العمل باستخدام الجذور و مضاعفات (الأس / أدلة) الأعداد الصحيحة.


العمل باستخدام الجذور و مضاعفات (الأس / أدلة) الأعداد الصحيحة.
1.     أحفظ وطبق خصائص أدلة العدد الصحيح لإنتاج تعبيرات عددية مكافئة. على سبيل المثال,32 × 3–5 = 3–3 = 1/33 = 1/27.
2.     استخدم رمز الجذر التربيعي لتمثيل الحلول للمعادلات في صيغة خ2 = ع و خ3 = ع حيث تكون ع هي عدد كسري إيجابي. حدد الجذور التربيعية للأرقام التامة المربعة الصغيرة والجذر التكعيبي للأرقام التامة المكعبة الصغيرة. احفظ أن جذر 2 هو عدد رقم كسري.
3.     استخدم الأرقام المعبر عنها في صيغة رقم مفرد مضروبة في رقم كامل مرفوع لقوة 10لتقدير الكميات الكبيرة جدا أو الكميات الصغيرة جدا ولكي تعبر عن عدد مرات التماثل. علي سبيل المثال،قم بتقدير تعداد سكان الولايات المتحدة ك 3 مرات 10 8  وتعداد سكان العالم في صيغة 7 مضروب في10 9 و حدد أن تعداد سكان العالم أكبر بمقدار 20 مرة.
4.     قم بإجراء العمليات بالأرقام معبر عنها بالصيغة العلمية متضمنة المسائل التي يتم فيها استخدام التأشير العشري والعلمي. استخدم التأشير العلمي واختار الوحدات ذات الحجم الملائم لقياسات الكميات الكبيرة والصغيرة جدا (علي سبيل المثال استخدم المليميتر للعام لتمدد قاع البحر). فسر التأشير العلمي الذي تم إنتاجه باستخدام التكنولوجيا.


فهم الصلات بين العلاقات النسبية والخطوط البيانية والمعادلات الخطية.
5.     أرسم العلاقات النسبية بيانيا مفسرا معدل الوحدات في صورة المنحني البياني. قم بمقارنة علاقتين نسبيتين مختلفتين ممثلتان بطرق مختلفة. علي سبيل المثال، قارن بين رسم بياني يجمع بين المسافة والزمن بمعادلة تجمع بين المسافة والزمن لتحديد أي من الشيئين المتحركين له سرعة أكبر.
6.     استخدم مثلثات متشابهة لشرح وتوضيح لماذا يكون المنحني m واحد بين أي نقطتين متمايزتان علي خط غير عمودي في المستوى الإحداثي. قم باشتقاق المعادلة ذ = م خ لخط عبر المستوي والمعادلة ذ=م خ+ب لخط متقاطع مع المحور العمودي في ب.

تحليل وحل المعادلات الخطية و أزواج المعادلات الخطية المتعاقبة.
7.     حل المعادلات الخطية ذات المتغير الواحد.
‌أ.      أعطي أمثلة على المعادلات الخطية ذات المتغير الواحد والحلول المتعددة اللانهائية أو التي ليس لها حل. وضح أي من تلك الاحتمالات هو حالة عن طريق تحويل المعادلة المعطاة تعاقبيا إلى صيغ أبسط حتى تنتج معادلة مكافئة في صيغةخ = أ، أو أ = أ أو أ = ب (حيث تكون أ وب رقمين مختلفين).
‌ب.    قم بحل المعادلات الخطية بأرقام كسرية مكافئة وتتضمن المعادلات التي يتطلب حلها تعبيرات توسعة باستخدام الخاصية التوزيعية وجمع الشروط المتماثلة.
8.     تحليل وحل أزواج المعادلات الخطية المتعاقبة.
‌أ.      عليك فهم أن حلول نظام معادلتين خطيتين ذات متغيرين يتفق مع نقاط التقاطع في الإحداثيات حيث أن نقاط التقاطع تفي بكل من المعادلتين تعاقبيا.
‌ب.    قم بحل نظم المعادلتين الخطيتين ذات المتغيرين جبريا وقدر الحلول عن طريق رسم المعادلتين بيانيا. حل الحالات البسيطة بالفحص. علي سبيل المثال، 3 خ + 2ذ = 5 3 و خ + 2 ذ = 6 ليس لهما حل لأن 3خ + 2ذ لا يمكن أن يكونا 5و6 تعاقبيا.
‌ج.     قم بحل المسائل الفعلية والرياضية المؤدية إلى المعادلتين الخطيتين ذوات المتغيرين. علي سبيل المثال، إذا ما كان لديك محاور زوجين من النقاط، قم بتحديد إذا ما كان الخط عبر الزوج الأول من النقاط يتقاطع مع الخط عبر الزوج الثاني.



