي ومجموع مربعات الانحدار. الغرض من هذا التحليل لاختبار معنوية مجموع مربعات الانحدار وهذا أيضا يدخل في اختبار معنوية المعامل . ونمثل هذا التحليل في جدول تحليل التباين:
جدول تحليل التباين ANOVA
التباين مجموع المربعات درجة الحرية متوسط المربعات
مجموع مربعات الانحدار
k-1=2-1 SSR/1
مجموع مربعات البواقي
n-k=n-2 SSE/(n-2)
مجموع مربعات الإجمالي
n-2=3
جدول تحليل التباين للمثال (1)
التباين مجموع المربعات درجة الحرية متوسط المربعات
مجموع مربعات الانحدار SSR=122.5 K-1=1 122.5/1
مجموع مربعات البواقي SSE=1.500 n-k=3 1.5/3
مجموع مربعات الإجمالي SST=124 n-1=4
اختبار F هو اختبار لجودة النموذج. يحاول أن يجيب على السؤال هل افلح النموذج في تفسير التغيرات التي تحدث في المتغير التابع. ويختبر الفرضية إن معاملات المتغيرات المفسرة تساوي الصفر. أي أن فرضية العدم تقول انه لا يوجد علاقة بين المتغيرات المفسرة والمتغير التابع. وتقارن قيمة المحسوبة من الجدول مع الجد وليه بدرجة حرية للبسط تساوي k-1 ودرجة حرية المقام n-k. قيمة الجد وليه عند مستوى معنوية 5% تساوي .10.13
توزيع F
8.2 التنبؤ باستخدام معادلة الانحدار:
معادلة الانحدار المقدرة تستخدم في عملية التنبؤ لقيم Y لقيم محدده من X . إذا كانت X0 تمثل القيمة المحددة من X تستخدم في التنبؤ بقيمة Y0 من قيم Y.
حيث u تمثل حد الخطأ.
حيث يمثل خطأ التنبؤ
حيث إن
إذا تكون
هذه تعني إن قيمة Y هي قيمه غير متحيزة ويكون تباين يساوي:
أي إن التباين يرتفع بارتفاع تباين X أي باختلاف قيم X عن قيم متوسطها.
باستخدام البيانات أعلاه نحصل على Y=10.0+0.90 X
إذا استخدمنا X0 =250 ستكون قيمة Y0 المتنبأ بها يساوي: =10.0+0.9(250)=235 Y0
حيث أن t=2.228 من جدول مع 10 درجات حريه، و فترة الثقة 95% تكون
235 2.228 (0.131) = 235 0.29
آي أن فترة الثقة تساوي (234.71 - 235.29)
التنبؤ للقيمة المتوقعة:-
أحيانا يرغب الباحث في التنبؤ بالقيمة المتوقعة لـY بدلا من Y0 آي قيمة E(Y0) آي القيمة المتوسطة لـ E(Y0 وليس Y0 . عند التنبؤ بالقيمة المتوقعة فان Y0= E(Y0) حيث أن فان القيمة المتنبأ بها تساوي آي يساوي Y0 ولكن الخطأ المعياري والتباين
سيكون مختلفا. سيكون اصغر قيمه
التباين يساوي:
والخطأ المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين وفترة الثقة تساوي
55 23 15
X=3.0 Y =1.0 + 1.2 X SSE=8.8
نفترض إن مدير المبيعات يرغب في التنبؤ بدخل المبيعات عندما تكون النفقات الاعلانيه تساوي 600 ريال. ويريد أيضا بناء 95% فترة ثقة لتنبؤه. X0 =6 إذا
y=1.0 + 1.2(6)=8.2
والتباين يساوي
الخطأ المعياري
عند مستوى المعنوية 5% ، ودرجة حرية df=2.353. و 90% فتره
تطبيق
دالة الاســتهلاك الخاص للملكة العربية الســعودية:
حيث ترمز X الى الاستهلاك الخاص و Y الى الدخل.
البيانات:
GDP
الدخل (اجمالي الناتج المحلي) باسعار الجاريه Private Consumption X
الاستهلاك الخاص Year
طريقة الإمكانية العظمى Maximum Likelihood Method (ML)
هي طريقة احصائيه تستعمل في مجال التقدير أول من قدمها الإحصائي المشهور Fisher . الإمكانية : مفهوم احتمال حدوث عمل ما. وهي طريقة للتقدير الإحصائي مثلها مثل طريقة المربعات الصغرى تستخدم في تقدير قيم المعالم المجهولة ويمكن أن تطبق على نماذج الانحدار وممكن تطبيقها على آي علاقة مجتمع تحتوي على معالم مجهولة، تتميز مقدرات الإمكانية العظمى بخواص جيدة ومطلوبة سنرى طبية هذه الخواص فيما بعد. طريقة الإمكانية العظمى تتطلب أجراء حسابات معقدة مثل الحسابات المعقدة كانت عامل مهم في الماضي، لكن الآن الحسابات تجري بواسطة الحاسبات الآلية وبالتالي هذا الاعتبار لا يشكل نقيصة فيما يختص باستخدام الإمكانية العظمى.
