نصف المدى الربيعى

* نصف المدى الربيعى Semi interquartile Range   
نظراً لاعتماد المدى على القيم المتطرفة مما أدى إلى عدم مصداقية نتائجه فى المقارنة حاول علماء الاحصاء التنازل عن ذلك والتخلص من القيم المتطرفة بطريقة موضوعية وذلك بتقسيم البيانات إلى أربعة أقسام باستخدام ثلاثة حدود فاصلة تسمى الأرباعيات فالحد الفاصل الأول يسمى بالربيع الأدنى أو الأصغر ويصغره 25% من البيانات و الحد الفاصل الثانى  يسمى بالربيع الثانى (الوسيط) ويصغره 25% من البيانات. أما الحد الفاصل الثالث فيسمى بالربيع الثالث ويصغره 75% من البيانات.
ويعرف نصف المدى الربيعى بمنتصف الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول ويمكن تمثيل ذلك بالشكل التخطيطى التالى
                    25%  س1    25%     س2   25%     س3  25%

                الربيع الأول      الربيع الثانى     الربيع الثالث
يلاحظ أننا قسمنا مجموعة القيم إلى أرباع وحصلنا على أربعة أرباع. وتسمى النقطة التى تفصل بين كل ربع وربع آخر بالارباعى أو الربيع.
فالربيع الأول          هو القيمة التى يقع تحتها ربع القيم
الربيع الثانى           يساوى الوسيط        
الربيع الثالث   هو القيمة التى يقع تحتها ثلاثة أرباع العلامات وفوقها الربع الرابع
ويسمى الفرق بين الربيع الثالث (الربيع الأعلى) والربيع الأول (الربيع الأدنى) بالحد الربيعى.
نصف المدى الربيعى =
أو
نصف المدى الربيعى (الانحراف الربيعى) =
س2           الارباعى الثالث
س1           الارباعى الأول
بمعنى أن نصف المدى الربيعى هو نصف الفرق بين الارباعى الثالث والارباعى الأول.
أحيانا نستخدم مصطلح الارباعى الأدنى (أو الأول) بدلا من الربيع الأول ومصطلح الاباعى الأعلى (أو الثالث) بدلا من الربيع الثالث.
وإذا قمنا باستخدام قيم الربيع الأول والوسيط (الربيع الثانى) والربيع الثالث ورسمنا خطوط فاصلة رأسية
                        الربيع      الوسيط     الريع الأول
                        الثالث     أو الربيع الثانى
ويعد المدى الربيعى هو الفرق بين قمتى الربيع الثالث والربيع الأول أما نصف المدى الربيعى فينتج من قسمة هذا الفرق على اثنين. ويعد نصف المدى الربيعى مقياس هام للتشتت فى حالة التوزيعات الملتوية وفى حالة البيانات الترتيبية. ويتطلب حساب نصف المدى الربيعى معرفة قيمة كلا من الربيع الأول والربيع الثالث.
* خطوات حساب نصف المدى الربيعى
1- نحسب رتبى الارباعيين الأول والثالث.
ترتيب الارباعى الأول =
ترتيب الارباعى الثالث =
حيث ن عدد المفردات أو مجموع التكرارات.
2- نحسب قيمة الارباعيين الأول والثالث.
وتستخدم المعادلة التالية فى تحديد قيمة الربيع الأول
(ر1) وقيمة الربيع الثالث (ر3)
الربيع = الحد الأدنى للفئة الربيعية +                                                × طول الفئة
3- نحسب نصف المدى الربيعى =
مثال: احسب نصف المدى الربيعى للدرجات الآتية:
15، 23، 14، 25، 17، 21، 18، 5، 7، 9، 12، 15