الدوال اللوغاريتمية   8.F

حدد و قيم و قارن الدوال اللوغاريتمية.
1.     يجب عليك فهم أن الدالة قاعدة تعطي لكل مدخل مخرج واحد بالضبط. ويعد الرسم البياني لدالة هو مجموعة مرتبة من الأزواج لمدخل و المخرجات الناجمة عنه.1
2.     قم بمقارنة خصائص دالتين تم تمثيل كل منها بطريقة مختلفة(جبريا و بيانيا و عدديا في جداول أو بالوصف اللفظي). علي سبيل المثال، إذا ما كان لديك دالة خطية ممثلة بواسطة جدول قيم ودالة خطية ممثلة بتعبير جبري(معادلة جبرية) حد أي دالة لها معدل تغير أكبر.
3.     قم بترجمة المعادلة ذ=م خ+ب وتحديد الدالة الخطية والتي تكون إحداثياتها خط مستقيم، أعطي أمثلة على الدوال غير الخطية. علي سبيل المثال، إذا كانت الدالة أ=ق2 وإذا كان لديك مساحة مربع كدالة لطول الجانب وهي غير خطية حيث أن إحداثياتها تتضمن النقاط (1,1) و(2,4)و(3,9) وهما ليسا على خط مستقيم.

استخدم الدوال اللوغاريتمية لنمذجة العلاقات بين الكميات.
4.     قم بتصميم الدالة لنمذجة العلاقة الخطية بين الكميات. حدد معدل التغير والقيمة المبدئية للدالة من وصف علاقة أو من قيمتي (خ و ذ)متضمنا قراءتهما من جدول أو رسم بياني. فسر معدل التغير والقيمة المبدئية للدالة الخطية في ضوء شروط الموقف الذي يمثله النموذج ومن حيث إحداثياته أو قيم جدوله.
5.     قم بالوصف الكمي للعلاقة الدالية بين الكميتين عن طريق تحليل الرسم البياني (مثل عندما تتزايد الدالة أو تتناقص سواء كانت خطية أو غير خطية). قم برسم الرسم البياني الذي يوضح الخصائص الكمية للدالة التي تم وصفها لفظيا.


1تأشبر الدالة غير مطلوب في الصف8.


