المعادلة التفاضلية النمو الاحيائي

المعادلة التفاضلية النمو الاحيائي  
المسالة الاساسية  في علم الاحياء هي التي تتضمن النمو , فيما اذا كان هذا النمو هو نمو الخلية , او العضو , او النبات , او السكان فا المعادلة التفاضلية الاساسية هي :
(2,3)

وحلها هو
(3,3)

حيث c هو ثابت اختياري . نلاحظ ان هذا النوع من النمو يحدث اذا كانت  بينما يحدث الاضمحلال والانكماش (shrinkage)  اذا كانت   الخلل الواضح في المعادلة (2,3) والحل المناظر (3,3)  هو انه اذا كانت لدينا   فيكون لدينا      عندما    وعليه بمرور الزمن يصبح النمو غير محدود . ان هذا يتناقض مع الواقع لاننا نعلم بعد مرور زمن معين يتوقف نمو الخلية او الفرد , بينما حسب المعادلة يصبح الحجم كبيرا جدا . السؤال الطبيعي الذي يطرح نفسه هو فيما اذا كان في الامكان تحوير المعادلة (2,3) لنجعلها تناضر تلك الحقائق الاحيائية . لنلاحظ
الصياغة الرياضية :
لتوضيح هذه الافكار نفرض ان y  تمثل ارتفاع انسان ( او تمثل اشياء اخرى مثل حجم الخلية ) , من الطبيعي ان نفرض ان معدل تغير الارتفاع يعتمد على الارتفاع بطريقة اكثر صعوبة من طريقة التناسب البسيطة كالتي في (2,3)  وهكذا يجب ان يكون لدينا :
(4,3)..........

حيث تمثل   الارتفاع عند زمن معين t=0  , و F  دالة مناسبة ولكن غير معلومة الان , بما ان الدالة الخطية   غير مناسبة فيجب ان نجد تقريبا من مرتبة اخرى مقدما بالدالة التربيعية   حيث نختار  لكي نمنع النمو لـ y  كما هو مطلوب بالواقع . المعادلة التفاضلية (4,3) تصبح عندئذ :
(5,3)
يجب التاكد من ان هذه المعادلة لا تقدم الا نموذجا رياضيا نامل انه يصف الحقائق الاحيائية للنمو واذا كان النموذج لا يعطي نتائج تتفق مع الواقع فيجب ان يعاد النظر فيه .



أي ان
(6,3)


باستخدام الشرط
(7,3)



نحل لاجل y  فان :
(8,3)



اذا اخذنا الغاية ل (8,3) عندما   نلاحظ عندما  فان اعظم قيمة لـ  y  تكون 
(9,3)....................
وهذه تبين انه توجد غاية لنمو   y  كما هو مطلوب من الحقائق الاحيائية وتشير الى صحة نموذجنا الرياضي .
كما هو مبين في (9,3) ان القيمة العظمى هذه تمثل بـ    , لاستخدام النتيجة (8,3) نفرض ان قيم  y  المناضرة الى الزمن  t=1  وt=2  ( باستخدام وحدات معينة من الزمن t تكون معطاة بـ     عندئذ من(8,3) نلاحظ ان :
(10,3)


أو


لتحديد   و   بدلالة   يمكننا ان نستمر كما يلي :
نقسم المعادلة الثانية على المعادلة الاولى في (10,3) لكل نحذف   فنحصل على
(11,3)



بالاختصار نحصل على

(12,3)



اذا عوضنا هذا في المعادلة الاولى لــ (10,3)  نجد ان  :
(13,3)



يمكن استخدام (12,3) و (13,3)  لكتابة المعادلة (9,3) بدلالة قيم مختارة  لـ   من المفيد ان نلاحظ ان القيمة الحدية (limiting theory) لـ y  تكون  :
(14,3)