   الحل
1- ترتيب القيم ترتيبا تصاعديا أو تنازليا
5، 7، 9، 12، 14، 15، 15، 17، 18، 21، 23، 25
2- نحسب رتبة الارباعى الأول وهو يساوى
رتبة الربع الأول =            =           = 3
الربيع الأول حد فاصل يصغره 25% من عدد القيم وبذلك يقع بين 9، 12 لأن القيمة التى رتبتها 3(ربع عدد القيم) أى القيمة الثالثة 9 والقيمة الرابعة 12 لذا نقول أن الربيع الأول يبعد عن القيمة 9 بمقدار                المسافة الفاصلة بين 9، 12
وحيث أن المسافة الفاصلة بين 9، 12 ثلاث وحدات
         المسافة الفاصلة = 3×        =          = 0.75
رتبة الربيع الثالث= 
الربيع الأول (ر¬1) = 9+0.75 = 9.75
3- نحسب رتبة الربيع الثالث والذى يساوى
رتبة الربيع الثالث =             = 9
حيث أن الربيع الثالث هو حد فاصل يصغره 75% من عدد القيم وبذلك يقع هذا الربيع بين 18، 21.
الربيع الثالث يبعد عن القيمة 18 بمقدار        المسافة الفاصلة بين 18، 21
         المسافة الفاصلة = 3 ×         =          = 2.25
الربيع الثالث = 18 + 2.25 = 20.25
4- نحسب نصف المدى الربيعى بالقانون
                   =                     =            = 5.25
مثال احسب المدى الربيعى للدرجات الآتية
4، 9، 5، 4، 6، 8، 7، 5
الحل
1-     ترتيب الدرجات ترتيبا تصاعديا أو تنازليا
2-     نحسب رتبة الربيع وهى 25% من عدد الدرجات للربيع الأول
75% من عدد الدرجات للربيع الثالث 
3-     نحسب قيمتى الربيع الأول والربيع الثالث باستخدام القانون الخاص بذلك.
وبتطبيق الخطوات السابقة فإن ترتيب الدرجات تصاعديا هو
4، 4، 5، 5، 6، 7، 8، 9
وقد سبق حساب الوسيط لهذه الدرجات حيث كانت رتبة الوسيط هى
             =                 = 4  وتحدد وجود وسيطين هما الدرجتين الرابعة والخامسة وهما (5، 6)
وتكون قيمة الوسيط            = 5.5
وبنفس الطريقة نحسب قيمة ورتبة الربيعين الأول والثالث
رتبة الربيع الأول = 25% من عدد الدرجات =             = 2
وتكون قيمة الربيع الأول هى متوسط  الدرجتين الثانية والثالثة (4، 5)
وهى              =  4.5
أما رتبة الربيع الأول فهى         من عدد الدرجات          × 8 = 6
وتكون قيمة الربيع الثالث هى متوسط الدرجتين السادسة والسابعة (وهما 7، 8)
=              = 7.5
وبالتالى فإن المدى الربيعى = الربيع الثالث – الربيع الأول
7.5 – 4.5 = 3
نصف المدى الربيعى =                 = 1.5
مثال :  احسب نصف المدى الربيعى للدرجات الأتية
112، 109، 114، 117، 108، 115، 110، 113، 116، 111
ترتيب الدرجات تصاعديا
108، 109، 110، 111، 112، 113، 114، 115، 116، 117
وتكون رتبة الربيع الأول =           × 10 = 2.5
و تكون قيمة الربيع الأول هى متوسط الدرجتين الثانية والثالثة
                             = 109.5
و كذلك رتبة الربيع الثالث =           ×10 = 7.5
وقيمة الربيع الثالث هى متوسط الدرجتين السابعة والثامنة
                  = 114.5

نصف المدى الربيعى                  =                       =        = 2.5
إذا كان عدد الدرجات فردى مثل
12، 13، 15، 15، 16، 18، 19، 20، 21، 23، 25
فإن ترتيب الربيع الأول =             × 11 = 2.75
وقيمة الربيع الأول تقع بين الدرجتين الثانية والثالثة و تحسب القيمة بطريقة الأستعمال  و هى
قيمة الربيع الأول =قيمة الدرجة +الفرق بين الدرجتين الثالثة  والثانية × ترتيب الربيع -2
13 + (15-13) (2.75 -2) = 13+2× 0.75 + 13 +1.5 = 14.5
ترتيب الربيع الثالث =                  × 11 = 8.25
وتكون قيمة الربيع الثالث تقع بين الدرجتين الثامنة والتاسعة وهى
قيمة الدرجة الثامنة + الفرق بين الدرجتين التاسعة والثامنة (ترتيب الربيع – 8)
= 20 + (21-20) (8.25 – 8) = 20 + 1 × 0.25 = 20.25
ونصف المدى الربيعى =                      =           = 2.875
* حساب نصف المدى الربيعى للبيانات المبوبة
يمكن حساب نصف المدى الربيعى للبيانات المبوبة فى جدول توزيع تكرارى من الخطوات الآتية:
1-     نستخدم جدول التوزيع فى إعداد الجدول التكرارى المتجمع الصاعد
2-     تحديد رتبة الربيع وهى           × مج ت للربيع الأول
                                          × مج ت للربيع الثالث
3-     نحدد فئة الربيع وهى التى تحتوى على التكرار المتجمع
[           أو          مج ت]
4-     نطبق القانون لحساب قيمة الربيع
قيمة الربيع الأول = الحد الأدنى لفئة الربيع الأول +