علم الهندسة   8     

فهم التطابق والتشابه باستخدام النماذج الفيزيائية و الشرائح الشفافة أو برمجيات الهندسة.
1.     أكد بالتجربة خصائص التدوير والانعكاس و النقل:
a.     أخذ خطوط إلى خطوط ونقل مقاطع الخطوط إلى مقاطع خطوط من نفس الطول.
b.     كما يتم نقل الزوايا أيضا إلى زوايا من نفس القياس.
c.     كما ننقل الخطوط المتوازية إلى خطوط متوازية.
2.     عليك فهم أن الشكل ثنائي الأبعاد يكون متطابق مع آخر إذا ما كان الثاني يمكن الحصول عليه من الأول عن طريقة سلسلة من عمليات الإدارة، أو الانعكاس أو النقل. إذا ما كان لديك شكلين متطابقين، قم بوصف تسلسل يوضح التطابق بينهما.
3.     قم بوصف أثر التوسعة و النقل و التدوير والانعكاس على الأشكال ثنائية الأبعاد مستخدما الإحداثيات.
4.     عليك فهم أن الشكل ثنائي الأبعاد يكون متشابه مع آخر إذا ما كان الثاني يمكن الحصول عليه من الأول عن طريقة سلسلة من عمليات الإدارة، أو الانعكاس أو النقل أو التوسعة. إذا ما كان لديك شكلين متطابقين، قم بوصف تسلسل يوضح التشابه بينهما.
5.     استخدم متغيرات غير قياسية لإثبات الحقائق عن مجموع الزوايا للمثلثات وعن الزوايا الناتجة عن قطع الخطوط المتوازية بقاطع مستعرض وشرط الزاوية-الزاوية لتشابه الزوايا. علي سبيل المثال، قم بترتيب ثلاث نسخ من نفس المثلث بحيث يبدو مجموع الزوايا يبدو وكأنه يكون خط، ومن ثم أعطي متغيرات في ضوء شروط القواطع المستعرضة ولماذا هي كذلك.

فهم وتطبيق نظرية فيثاغورث.
6.     وضح إثبات نظرية فيثاغورث وعكسها.
7.     طبق نظرية فيثاغورث لتحديد طول ضلع مجهول في المثلث القائم في المسائل الفعلية و المسائل الرياضية في الأبعاد الثنائية والثلاثية.
8.     طبق نظرية فيثاغورث لإيجاد المسافة بين نقطتين في نظام إحداثيات.

حل المسائل الفعلية والرياضية المتعلقة بالحجم والاسطوانة والمخروطات والكرات.
9.     احفظ صيغ أحجام المخروطات والاسطوانات والكرات واستخدمها لحل المسائل الفعلية والرياضية.



الإحصاء والاحتمالات        8.SP       

افحص نماذج الارتباط بين البيانات ثنائية المتغير.
1.     قم ببناء وتفسير مخططات التشتت لبيانات القياس ثنائية المتغير لدراسة نماذج الارتباط بين الكميتين. صف النماذج مثل المجموعات والقيم المتطرفة و الارتباط الإيجابي أو السلبي والارتباط الخطي و والارتباط غير الخطي.
2.     احفظ أن الخطوط المستقيمة تستخدم على نطاق واسع لنمذجة العلاقة بين متغيرين كميين. بالنسبة لمخططات التشتت التي تقترح ارتباط خطي،قم بطريقة غير قياسية بملائمة خط مستقيم ومن ثم قيم ملائمة النموذج بطريقة غير قياسية عن طريق الحكم على قرب نقاط البيانات من الخط.
3.     استخدم معادلة الخط المستقيم النموذج الخطي لحل المسائل في سياق بيانات القياس ثنائية المتغير مترجما المنحني والتقاطع. علي سبيل المثال، في نموذج خطي لتجربة في علم الأحياء قم بتفسير المنحني 1.5سم/س على إنه يعني أن هناك ساعة إضافية من ضوء النهار في كل يوم مرتبطة 1.5سم إضافية في طول نبات ناضج.
4.     عليك أن تفهم أن نماذج الارتباط يمكن أن توجد أيضا في البيانات المطلقة ثنائية التغير عن طريق استعراض الترددات والترددات النسبية في جدول ثنائي الاتجاه. قم ببناء وتفسير جدول ثنائي الاتجاه يلخص البيانات في متغيرين مطلقين تم جمعهما من نفس الموضوع. استخدم الترددات النسبية التي تم حسابها للصفوف أو الأعمدة لوصف الارتباط المحتمل بين المتغيرين. علي سبيل المثال، قم بجمع البيانات عن الطلاب في فصلك إذا ما كان عليهم حظر خاص بالليالي المدرسية و ما إذا كان قد تم تكليفهم بواجبات منزلية من عدمه.هل هناك دليل على أن الطلاب الواقعين تحت الحظر يميلون إلى أن يكون لديهم واجبات منزلية.


المعايير القياسية للرياضيات في الدراسة الثانوية.

