خواص المواد الصلبة والسائلة

خواص المواد الصلبة والسائلة
التركيب البللورى لمادة صلبة :
توجد المادة فى أحدى الحالات الثلاث : الصلبة أو السائلة أو الغازية وتوجد المادة الصلبة غالبا على شكل بللورات وتستخدم خاصية التماثل البللورى لتصنيف هذه البللورات إلى سبعة نظم بللورية أكثرها تماثلا هو النظام المكعبى وفيه تكون المحاور الأساسية للشبكة متساوية ومتعامدة كما هو موضح بالشكل، أى أن : a = b = c و   β =     = 90 ْ.
أما اقل النظم السبعة تماثلا فهو النظام ثلاثى الميل وفيه : a = b = c و      β ≠ ≠    ≠ 90 ْ
ومن المعروف أن الذرات المكونة لأى بللورة تنتظم فى مستويات متوازية ومختلفة داخل البللورة. والمسافة العمودية بين كل مستويين فى عائلة مستويات واحدة تكون مميزة لهذه المستويات ويرمز لها على الصورة dh k l حيث h k l هى إحداثيات ميلر لهذه العائلة من المستويات المتوازية. ويمكن إيجاد هذه الإحداثيات لمستوى ما فى البللورة بمعرفة مقلوب النسبة التى يقطع بها هذا المستوى محاور البللورة الأساسية c, b, a ووضعها فى صورة أعداد صحيحة بسيطة.
 ويوضح الشكل المرافق أن إحداثيات ميلر للمستوى المظلل هى ( 122 ).
 كما توضح الأشكال التالية عددا من المستويات فى بللورة مكعبة.

ويمكن أثبات أن المسافة البينية dh k l لعائلة المستويات { h k l } فى بللورة مكعبة تعطى من العلاقة :

كما يمكن استخدام حيود الأشعة السينية فى البللورات لا يجاد المسافة البينية dh k l عمليا ودراسة التركيب البللورى للمادة.
اولا : المرونــــــــــة
يوصف جسم ما بأنه جسم مرن أذا تغير حجمه أو شكله نتيجة لفعل قوة مؤثرة ثم رجع بعد ذلك إلى شكله الأصلى بعد زوال تأثير تلك القوة. ويطلق على مقدار القوة التى تؤثر على وحدة المساحات من الجسم اسم الإجهاد ووحداته هى الداين / سم2 آو النيوتن / م2. بينما يقاس مقدار التغير النسبى فى حجم الجسم أو شكله نتيجة قوة الإجهاد بالانفعال.
قانون هوك :
يختص قانون هوك بالحالات التى يكون فيها التغير أبعاد الجسم على شكل تغير فى الطول , وينص على أن الاستطالة تتناسب مع القوة المسببة لها أى أن :
  F = K X
ويسمى ثابت التناسب K بثابت الصلابة ويعرف بأنه القوة التى تسبب وحدة استطالة. وإذا درسنا العلاقة بين الإجهاد والانفعال بسلك من المعدن فأنها تكون كما هو موضح بالشكل, حيث نلاحظ انه مع زيادة الأوزان يزيد الانفعال ويتحقق التناسب بينهما حسب قانون هوك حتى النقطة A , التى بعدها تحيد العلاقة عن الخط المستقيم. وإذا استمرت زيادة قوة الشد على الشلك فأننا سنصل إلى النقطة B التى لا يستطيع السلك عندها الاحتفاظ بالثقل. وتسمى النقطة A بنهاية المرونة ، والنقطة B بنقطة الاستسلام. كما يلاحظ انه أذا زيدت حمولة السلك حتى ما بعد النقطة  A ثم أزيلت الحمولة عن السلك فان طول السلك تحدث له استطالة مستديمة.
معاملات المرونــــــة :
بتعميم قانون هوك بالنسبة إلى أى جسم مرن لم يصل بعد لأى نقطة نهاية المرونة تظل النسبة بين الإجهاد والانفعال ثابتة وتسمى معامل المرونة. وتوجد ثلاث أنواع لمعاملات المرونة هى:
        أذا كانت قوة الشد F تؤثر على سلك أو قضيب طوله L ومساحة مقطعة A فان الإجهاد فى هذه الحالة يسمى إجهاد طولى ويساوى F / A والانفعال يسمى انفعال طولى ويساوى ΔL / L وتسمى النسبة بينها بمعامل يونج Y أى أن :
 
