الاحتمـالات وتطبيقاتها

الاحتمـالات وتطبيقاتها

Probabilities and its Applications 

     معني واستعمالات الاحتمالات

    طرق حساب الاحتمالات

    بعض قوانين الاحتمالات Probability Laws

معني واستعمالات الاحتمالات

    يقصد بالاحتمالات فرصة حدوث أو وقوع حادثة معينة

    استعمالات الاحتمالات ؟؟؟؟؟؟؟؟

بعض المفاهيم الخاصة بالاحتمال 

    التجربة العشوائية Randomized Experiment :

        هي أي عملية تتم يمكن تحديد كل النتائج الممكنة لها ولكن لا يمكن مسبقا تحديد النتيجة التي ستظهر أو تحدث . مثال:

    رمي قطعة معدنية (H,T )

    رمي  زهرة نرد (1,2,3,4,5,6)

    أمثلة أخري؟؟؟؟؟؟؟؟؟

    فراغ العينة ( S ) Sample Space

فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة للتجربة وعددها (s)n

أمثلة:

    عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرة واحدة؛ فراغ العينة هو: S:{H , T }  ؛ و n(s)=2

    عند رمي زهرة نرد غير متحيزة مرة واحدة كل النتائج الممكنة (فراغ العينة) هو (1,2,3,4,5,6)؛ n(s)=6

    عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين (أو قطعتين مرة واحدة ):

فراغ العينة هو: .S:{HH ,HT,TH,TT} n(s)=4

عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة عدد من المرات حتى نحصل على الصورة مرة واحدة، نجد أن التجربة هي عدد من المحاولات يتم إيقافها عندما نحصل على الصورة مرة واحدة ، إذا فراغ العينة هو :

S:{H, TH, TTH,  TTTH,

.}    ، n(s)=∞ 

ما هو فراغ العينة عند سحب ورقة لعب من حزمة عشوائيا؟

    الحادث (A, B,C,…)  Event

الحادث هو فئة جزئية من النتائج المكونة لفراغ العينة. نوعين:

    حادث بسيط Simple Event: وهو الذي يحتوي على نتيجة واحدة من النتائج المكونة لفراغ العينة.

    حادث مركب Composite Event: ويشمل نتيجتين أو أكثر من النتائج المكونة لفراغ العينة،

يرمز لعدد النتائج المكونة للحادث بالرمز n(A),  n(B),

  وهكذا

أمثلة:

    عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين فراغ العينة في هذه الحالة هو:S:{HH, HT, TH,TT} ,

    الحادث A )ظهور الصورة مرتين(يشمل نتيجة واحدة هي  .A:{HH} إذا: A حادث بسيط.

    والحادث B (ظهور الصورة مرة واحدة على الأقل ) يشمل ثلاث نتائج هي  B:{HT, TH, HH} . إذا     Bحادث مركب يمكن تقسيمه إلى أحداث بسيطة

    الاتحاد (    ) Union :

    يعبر اتحاد الحادثان B , A عن وقوع أحدها على الأقل، وبمعنى آخر وقوع الأول أو الثاني أو كلاهما، ويعبر عن ذلك رياضيا               --وتقرأ (A union B) أو

(A or B ). ويمكن الاستعانة بشكل "فن" Ven. Diagram  كما يلي:

    مثال الاتحاد:

عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ، وعرف الحادث A   بأنه ظهور وجه يقبل القسمة على 3  ، والحادث B   بأنه ظهور عدد فردي، يلاحظ أن:

B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6}  ، ويكون اتحاد الحادثان B , A هو:                          ، ويعبر عن ذلك في شكلVen كما يلي:

    التقاطع (      ) Intersection

يعبر تقاطع الحادثان B , A  عن وقوع الاثنان  في آن واحد ، ويشمل كل النتائج المشتركة بين الحادثين، ويعبر عن ذلك رياضيا                  أو (A and B)  ، ويظهر ذلك في شكل "فن" كما يلي :