تحدد المعايير القياسية للدراسة الثانوية أنه يجب على جميع الطلاب دراسة الرياضيات من أجل التأهل للدراسة الجامعية والمستقبل المهني. ويجب على الطلاب دراسة مناهج رياضيات إضافية من أجل الاستعداد لدراسة المناهج المتقدمة مثل التفاضل والتكامل والإحصاء المتقدمة والرياضيات البحتة و يشار غليها بالعلامة (+) كما في المثال التالي:

(+) تمثل علامة زائد الأرقام المركبة على مخطط مركب في الصيغة المستطيلة والقطبية (وتتضمن الأرقام الحقيقة والتخيلية).

جميع المناهج التي لا تحتوي على علامة زائد (+) يجب أن تقع في نطاق مناهج الرياضيات العادية لإعدا الطلاب للدراسة الجامعية والمستقبل المهني. ويمكن أن تظهر المعايير التي تحمل العلامة (+) في المناهج المعدة لجميع الطلاب.

تم سرد معايير الدراسة الثانوية طبقا للتنصيف المفاهيمي:

       العدد والكم
       الجبر
       الدوال اللوغاريتمية
       سياق النمذجة
       علم الهندسة
       الإحصاء والاحتمالات

يقدم التصنيف المفاهيمي نظرة مترابطة للرياضيات للمرحلة الثانوية. حيث يقوم الطلاب بدراسة واستخدام الدوال اللوغاريتيمية على سبيل المثال ،يخرج بالأرقام من حدود المناهج التقليدية بصورة تحمل إمكانات ترفعها إلى مستويات أعلى ويتضمن ذلك التفاضل والتكامل.

إنّ أفضل تفسير للنمذجة ليس بالقول إنها تجميع موضوعات مستقلة عن بعضها بعضًا، إنما بالقول إنها تجميع موضوعات تتعلق بمعايير أخرى، حيث إنّ وضع النماذج الحسابية يعد معيارًا للمسائل الحسابية، وتظهر بعض معايير النمذجة في كامل معايير المدارس الثانوية مشارًا إليها برمز النجمة ( * ). ويظهر رمز النجمة أحيانا على عناوين مجموعة من المعايير وفي هذه الحالة يجب أن يفهم من ذلك أنه يجب تطبيق جميع المعايير في تلك المجموعة.


الرياضيات - علم الرياضيات - العدد والكم للمرحلة الثانوية:مقدمة

الأعداد و نظام العدد
خلال السنوات ومنذ مرحلة رياض الأطفال وحتي الصف الثامن يجب أن يقوم الطلاب بتوسيع مفاهيمهم عن العدد بصورة متكررة. في البداية، "العدد" يعني "عد الأعداد": 1و2و3... وسرعان ما يتم استخدام 0 للتعبير عن "لاشيء" ومن ثم نكون الأعداد الطبيعية بعد الأرقام سويا مع الصفر. وتكون التوسعة التالية باستخدام الكسور. ولذا في البداية، تكون الكسور هي مجرد أرقام ويتم ربطها بشدة بالتمثيل التصويري. ومن ثم مع الوقت يبدأ الطلاب في فهم قسمة الكسور،حيث يكون لديهم فهم جيد للكسور كأرقام ومن ثم ربطها عبر التمثيل العشري بالنظام العشري الأساسي المستخدم لتمثيل الأعداد الطبيعية. وخلال المرحلة المتوسطة يتم تغيير الكسور بالكسور السلبية لتكوين الأعداد المنطقية. ويقوم الطلاب بعد ذلك في الصف الثامن 8 بتوسعة هذا النظام مرة أخرى بتغيير الأرقام المنطقية بالأرقام غير المنطقية لتكوين الأرقام الحقيقية. إلا أن الطلاب في المرحلة الثانوية، سيقابلون توسعة جديدة أخرى للأرقام حين يتم تغيير الأرقام الحقيقية بالأرقام التخيلية لتكوين الأرقام المركبة.