الإمكانية العظمى تشترك في بعض الحالات مع مقدرات المربعات الصغرى، آي نتحصل على مقدرات الإمكانية العظمى تتطابق مع مقدرات المربعات الصغرى العادية أن مقدرات ألا مكانيه العظمى في مثل نموذج الانحدار البسيط ما هي آلا مقدرات المربعات الصغرى ، لكن في نماذج أخرى اكثر تعقيدا نرى أن مقدرات الإمكانية العظمى تختلف عن مقدرات المربعات الصغرى العادية.
مقدرات الإمكانية العظمى: هي تلك القيم التي تعظم إمكانية ( الاحتمال) الحصول على العينة المشاهدة والمستخدمة في التقدير.
طريقة الإمكانية العظمى: نبدأ بنموذج الانحدار البسيط:
الخطوة الأولى : افتراض حول شكل التوزيع الاحتمالي الخاص بالعناصر العشوائية. افترضنا أن المتغير العشوائي يتوزع توزيع طبيعيا.
الخطوة الثانية: تحديد دالة الاحتمال أو دالة الكثافة الاحتمالية Probability Density Function الخاصة بالعناصر العشوائية.
الخطوة الثالثة: استخلاص دالة الاحتمال الخاصة بالمتغير التابع، حيث أن المتغير التابع يعتمد على المتغير العشوائي. ثم يعمم على العينة.
الخطوة الرابعة: تعظم تلك الدالة بالنسبة لقيم المعالم فنتحصل على مقدرات الإمكانية العظمى.
1- دالة الكثافة الاحتمالية لـلعنصر العشوائي u هي دالة توزيع طبيعي معروفه تكتب على النحو التالي:
حيث أن =-3.14 و e=2.718
الجزء الثاني من المعادلة هو مربع u1/2 مضروب في المتغير العشوائي مطروح من الوسط ومقسوم على الانحراف المعياري . وبالتعويض بالمتوسط الصفري يمكن كتابتها كما يلي:
2- تحدد دالة الاحتمال المشتركة join Density Function آي دالة العناصر العشوائية والتي تكون عادة بعدد n en …… e1, e2, وحيث أن العنصر العشوائية غير مرتبطة مع بعض يمكن كتابة دالة الاحتمال المشتركة كما يلي:
تعوض الدوال بقيمتها من معادلة دالة الكثافة الاحتمالية للعشوائي
3- استخلاص دالة الاحتمال الخاصة بالمتغير التابع Y، حيث أن المتغير التابع يعتمد على المتغير العشوائي. ثم يعمم على العينة.
حيث أن
نعوض بقيمة u من دالة الإمكانية العظمى:
تحولنا عن البواقيu إلى دالة يظهر فيها التابع Y وبحكم ظهور على الجانب الأيمن من المعادلة. تعتبر هذه المعادلة دالة الاحتمال المشتركة وتسمى بدالة الإمكانية العظمى ويرمز لها بالرمز
ومن دالة الاحتمال المشتركة يمكن الحصول مقدرات الإمكانية العظمى بهذه المعادلة. المطلوب هو أيجاد القيم للمقدرات التي تعظم احتمال العثور على القيم الخاصة بـ Y. آي أن المعيار في دالة الإمكانية العظمى يتطلب تعظيم دالة ألا مكانيه العظمى. لتعظيم أي دالة من الدوال يجب أجراء التفاضل حسب متطلبات شرط الدرجة الأولى ومساواته بالصفر. وحيث أن المعادلة معقده لذل تستخدم الخاصية الرياضية التي تقول أن القيمة العظمى لدالة من الدوال أو قيمة المعلمة التي تحقق القيمة العظمى لدالة من الدوال هي نفس القيمة التي تحقق القيمة العظمى للدالة الرئيسية . للتبسيط نأخذ لوغاريتم الدالة
نلاحظ وجه التبسيط انه بينما كانت معالم تظهر في الأس لـ u الآن تظهر كدالة خطية وذلك يسهل عملية أجراء التفاضل.
الغرض من كتابة المعادلة على الصورة المختلفة هو عزل التباين 2 عن الثابت (2). ومن ذلك يمكن التوصل إلى مقدرة معلمة التباين لهذا تعتبر طريقة الإمكانية افضل من طريقة المربعات الصغرى لأنها تعطينا بالأضافه إلى مقدرة تعطينا مقدرة 2 .
إذا للحصول على مقدرات ألا مكانيه العظمى يتم أجراء التفاضل الذي يعظم دالة الإمكانية اختيار المقدرات التي تعظم الدالة.