لنوضح ذلك ببعض الامثلة عن كيفية استخدام تلك النتائج .
مثال3-3 : الارتفاعات الوسطية بالانجاب لاطفال ذكور في اعمار مختلفة مبينة في الجدول -2-  استخدام البيانات (Data) المعطاة  للتنبؤ عن الارتفاع الوسطي للذكور البالغين عن النمو المتكامل
العمر
الارتفاع (in)
عند الولادة
19.4
1 سنة
31.3
2 سنة
34.5
3 سنة
37.2
4 سنة
40.3
5 سنة
43.9
6 سنة
48.1
7 سنة
52.5
8 سنة
56.8
جدول (2,3)الارتفاع الوسطي لاطفال ذكور باعمار مختلفة

الحل :

لتغطية المجموعة كاملة للبيانات المعطاة في الجدول اعلاه , نفرض ان  t= 0 , 1 ,2   تناظر الاعمار عند الولادة 4 سنوات , 8 سنوات على التعاقب عندئذ يكون لدينا

بتعويض  تلك القيم في معادلة (14,3)  تعطي قيمة 66.9  in      او  5  اقدام و 7  انجاب وهو الارتفاع السطي النهائي المطلوب .


مثال 3-4 : من مكتب احصاء السكان (Census)  , ان سكان الولايات المتحدة الامريكية للسنوات (1900-1960)  معطى بالجدول  -3- استخدم المعلومات المعطاة لتحديد :
1-   الحد النظري الاعلى لسكان الولايات المتحدة الامريكية .
2-   عدد السكان المتوقع في سنة 1990 .
3-   عدد السكان في سنة 1870 .

السنة
عدد السكان (بالملايين )
1900
76.0
1910
92.0
1920
105.7
1930
122.8
1940
131.7
1950
151.1
1960
179.3

الحل  :

لتغطية المجموعة الكاملة للمعلومات المعطاة في الجدول , نفرض ان   t = 0 ,1 , 2   تناظر السنوات 1960 , 1900 , 1930  على التعاقب عندئذ يكون لدينا

1-   بتعويض تلك القيم في (14,3)  نحصل على :

أي ان اكبر عدد لسكان الولايات المتحدة الامريكية سيكون حوالي 346  مليونا  .


2-   بتعويض القيم (13) في معادلة (12,3) نجد ان :


باستخدام هذا والنتيجة    من الفرع 1 نجد ان (9,3)  ان :
(15,3)


بما انالسنة 1990  تناظر t=3  نحصل بتعويض هذه القيمة لـ  t  في معادلة (15,3) على النتيجة      y = 234.5        .
اذن  عدد السكان المتوفع في سنة  1990  هو حوالي 235  مليونا .

3-  السنة 1870 تناظر  الى  t = -1    بوضع هذه القيمة لـ t  في (15,3)  نجد ان    y = 43.6    ومن الجدير بالملاحظة ان عدد سكان الولايات المتحدة  الامريكية الحقيقي بموجب مكتب احصاء السكان كان 39.8  مليونا .

ان الامثلة المذكورة انفا تبين ان النمووذج الرياضي (4) المعبر عنه بالمعادلة (9,3) هو القانون الممكن للنمو الاحيائي ( او حتى النمو في مجالات اخرى مثل الاقتصاد ) كما بينا الان ان أي قانون يوضع للوصف الرياضي للطبيعة يجب ان يتفق مع الدليل التجريبي  والا يجب تغييره . من المفيد ان يكون عندنا معيار (Criterria)  نتوقع بموجب اتفاق المعادلة (9,3) مع الواقع . من ذلك ملاحظة الرسم البياني  لـ (9,3) كما مبين في الشكل (3,3) ان هذا الرسم يكشف انه

عندما تتزايد t  من الصفر فان y  تتزايد من   وتقترب تدريجيا الى   , المنحني له ميل متزايد  t = 0  الى الزمن المناظر للنقطة P  وبعدها يكون له ميل متناقص , اذن نقطة P هي نقطة انقلاب (Point of inflection)  ويتم حصول عليها بموجب الطرائق الاعتيادية لحساب التفاضل والتكامل بوضع المشتقة الثانية   . ان هذا المنحني الذي بشكل s   يسمى غالبا منحني النمو النسبي (Logistic Curve) ويستعمل بصورة واسعة في علوم الحياة .