 من المثال السابق: B:{1,3,5}, A:{3,6},

    الأحداث المتنافية Mutually Exclusive events

الحادثان B, A متنافيان، إذا كان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر، بمعنى استحالة وقوعهما في آن واحد. ومن ثم يكون نتيجة تقاطع الحادثان المتنافيان هي الفئة الخالية ويرمز لها بالرمز       أي أن               ، ويمكن تمثيلها بشكل " فن " كما يلي:

    الحادث المكملCompliment Event :

الحادث المكمل للحادث A  هو الحادث الذي يشمل كل نتائج التجربة باستثناء النتائج المكونة للحادث A، ويرمز للحادث المكمل بالرمز          ، ومن ثم نستنتج أن :              

كما هو مبين بالشكل التالي:

ألقيت قطعة عملة غير متحيزة ثلاث مرات، وعرفت الأحداث التالية:

        الحادث A ظهور الصورة مرتين.

        الحادث B ظهور الصورة مرة واحدة.

        الحادث C ظهور الصورة في الرمية الأولى.

والمطلوب:

    إيجاد الأحداث الخاصة بالاتحاد:

    إيجاد الأحداث الخاصة بالتقاطعات:

    أوجد الحادث

حل المثال

    فراغ العينة لهذه التجربة هو:

    الأحداث هي:

    

A:{HHT,HTH,THH}, B:{HTT,THT,TTH}, C:{HHH,HHT,HTH,HTT}

    الأحداث الخاصة بالاتحاد:

    الأحداث الخاصة بالتقاطع:

طرق حساب الاحتمالات 

    توجد عدة مفاهيم لتفسير وحساب الاحتمالات منها:

    الاحتمال التجريبيEmpirical probability

ويعبر عنه بالتكرار النسبي، ويحسب بتطبيق المعادلة:

n هو مجموع التكرارات( العدد الكلي للمشاهدات)، f(A): هو تكرار الحادث A،

 مثلا بعد إلقاء قطعة عملة غير متحيزة 500 مرة، وتسجيل عدد مرات ظهور كل وجه كالتالي:

يمكن حساب احتمال ظهور الصورةH ، من المعادلة رقم (7-1)، والتي تعتمد على التكرار النسبي، أي أن :

    الاحتمال النظري  Theoretical Probability

    يتم تحديد عدد النتائج الممكنة للتجربة، وعدد النتائج الممكنة لوقوع الحادث، ومن ثم نستخدم قواعد الرياضيات لحساب هذا النوع من  الاحتمال ، بتطبيق المعادلة التالية:

    

        حيث أن: n(S) هو عدد النتائج الممكنة للتجربة، n(A) هو عدد النتائج الممكنة لوقوع الحادث A، مثلا:

        أذا ألقيت قطعة عملة مرة واحدة: فراغ العينة هو: S:{H, T} ؛عدد النتائج الممكنة : n(S)=(2)، بالنسبة للحادثA (ظهور صورة) ، نجد أن A:{H}  ، أي أن عدد النتائج المكونة للحادثA هي: n(A)=1، ويكون احتمال وقوع الحادث A هو:

    

    

    العلاقة بين الاحتمال التجريبي و الاحتمال  النظري 

        عند زيادة عدد محاولات إجراء التجربة n إلي ما لانهاية يقترب الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري، أي أن:

    

    ** يوجد مفهوم ”حديث“ للاحتمالات يعرف بالذاتي أو الشخصى

    

    بعض قوانين الاحتمالات 

    Probability Laws 

    هذه القوانين لحساب الاحتمالات المختلفة:

        قانون جمع الاحتمالات Addition Law :

    إذا كان لدينا الحادثان B , A ، فإن الاحتمال          ، يمكن استنتاج معادلته كما يلي

    

        إذاٌ:

        وعندما تكون الأحداث متنافية، فإن احتمالات التقاطعات تساوي أصفار، ويكون القانون أعلاه كما يلي: 

    

    مثال

        عند إلقاء زهرة نرد غير متحيزة مرتين، فأوجد ما يلي:

        احتمال ظهور وجهين متشابهين.

        احتمال ظهور وجهين مجموع  نقاطهما 10.

        احتمال ظهور وجهين متشابهين أو مجموع نقاطهما 10.

        احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 7 أو 10.