للحصول على المجاهيل نحل المعادلات الثلاث ومســاواتها بالصفر. يمكن الحصول على المعادلات التالية:
9.2
هذه المعادلتين هي نفس المعادلتين التي تم الحصول عليها في طريقة المربعات الصغرى العادية أي إن الإمكانية العظمى تقود إلي نفس المعادلات الطبيعية التي تم الحصول عليها في طريقة م ص ع ولكن استخدمنا رموز جديده لمقدرات الإمكانية العظمي أي المقدرات التي تعظم دالة الإمكانية:
وبحل المعادلتين أما بطريقة المصفوفات أو بالمعادلات الآنية أو بطريقة Cramer وباتباع أي من هذه الطرق نتحصل على صيغة خاصة ب مقدرات الإمكانية العظمى:
وهي نفس صيغة مقدرة المربعات الصغرى العادية. في حالة النموذج الخطي البســيط. أما في النماذج المتعددة فلا تنطبق المقدرات.
ومن ميزات مقدرات الإمكانية العظمى الحصول مقدرة التباين σ2 ويتم العثور من المعادلة رقم 3 .
وبحل المعادلة نتحصل
وهذه هي مقدرة الإمكانية العظمى للتباين ويمكن إن تكتب على النحو التالي:
تتميز هذه المقدرة بأنها متحيزة ولا تتميز بالكفاءة…. ولا تستخدم في العينات الصغيرة ولكن إذا كانت العينة كبيرة يمكن استخدام مقدرة الإمكانية العظمى للتباين.
10.2 خصائص مقدرات الإمكانية العظمى:
ويشار أليها بالخصائص التقاربية وهي الخصائص التي تتحقق إذا كان حجم العينة كبير ، ولكن في الاقتصاد من الصعب الحصول على عينات كبيرة الحجم وعادة تكون سلاسل زمنية من 20 إلي 25 وبالتالي العينات المستخدمة في الاقتصاد كلها صغيرة الحجم ولا تنطبق عليها الخصائص التقاربية.
الخصائص التقاربيه Asmpotitic result لمقدرات الإمكانية العظمى كما يلي:
1- عدم التحيز التقاربي: إذا زاد حجم العينة أي كلما اقتربت n→∞ كلما تلاشى التحيز الموجود بالعينة الصغيرة. فعلى سبيل المثال مقدرة التباين متحيزة في العينات الصغيرة ولكن في العينات الكبيرة يختفي ذلك التحيز. أي إن وسط توزيعها عيناتها الاحتمالي لا يساوي القيمة الحقيقية أما إذا ارتفع حجم العينة فن التوزيع الخاص بمقدرات العينات المختلفة يقترب من التوزيع الطبيعي وتكون القيمة المتوقعة في الوسط. أي غير متحيزة.
2- الكفاءة التقاربية (أدنى تباين وأعلى دقة) :
ينخفض التباين وينخفض التحيز إذا وجد بزيادة حجم العينة وتزداد دقة المقدرات.
3- الاتســـــاق Consistency.
إذا زاد حجم العينة إلي لانهاية فان التوزيع الاحتمالي للمعلمة المقدرة ينهار على القيمة الحقيقية للمعلمة سواء كانت مقدرة الميل أو القاطع أو التباين.
الملخص:
الفروض الاساسيه توضح إن نموذج الانحدار خطي بخطأ معياري ذا وسط صفري وغير مرتبطة مع المتغيرات المفسرة ويتميز بتباين ثابت ، يتوزع توزيعا طبيعيا.
تتميز مقدرات م ص ع بعدم التحيز وأدنى تباين. وخطية .
تمارين
1-عرف المصطلحات التالية:
1- الخطأ المعياري.
2- التباين.
2-عدد الافتراضات اللازمة لتطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية.
3- للمشاهدات التالية
Y={5,2,3,2,-2} و X={3,2,1,,-1,0}
أ- أوجدي القيم التاليه
ب-ارسم شكل الانتشار الخاص بالمتغيرين X,Y
ج-أوجد الخط الذي يمثل العلاقةY=a+bX مع الرسم.
د-مالمقصود بـ a,b
هـ- حدد متوسط Y ومتوسط X على الرسم.
4- حدد دالة الانتاج التي تعبر عن العلاقة بين كمية الانتاج وعنصر الانتاج العمل حسب البيانات المعطاة
اذا افترضنا ان البيانات يمكن وصفها بعلاقة خطية تحت الفروض الخمسة. حددي تلك العلاقة . واشرحي العلاقة الاقتصادية التي تربط المتغيرات حسب المعادلة. مع رسم شكل الانتشار والخط المربعات الصغرى العدية.
تمرين :
جدول : حددي نتائج الانحدار للعلاقة بين الكمية المطلوبة لسلعه والسعر كما يلي
1- حددي معاملات النموذج. مع رسم شكل الانتشار وخط الانحدار
2- قومي ببناء فترة الثقه لمعامل الميل وحددي فرضية العدم و نتائج اختبار t,F. مستخدمة 5% مستوى الثقة.
3- حددي معامل التحديد R2