حيث أن Δ L مقدار الاستطالة فى طول السلك.
        أذا تسببت القوة F المؤثرة على الجسم فى تغيير حجمه بمقدار Δ V فان معامل المرونة فى هذه الحالة يسمى معامل المرونة الحجمى B ويساوى :

ومعامل المرونة الحجمى يمكن أن يميز أيضا السوائل والغازات بالإضافة إلى الأجسام الصلبة ، ذلك أن الضغط - مثل الإجهاد - يعرف بأنه القوة التى تؤثر على وحدة المساحات ويكون الإجهاد ما هو إلا ضغط أضافى Δ P يتسبب عنه نقص نسيى فى الحجم ( انفعال حجمى ) قدرة   , وتعنى الإشارة السالبة أن الحجم يقل كلما زاد الضغط.
        أحيانا تكون صورة التغير فى شكل الجسم كما هو موضح بالرسم. ويتم هذا التغير نتيجة التأثير بازدواج على وجهين متقابلين فتنشأ الزاوية θ التى تعرف بزاوية القص ويعرف الإجهاد القاص بأنه مقدار القوة التى تؤثر على وحدة المساحات من سطح الجسم فتحدث انفعالا قاصا قدرة ظا θ. وإذا كانت الزاوية   صغيرة فان الانفعال القاص يكون مساويا للزاوية θ بالتقدير الدائرى. وتسمى النسبة بين الإجهاد القاص والانفعال القاص بمعامل القص أو معامل الصلابة N حيث :

ويلاحظ فى جميع حالات المرونة الثلاث أن الانفعال نسبة لا وحدة لها , وعلية تكون وحدات معاملات المرونة هى دائما وحدات الإجهاد التى يعبر عنها بالداين / سم2 أو النيوتن / م2.
نسبة بواسون :
نلاحظ أن الانفعال الطولى    الناتج من من تأثير القوة F على سلك مساحة مقطعة A يكون مصحوبا فى نفس الوقت بانفعال عرضى ناتج عن نقص مساحة مقطع السلك ويساوى   , حيث ان r نصف القطر وتسمى النسبة بين الانفعال العرضى والانفعال الطولى بنسبة بواسون:

وكما هو واضح فان هذه النسبة لا وحدة لها.
وهى هامة فى الصناعة حيث تبين مدي نقاوة المادة المستخدمة.
مثال ( 1 ) : اوجد الثقل اللازم تثبيته فى طرف سلك من الصلب طوله 200 سم وقطرة 2 ملليمتر ليحدث استطالة قدرها 9.8 ملليمتر بفرض أن معامل يونج يساوى 2 × 1210 داين للسنتيمتر المربع.
الحــــــــــل : نفرض أن الثقل اللازم مقداره m جراما فتكون القوة المؤثرة هى m g حيث g عجلة الجاذبية الأرضية تساوى 980 سم / ث2. ويكون معامل يونج Y هو :
   = 
   m = 
        = 3.14     gm  = 314 kg
مثال ( 2 ) : فى المثال السابق احسب ثابت الصلابة لمادة السلك ؟
الحـــــــــــل : قانون هوكي نص على أن قوة الشد تتناسب مع الاستطالة , وباستخدام معادلة معامل يونج نجد أن :

حيث ثابت الصلابة  k يساوى    أى أن :
K = 
         = 
كما يمكن تعيين ثابت الصلابة باستخدام قانون هوك مباشرة حيث :
F = k x