5-     تحديد قيمة الربيع الثالث = الحد الأدنى لفئة الربيع الثالث +

مثال : احسب نصف المدى الربيعى فى الجدول التكرارى الثالث
الدرجات       10     20     30     40     50     60     70     المجموع
التكرار 2      5      9      10     15     1      6      48

                    الحل
1-     نحسب رتبة الربيع الأول والثالث كما يلى:
   ترتيب الربيع الأول=               =           = 12
ترتيب الربيع الثالث =                =              = 36
2-     نكون جدول التكرار المتجمع التصاعدى أو التنازلى
فئات الدرجات التكرار         الحدود الحقيقية للفئات التكرار المتجمع الصاعد       التكرار المتجمع الهابط
3-     نطبق القانون لحساب الربيع الأول
الربيع الأول = الحد الأدنى الحقيقى لفئة ر +
                                                               × طول الفئة
فئة الربيع الأول هى 30-39 حيث التكرار المتجمع الصاعد يساوى ر1
ر1 = 29.5 +                × 10 =
29.5 +                  = 29.5 + 5.55 = 35.05
4-     بنفس الخطوة السابقة نحسب الربيع الثالث
فئة الربيع الثالث هى 50-59
ر = 49.5 +                  × 10
49.5 +
49.5 + 6.66 = 56.16
5-     نحسب نصف المدى الربيعى (الانحراف الربيعى)
    نصف المدى الربيعى =             =
                                    =                       = 10.56
كذلك يمكن استخدام الجدول التكرارى المتجمع الهابط فى حساب الربيع الأول والثالث، حيث تكون قيمة الربيع =
الحد الأعلى لفئة الربيع -                                      × طول الفئة
* حساب نصف المدى الربيعى إذا كانت البيانات ترتيبية
احسب نصف المدى الربيعى
الفئة    التكرار         ت. م. ص
ممتاز
جيد جداً
جيد
مقبول
ضعيف
ضعيف جداً    3
رتبة الربيع الأول =           × 65 = 16.25
وتقع قيمة الربيع الأول فى فئة جيد وتكون قيمته جيد
الربيع الثالث =                     × 65 = 48.75
وتكون فئة الربيع الثالث هى مقبول
ويكون المدى الريبعى بين المقبول والجيد
ولا نستطيع اعطاء قيمة معينة لذلك كما أن نصف المدى الربيعى هنا لا معنى له
   مزايا وعيوب نصف المدى الربيعى
    أولاً: مزاياه
1-     يمكن إيجاده من الجداول المفتوحة.
2-     لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
3-     سهل فى حسابه ويمكن حسابه جبريا وبيانيا.
4-     يمكن حسابه بسهولة عند توافر قيم الأرباعيين الأعلى والأدنى.
  ثانيا : عيوبه
-      من عيوبه أنه يصعب معالجته رياضيا والتعرف على خصائصه.
اعتماده فى تقديره على قيمتين فقط جعله لا يصلح للتغلب على القيم المتطرفة.
ثانيا طريقة الانحرافات عن المتوسط الحسابى
يمكن حساب الانحراف المعيارى للتوزيع التكرارى عن طريق انحراف الدرجات عن المتوسط الحسابى، او عن طريق انحراف الدرجات عن وسط فرضى
ويمكن حساب الانحراف المعيارى عن طريق انحرافات الدرجات عن المتوسط الحسابى بإتباع الخطوات الاتية:
1.     نحدد مركز الفئة
2.     نضرب مركز الفئة فى تكرارها
3.     نحسب المتوسط الحسابى لحاصل ضرب مركز الفئة فى تكرارها
4.     نحسب انحرافات مراكز الفئة عن المتوسط الحسابى (س-م)
5.     نربع انحرافات مراكز الفئة عن المتوسط الحسابى (س-م)2
6.     نضرب مربعات انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى فى تكرارها (س-م)2 ت
7.     نوجد مجموع مربعات انحرافات الدرجات (مج (س-م)2 ت)
8.     نحسب التباين ع2 =