    

    تابع

        نحدد فراغ العينة كما يلي:

        الحادث A (ظهور وجهين متشابهين):

        

        

    A:{(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6.6)}, n(A)=6

    احتمال ظهور وجهين متشابهين هو:

    

        الحادث B (ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10) :

    B:{(4,6) (5,5) (6,4)}, n(B)=3

    احتمال ظهور وجهين متشابهين هو:

        لحساب احتمال ظهور وجهين متشابهين أو (or) مجموع  نقاطهما 10 ، تستخدم المعادلة (7-3)، حيث أن:

    

    التقاطع                يعبر عن ظهور وجهين متشابهين و مجموعهما 10 يمكن حسابه كما يلي: 

        بالتالي:

        الحادث C هو حادث ظهور وجهين مجموع  نقاطهما 7، والحادثB هو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10 ، نجد أن: 

    B:{(4,6) (5,5) (6,4)}  , C:{(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

    n(B)=3       n(C)=6    

    

        لاحظ أن الحادثين ( C ) و (B ) متنافيان (لماذا؟) وبالتالي:

    

    قانون الاحتمال الشرطي 

    Conditional probability 

        احتمال فرصة وقوع حادث، إذا توافرت معلومات عن وقوع حادث آخر له علاقة بالحادث الأول.

        مثلا؛ احتمال:

        نجاح الطالب في مادة الإحصاء إذا علم أنه من الناجحين في مادة الاقتصاد

        استخدام المزارع لنوع معين من السماد، إذا علم أنه يقوم بزراعة محصول معين

        أن الخريج يعمل بالقطاع الخاص، إذا علم أنه ممن تخرجوا من قسم معين من أقسام كلية الزراعة

    

    

        إذا كان الحادث ( B )  حادث معلوم، والحادث (A) حادث آخر يراد حساب احتمال وقوعه، بمعلومية الحادث ( B ) ، فإن هذا الاحتمال يحسب بتطبيق المعادلة التالية:

        ويعرف الاحتمال P(A/B)   بقانون الاحتمال الشرطي، ويقرأ "احتمال وقوع الحادث   (A) بمعلومية الحادث (B) ،  أو يقرأ "احتمال وقوع الحادث بشرط وقوع الحادث (B)، 

        

        كما يمكن حساب احتمال وقوع الحادث (B)بمعلومية الحادث (A)، وذلك بتطبيق المعادلة التالية:

        ويمكن الاستعانة بالشكل التالي لتيسير الفهم:

       

    مثــال

        فيما يلي توزيع تكراري لعينة عشوائية حجمها 100 من خريجي الكلية في العامين الماضيين، حسب التخصص، ونوع المهنة:

        فإذا اختير أحد الخريجين بطريقة عشوائية، احسب الاحتمالات التالية:

        

            ما احتمال أن يكون من خريجي قسم الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص.

            ما احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم الأغذية.

            ما احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم الأغذية أو من قسم علوم التربة.

            إذا علم أن الفرد من خريجي قسم عوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا.

    

        نرمز لنوع المهنة بالرموزA ، ولنوع التخصص بالرمز B ، كما هو مبين بالجدول التالي:

        التكرار في كل خلية يعبر عن عدد الخريجين الذين ينتمون لقسم معين و   يعملون في مهنة معينة، أي يعبر عن عدد تكرارات حوادث التقاطع الممكنة

        

        احتمال أن يكون من خريجي الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص

        احتمال أن العمل بالحكومة أو من خريجي علوم الأغذية: 

        احتمال أن يكون من خريجي علوم الأغذية أو من علوم التربة. 

        

    

    

    تابع

        إذا علم أن الفرد من خريجي علوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا؟ هذا احتمال شرطي، المطلوب هنا " حساب احتمال أن الفرد ممن يعملون عملا حرا  بشرط أنه من خريجي قسم علوم أغذية ، أي أن الاحتمال المطلوب هو:

    

    تمارين

        الجدول التالي يبين عدد الوحدات السليمة، والتالفة من الخبز العربي بعد ثلاث أيام من تاريخ الإنتاج في أحد مراكز التموين التي تتعامل مع ثلاث مخابز هي : (C , B , A) .