ثانيا : اللزوجــــــــــــــة
عندما ينساب سائل فوق سطح افقآ فأننا نلاحظ أن طبقات السائل تتحرك بسرعة اكبر كلما زاد بعدها عن السطح. وتستخدم فكرة الانسياب الطبقى لتفسير خاصية لزوجة السوائل التى تميز تفاوت سرعات تحركها داخل الأنابيب التى تنساب فيها.فإذا اعتبرنا سائل ما ينتقل داخل أنبوبة زجاجية مثلا فان اكبر قيمة للسرعة ستكون لتلك الطبقة التى تتحرك على امتداد محور الأنبوبة.
 بمعنى انه أذا أخذنا كتلة مكبة الشكل من السائل  ABCDفأنها بعد لحظة تصبح ممثلة بالشكل AB  بحيث يمثل    C أو   مقدار زيادة السرعة V لطبقة السائل عند D عنها للطبقة السفلى عند A . فإذا كانت المسافة الرأسية بين الطبقتين هى h فانه يمكن اعتبار السائل كما لو كان يتعرض لحالة قص شبيهة بتلك التى تتعرض لها الأجسام الصلبة.
وكما هو واضح من الشكل يكون الإجهاد القاص الذى يؤثر على مكب السائل هو مقدار القوة على وحدة المساحات من السطح العلوي   بينما يكون انفعال القص هو   . وحيث أن الإجهاد القاص الذى يدفع السائل للحركة يتناسب مع معدل القص (أو انفعال القص) فان :

حيث ثابت التناسب η بمعامل اللزوجة ويمكن استنتاج وحدات قياس معامل اللزوجة باستخدام معادلة الأبعاد كما يلى:

وفى النظام (سم . جم . ث) تكون وحدة معامل اللزوجة هى جم / سم . ث أو داين . ث / سم2 وتعرف هذه الوحدة باسم " البواز " .
وجدير بالذكر أن طبيعة سريان السوائل فى الأنابيب تعتمد على قيمة معينة للسرعة التى ينساب بها السائل. وقد أوضحت التجارب العملية أن هناك عددا معينا يسمى عدد رينولدز NR تحدد لنا قيمة نوع سريان السائل ، ويعطى من المعادلة:

حيث ρ كثافة السائل ، η معامل اللزوجة , V متوسط السرعة , d قطر الأنبوبة التى يمر فيها السائل.
وقد أثبتت التجارب أن الانسياب يكون طبقيا عندما تتراوح قيمة عدد رينولدز بين صفر و 2000 , أما أذا زادت قيمته عن 2000 فان سريان السائل يكون ثائرا , وبين 2000 و 3000 يكون سريان السائل غير مستقر ويعتبر فى حالة انتقال بين هذين النوعين من الحركة.
مثال ( 1 ) : عين حالة سريان الماء عند درجة 20 ْم فى أنبوبة قطرها 1 سم بسرعة متوسطة قيمتها 10 سم / ث2 , أذا كانت لزوجة الماء 0.01 بواز عند درجة 20 ْم.
الحل : من معطيات المسائلة يمكن إيجاد عدد رينولدز الذى يحدد طبيعة سريان الماء.

وحيث أن :     1

ويكون سريان الماء تبعا لذلك من نوع السريان الطبقى . ولإيجاد السرعة الحرجة التى يصبح بعدها سريان الماء غير منتظم فان.


مثال ( 2 ) : إذا فرضنا أن عدد رينولدز يحدد نوع حركة السوائل والغازات على السواء. اوجد السرعة الحرجة التى تتحول عندها حركة الهواء إلى حركة دوامية عند درجة 20 ْم . إذا علمت أن معامل لزوجة الهواء عند هذه الدرجة هو 182 × 10-6 بواز وكثافته 13 × 10-4 جم / سم3 ويتحرك فى أنبوبة قطرها 1 سم.
الحل : تكون حركة الهواء داخل الأنبوبة حركة دوامية إذا كان عدد رينولدز اكبر من 3000 أى أن :


         اى ان           
قياس معامل اللزوجـــــــــة :
        طريقة بوازيل :
إذا كان لدينا أنبوبة شعرية نصف قطرها r وطولها L , ويسير بها سائل معامل لزوجته η تحت فرق ضغط معين ΔP , انه يمكن تعيين معامل اللزوجة η باستخدام قانون بوازيل على الصورة :


حيث يمثل   معامل مرور السائل ( v حجم السائل الذى يمكن جمعه فى زمن t ) وفرق الضغط  فى هذه الحالة = h ρ g ( ρ هى كثافة السائل , g عجلة الجاذبية الأرضية ). ونصف القطر r يمكن تعيينه بواسطة وزن كمية من الزئبق تملأ طولا معينا من الأنبوبة الشعرية ولكى تظل h ثابتة يوضع السائل فى حوض R يصب فيه صنبور T بمعدل أكبر من معدل تصرف السائل بحيث يسمح للزائد من السائل بالتصرف عن طريق الأنبوبة الواسعة التى تخترق الخزان.
        طريقة ستوكس :