مع كل توسعة لمفهوم الأرقام، تتسع أيضا مفاهيم الطرح والجمع والضرب والقسمة. إلا أنه في كل النظم العددية الجديدة- الاعداد الصحيحة و الأرقام المنطقية و الأرقام الحقيقة و الأرقام المركبة - تظل تلك العمليات كما هي بطريقتين هامتان. حيث تظل لها نفس الخصائص التبادلية والترابطية والتوزيعية وتتسق معانيها الجديدة مع معانيها السابقة.

إلا أن توسعة خصائص رفع الاعداد الطبيعية يؤدي إلى تأشير جديد وإيجابي. علي سبيل المثال، تقترح خصائص رفع الاعداد الطبيعية أن ( 51/3)3 وأنها يجب أن تكون 5 (1/3)3=51=5يجب أن تكون الجذر التكعيبي لـ5.

ويمكن للالات الحاسبة والجداول الالكترونية ونظم الكمبيوتر الجبرية أن تقدم وسائل للطلاب في أن يألفوا تلك النظم العددية الجديدة ومفاهيمها. حيث يمكن استخدامها لانتاج بيانات للتجارب الرقمية لفهم عمل المصفوفات و المتجهات وجبر الأرقام المركبة وـن يقوم بتجارب على مضاعفات الاعداد غير الصحيحة.

الكميات.
في المسائل الفعلية، عادة ما تكون الاجابة غير الأرقام ولكن كميات: أرقام مع وحدات وهو الأمر الذي يتطلب القياس. وخلال عملهم باستخدام القياس عبر الصف 8، يقوم الطلاب بصورة اساسية بقياس الخصائص الشائعة مثل الطول والمساحة والحجم. إلا أن في المدرسة الثانوية يقابل الطلاب، تنوعات أكثر وأوسع نطاقا من الوحدات في النمذجة على سبيل المثال التسارع وتحويل العملة والكميات المشتقة مثل شخص-ساعة ودرجات حرارة الأيام ومعدلات العلوم الاجتماعية مثل ناتج الدخل القومي للفرد و معدلات تستخدم في الحياة اليومية مثل النقاط التي تم إحرازها في اللعب أو متوسطات المعارك. كما أنهم يواجهون مواقف جديدة حيث يجدون لزاما على أنفسهم تصور سمات النتائج. علي سبيل المثال؛ لإيجاد إجراء جيد للسلامة الكلية على الطرق السريعة، يجب عليهم اقتراح إجراءات مثل معدل الوفيات في العام أو معدل الوفيات في العام للسائقين أو معدل الوفيات بالنسبة لعدد الأميال الذي تقطعه المركبة. مثل تلك العمليات المفاهيمية يمكن أن تسمي التقييم الكمي. التقييم الكمي هام جدا للعلوم مثل ما يحدث حين تبرز مساحة السطح كمتغير هام في البخر. ويعد التقييم الكمي هام أيضا للشركات والتي يجب أن تضع تصور مفاهيمي للسمات الهامة وتضع أو تختار الإجراءات المناسبة لها.


 الممارسات الرياضية       


5.     استخدام أدوات مناسبة بطريقة إستراتيجية.
6.     الاهتمام بالدقة.
7.     البحث عن التركيب والاستفادة منه.
8.     البحث والتعبير عن النظامية في الاستنتاج المكرر.

1.     فهم المسائل والاجتهاد في حلها.
2.     التفكير التجريدي والكمي.
3.     بناء الحجج القابلة للتطبيق ونقد المنطق عند الآخرين.
4.     وضع النماذج باستخدام الرياضيات


نظرة عامة على العدد والكم 


نظام الاعداد الحقيقة
       توسيع سمات الرفع إلى رفع الأرقام المنطقية.
       استخدام خصائص الأرقام المنطقية وغير المنطقية.

الكميات.
       سبب كميا واستخدم الوحدات لحل المسائل.