9.     نحسب الانحراف المعيارى وهو الجذر التربيعى للتباين

مج ت مجموع التكرارات
مج (س-م)2 ت حاصل جمع ضرب مربعات انحرافات مراكز الفئات عن المتوسط الحسابى فى تكراراتها.
مثال : احسب الانحراف المعيارى باستخدام الانحرافات عن المتوسط الحسابى
الفئة    التكرار مركز الفئة
(س)   س × ت       الانحراف عن المتوسط
(س-م) (س-م)2       (س-م)2ت
الانحراف المعيارى =   110.71  = 10.52
  ثالثا : حساب الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات عن وسط فرضى
هى نفس الطريقة المستخدمة لحساب المتوسط الحسابى لجدول توزيع تكرارى
وتعمد هذه الطريقة على خطوات مشابهة لخطوات حساب المتوسط الحسابى وهى:
1.     تحديد مركز الفئة
2.     نختار وسط فرضى ويفضل أن يكون الفئة المقابل لأكبر تكرار
3.     نطرح الوسط الفرضى من مراكز الفئات للحصول على الانحرافات
ح= س- وف (الوسط الفرضى)
4.     نضرب انحراف كل فئة عن الوسط الفرضى فى تكراراتها (ح ت) ونحسب مجموعها
5.     نحسب متوسط الانحرافات م ح ويساوى
6.     نضرب مربع انحراف كل فئة عن الوسط الفرضى فى تكراراتها (ح2 ت) ونحسب مجموعها
7.     نحسب التباين باستخدام القانون
8.     نحسب الانحراف المعيارى وهو مقياس التباين

ع2=                                  حيث م ح هى متوسط الانحرافات

   أو   ع2=                  - (م ح)2
مثال : احسب الانحراف المعيارى باستخدام الانحرافات عن وسط فرضى
الفئة    التكرار
(ت)    مركز الفئة
(س)   الانحراف عن الوسط الفرضى (ح)    ح × ت        ح2 × ت
متوسط الانحرافات عن وسط فرضى (م ح) =                        = - 2.7
ويمكن حساب المتوسط الحسابى وهو = الوسط الفرضى + م ح
79-2.7 = 76.3
التباين =

ع2 =                                 =
ع2 = 110.71 ويكون الانحراف المعيارى ع = 110.71  = 10.52
مثال :  احسب الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات عن وسط فرضى
الفئات  التكرار ك      مركز الفئات   انحراف مراكز الفئات عن وسط فرضى       ح-    ح- ك  ح-2 ك
المتوسط الحسابى س-= 72- 7/8 × 5 = 71.563
التباين = ل2 ×
 (5)2 ×                              = 96.325

ع = 96.325 = 9.815    أو
ع=    ل2             [مج ح-2 ك -                     =

ل

5                                 = 9.815

    رابعا  : الانحراف المعيارى بطريقة الانحرافات المختصرة
يستخدم لايجاد التباين فى حالة الارقام غير المبوبة الصيغ الاتية:
التباين (ع)2 للمجتمع =

التباين للعينة =

   مثال :  اذا كانت ن لعينة ما هى 8
والمتوسط (س-) = 49.8، مج س2 = 968
احسب الانحراف المعيارى؟
الانحراف المعيارى =
= 10.75
الانحراف المعيارى =  10.75 = 3.27
وقد يحسب التباين من خلال القانون الاتى
ع2 =
        لحساب الانحراف المعيارى بالطريقة المختصرة نتبع الخطوات الاتية:
    - نحدد مركز كل فئة (س)
    - نختار وسط فرضى (مركز المقابل لأكبر تكرار)
    - نطرح الوسط الفرضى من مركز كل فئة فينتج الانحرافات (ح)
    - نقسم الانحرافات على طول الفئة فى حالة الفئات متساوية الطول فينتج الانحرافات المختصرة فى تكرارات الفئات (ح-) .
   - نحسب حاصل ضرب الانحرافات المختصرة فى تكرارات الفئات (ح- ت) ونجمعها .   
    - نضرب الانحرافات المختصرة (ح-) فى حاصل ضرب (ح  ت) لكل فئة فينتج (ح2 ت) لكل الفئات
    - نطبق القانون لحساب التباين
     - نحسب الانحراف المعيارى
التباين ع2 =                              × ك أو

ع2 = [                        - (م ح-)2] × ل2
حيث ان مج ح- هو متوسط الانحرافات المختصرة
ل2 مربع طول الفئة
مثال :
الفئة    التكرار مركز الفئة (س)       الانحراف عن الوسط الفرضى (ح)    الانحرافات المختصرة ح-     ح- × ت        ح-2 × ت
53-
ثم نحسب متوسط الانحرافات المختصرة (م ح-) =           =             
                = 0.675
وبالتالي يكون المتوسط الحسابى = و ف + م ح- × ل =
79+ (-0.675) × 4 = 79 – 2.7 = 76.3
وهى نفس القيمة التى حصلنا عليها
    ونشير أن هذه الطريقة لا تصلح مع جداول التوزيع التكرارى المختلفة فى طول الفئة، بمعنى ان طول الفئة الاولى يساوى طول فئة أخرى بالجدول فاختلاف طول أى فئة بالجدول التكرارى يؤدى إلى فئات غير متساوية الطول.