    

    إذا اختيرت وحدة من الخبز بطريقة عشوائية، فأوجد الآتي:

        ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبزB ؟

        ما احتمال أن تكون تالفة ؟

        إذا كانت الوحدة سليمة ، ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبز C ؟

        ما احتمال أن تكون الوحدة من إنتاج المخبز A أو تكون تالفة ؟

        إذا كانت الوحدة من إنتاج المخبز A، ما احتمال أن تكون تالفة ؟

    

         قانون ضرب الاحتمالات 

    Probability Multiplication Law 

        ويعكس هذا القانون احتمال وقوع الأحداث معا، أي احتمال التقاطعات، فإذا كان B , A ، حادثان يمكن وقوعهما معا، فإن الاحتمال         يمكن حسابه كحاصل ضرب احتمالين، هما

    

        إذا كانت نسبة مزارع الخضروات التي تستخدم أسلوب معين للتسميد  60%، وإذا كان نسبة المبيعات من إنتاج الخضروات المسمد 70%، بينما نسبة المبيعات من الخضروات غير المسمدة 80%، إذا اختيرت أحد المزارع التي تنتج الخضروات عشوائيا ، فأوجد الآتي:

        ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد؟

        إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، ما احتمال أن تبيع إنتاجها؟

        ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها؟

        ما احتمال أن هذه المزرعة ممن لا يستخدمون أسلوب التسميد و تبيع إنتاجها؟

    

        إذا فحصنا حال المزرعة المسحوبة، نجد أننا نتعامل مع نتيجتين متعاقبتين هما:

        النتيجة الأولي ولها حالتان: }المزرعة تستخدم طريقة التسميد (A1) أو المزرعة لا تستخدم (A2) {

        النتيجة الثانية ولها حالتان: } المزرعة تبيع الإنتاج (B1)،  أو المزرعة لا تبيع الإنتاج (B2) {

    لذا يمكن استنتاج شجرة الاحتمالات للحصول على النتائج الكلية كالتالي:

    

        شجرة الاحتمالات:

        احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد: P(A1)=0.6

         

        إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، فإن احتمال أن تبيع إنتاجها هو P(B1 /A1)=0.7 :

        احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها عبارة عن احتمال وقوع حادثتان معا (B1 and A1 )، لذا يحسب هذا الاحتمال بتطبيق المعادلة (7-8) كما يلي:

    

        احتمال أن المزرعة لا تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها هو

    

    الأحداث المستقلة

    Independent Events 

        إذا كانت الحادثتان B , A يمكن وقوعهما معا، ولكن وقوع أحدهما ليس له علاقة بوقوع أو عدم وقوع الحادث الآخر، فإن الاحتمال  يمكن التعبير عنه كالتالي:

    

    وفي هذه الحالة يقال أن الحاثتان B , A  مستقلتان 

   

    مثـــال(7-5)

         إذا كان نسبة المزارع التي تنتج خضروات 60% ، ونسبة المزارع التي تنتج فاكهه  75%، ونسبة المزارع التي تنتج الخضروات و الفاكهة  50%،  أوجد الآتي:

    ما احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات؟

    ما احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة ؟

    هل انتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات؟

    بفرض أن A   حادث يعبر عن "المزرعة تنتج خضروات "، B   هو حادث يعبر عن " المزرعة تنتج فاكهة"، فإن:

    احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات هو:

    احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة هو: 

    

    لمعرفة ما إذا كان إنتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات يمكن تطبيق المعادلة (7-9):

وحيث أن : 

فإن إنتاج المزرعة للفاكهة (A)، غير مستقل عن إنتاجها للخضروات (B).

مثـــال(7-6)

    إذا كان الحادثانB , A   حادثان مستقلان ، وكان  ، 

        فأوجد الاحتمال.

        بما أن الحادثان B,  A   مستقلان، إذا:

        ويكون احتمال       هو: 

        

    مسألة تمرين

        زهرة نرد غير محايدة بحيث أن الحصول علي أي رقم فردي له ضعف احتمال الحصول علي رقم زوجي. عند رمي هذه الزهرة مرة, أحسب احتمال الحصول علي رقم أكبر من ثلاثة (3).