نظام الأعداد المركبة
       قم بإجراء العمليات الرياضية على الأرقام المركبة.
       قم بتمثيل الأرقام المركبة وعملياتها على مخطط مركب.
       استخدم الأرقام المركبة في المعادلات و المتطابقات.

كميات المصفوفات والمتجهات.
       قم بتمثيل ونمذجة كميات المتجهات.
       قم بإجراء العمليات على المتجهات.
       قم بإجراء العمليات على المصفوفات واستخدمها في التطبيقات.





نظام الاعداد الحقيقة  N-RN      

توسيع سمات الرفع إلى رفع الأرقام المنطقية.
1.     وضح كيف أن تعريف معني رفع الأرقام المنطقية ينبع من توسيع خصائص رفع الأرقام الصحيحة إلى تلك القيم بما يسمح بالتأشير للجذورفي ضوء الرفع المنطقي. علي سبيل المثال فإننا نحدد 51/3 على أنها الجذر التكعيبي لـ5 حيث أننا 3(51/3)=5(1/3)3أن تتماسك ولذا فإن (51/3)3 يجب أن يساوي5.
2.     أعد كتابة التعبيرات المتضمنة الجذور ورفع الأرقام المنطقية مستخدما خصائص الرفع.

استخدام خصائص الأرقام المنطقية وغير المنطقية.
3.     وضح لماذا يكون مجموع أو ناتج رقمين منطقيين رقم منطقي.وأن مجموع رقم منطقي ورقم غير منطقي يكون رقم غير منطقي.وأن ناتج رقم منطقي غير صفري ورقم غير منطقي هو رقم غير منطقي.



الكميات        N-Q 

سبب كميا واستخدم الوحدات لحل المسائل.
1.     استخدم الكميات كطريقة لفهم المسائل وتوجيه الحل للمسائل متعددة الخطوات. اختار وفسر الوحدات باتساق في المعادلات.اختار وفسر المقياس والأصل في الإحداثيات وعروض البيانات.
2.     حد كميات ملائمة لغرض النمذجة الوصفية.
3.     اختار مستوى الدقة الملائم للحدود على القياس عند التقرير بالكميات.



نظام الأعداد المركبة  N-CN      

قم بإجراء العمليات الرياضية على الأرقام المركبة.
1.     عليك أن تعرف أن هناك أرقام مركبة /مثل أن/2=–1و أن كل رقم مركب له الصيغة a+bi حيث تكون aوb أرقامًا حقيقة.
2.     استخدم العلاقة/2=–1و الخصائص التبادلية والترابطية والتوزيعية لجمع وطرح وضرب الأرقام المركبة.
3.     (+) أوجد اقتران رقم مركب واستخدم الاقتران لإيجاد أساس وحواصل الأرقام المركبة.


قم بتمثيل الأرقام المركبة وعملياتها على مخطط مركب.
4.     (+) قم بتمثيل علامة زائد الأرقام المركبة على مخطط مركب في الصيغة المستطيلة والقطبية (وتتضمن الأرقام الحقيقة والتخيلية). ووضح لماذا تكون الصيغ المستطيلة والقطبية لرقم مركب ما تمثل نفس الرقم.
5.     (+) قم بتمثيل عمليات الجمع والطرح والضرب والأس للارقام المركبة هندسيا على مخطط مركب. استخدم خصائص هذا التمثيل لعمليات الحوسبة. علي سبيل المثال، (-1 + √3 i)= 83حيث (-1 + √3 i) لديه معامل 2 و متغير120°.
6.     (+) احسب المسافة بين الأرقام في المخطط المركب كمعامل الفرق ونقطة الوسط لمقطع كمتوسط الأرقام عند نقاط النهاية.

استخدم الأرقام المركبة في المعادلات و المتطابقات متعددة الحدود.
7.     قم بحل المعادلات التربيعية بمكافيء حقيقي ذات الحلول المركبة.
8.     (+) قم بتوسيع المتطابقات متعددة الحدود إلى الأرقام المركبة. علي سبيل المثال، إعد كتابة x 2+4 في صيغة (x+2i)(x-2i).
9.     (+) احفظ النظرية الجبرية الأساسية، وأثبت أنها تنطبق على التربيعيات متعددة الحدود.



كميات المتجهات و المصفوفات     N-VM      

قم بتمثيل ونمذجة كميات المتجهات.
1.     (+) عرف كميات المتجهات على أن لها اتجاه وحجم. قم بتمثيل كميات المتجهات بواسطة مقاطع خطية موجهة واستخدم العلامات الملائمة للمتجهات و حجمها (علي سبيل المثال ت, |ت|, ||ت||, ت).
2.     (+) أوجد مكونات متجه عن طريق طرح الإحداثيات لنقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.
3.     (+) قم بحل المسائل التي تتضمن السرعة والكميات الأخرى التي يمكن تمثيلها بالمتجهات.

قم بإجراء العمليات على المتجهات.
4.     (+) أجمع وأطرح المتجهات.
‌أ.      قم بجمع المتجهات النهاية-إلى-النهاية، من حيث المكونات مستخدما قاعدة متوازي الأضلاع. عليك فهم أن حجم مجموع متجهين ليس هو حاصل جمع الأحجام.
‌ب.    إذا ما كان لديك متجهين في صيغة حجم واتجاه ،حدد حجم واتجاه حاصل جمعهما.
‌ج.     عليك فهم أن حاصل طرح المتجهات ت-ث على أنه ت + (–ث) حيث -ث هو المعاكس الجمعي لـ ث بنفس الحجم كـ ث ويشير إلى الاتجاه المعاكس. قم بتمثيل طرح المتجه بيانيا عن طريق توصيل الأطراف بالترتيب المناسب وقم بإجراء طرح المتجهات من حيث المكون.
5.     (+) قم بضرب متجه مستخدما مقياس.
‌أ.      قم بتمثيل ضرب المقياس بيانيا عن طريق توسعة نطاق المتجهات وإذا أمكن عكس اتجاهها.قم بإجراء عمليات ضرب المقياس من حيث المكون على سبيل المثال ج(ت خ, ت ذ) = (ج ت خ, ج ت ذ).
‌ب.    قم بحوسبة حجم مضاعف مقياس ج ت مستخدما ||ج ت|| = |ج|ت. قم بحوسبة اتجاه ج ت علما بأنه عندما تكون |ج |ت ≠ 0 فإن اتجاه ج ت هو إما على طولت (مقابل ج > 0) أو ضد ت (مقابل ج < 0).

قم بإجراء العمليات على المصفوفات واستخدمها في التطبيقات.
6.     (+) استخدم المصفوفات لتمثيل وتعديل البيانات علي سبيل المثال، لتمثيل المكاسب المدفوعة أو حالات العلاقات في شبكة عمل.
7.     (+) قم بضرب المصفوفات بواسطة المقاييس لإنتاج مصفوفات جديدة علي سبيل المثال عندما يتم مضاعفة المكاسب في لعبة.
8.     (+) أجمع وأطرح وأضرب المصفوفات ذات الأبعاد الملائمة.
9.     (+) عليك فهم أن عكس ضرب الأرقام، فأن ضرب المصفوفات المربعة ليس عملية تبادلية إلا أنها تفي بالخصائص الترابطية والتوزيعية.
10.   (+) كما أن عليك فهم أن الصفر والمصفوفات المتطابقة تلعب دورا في جمع المصفوفات مماثل لدور 0 و1 في الأرقام الحقيقة. محدد المصفوفة المربعة ليس صفر إذا وفقط إذا ما كان للمصفوفة  معكوس مضاعف.
11.   (+) قم بضرب متجه (والذي يعتبر مصفوفة من عمود واحد) بمصفوفة ذات أبعاد ملائمة لإنتاج متجه آخر. أعمل باستخدام المصفوفات على أنها تحولات للمتجهات.
12.   (+) أعمل باستخدام مصفوفة 2 × 2 على إنها تحولات للمخطط وقم بتفسير القيمة المطلقة للمحدد من حيث المساحة.