إذا سقطت كرة معدنية نصف قطرها r وكثافة مادتها   وكتلتها m فى إناء به سائل لزج كثافته   ومعامل لزوجته η فان قوة اللزوجة F التى تؤثر إلى أعلى فى عكس اتجاه حركة الكرة قد عينها ستوكس على الصورة :
F = 6   r η v
حيث v سرعة الكرة, وقد لوحظ أن هذه السرعة تزداد تدريجيا حتى تصل بعد مدة إلى قيمة ثابتة تسمى السرعة النهائية. عندئذ ستصبح الكرة الساقطة خلال السائل متحركة بسرعة منتظمة هى السرعة النهائية v . بمعادلة قوة وزن الكرة إلى أسفل مع قوة اللزوجة F وقوة الدفع u إلى أعلى نجد أن :
m g = F + u

 من هذه المعادلة يمكن إيجاد معامل اللزوجة η وهو يساوى :
η= 2/9   r^2/v  g  (ρ_s- ρ_L )
كما تستخدم المعادلة السابقة أيضا لتعيين السرعة النهائية v لكرة الهابطة فى سائل تقل كثافته عن كثافة الكرة. وتجدر الشارة هنا إلى أن هذه العلاقة تظل صالحة لتعيين كل من معامل اللزوجة η والسرعة النهائية v طالما أن هذه السرعة لا تزيد عن الحد الذى يحدث عنده دوامات فى السائل.
وربما يكون من المفيد بيان إلى أى درجة يمكن استخدام معادلة الأبعاد فى استنتاج قانون ستوكس. لإيضاح ذلك فأننا نعلم أن قوة اللزوجة F تعتمد على نصف قطر الكرة r . ولهذا فانه يمكننا كتابة معادلة الأبعاد لقوة اللزوجة على الصورة :

حيث أن   , β , γ هى أعداد غير معروفة , k هو معامل عددى


وبمساواة أبعاد الكتل M فى الطرفين نجد أن : β =                 
وبمساواة أبعاد الطول L فى الطرفين نحصل على :           
وبمساواة أبعاد الزمن T يكون                                   
وبحل هذه المعادلات نحصل على          
بالتعويض فى معادلة قوة اللزوجة نجد أن :

وكما هو واضح فان طريقة الإبعاد لا تمكننا من تحديد قيمة المعامل العددي k ولا بد من استخدام طريقة أخرى كاملة كالتي استخدمه ستوكس والتي حددت قيمة المعامل k بالمقدار 6 π  كما ذكرنا سابقا , ويصبح قانون ستوكس على الصورة : F = 6 π r η v .
مثال ( 3 ) : أنبوبة شعرية أفقية طولها 20 سم وقطرها 2 ملليمتر , وصل احد طرفيها بخزان من الماء وترك الطرف الأخر معرضا للجو , وكان ارتفاع الماء الخزان 40 سم فوق الأنبوبة الشعرية واستمر ثابتا طيلة التجربة. احسب معدل انسياب الماء خلال الأنبوبة إذا علمت أن معامل لزوجة الماء = 13 × 10-4 داين . ث / سم2.
الحل : بتطبيق قانون بوازيل نجد أن :
                  معدل انسياب الماء   =  
                                    =    = 5.9 سم3 / ث
 مثال ( 4 ) :احسب السرعة النهائية لكرة من الصلب قطرها 4 ملليمتر تسقط فى خزان من الجلسرين أذا أعطيت المعلومات الآتية:
كثافة الكرة = 8 جم / سم3، كثافة السائل = 1.3 جم / سم3, معامل لزوجة السائل = 8.3 بواز
الحل : باستخدام قانون ستوكس فانه يمكن إيجاد السرعة النهائية من المعادلة
η= 2/9   r^2/v  g  (ρ_s- ρ_L )
= 
ثالثا : التوتر السطحى
تتميز قوى الجذب بين جزيئات السائل بأنها ذات مدى قصير يقدر بحوالى 1.6 × 10-7 سم. ولهذا فان أى جزئ داخل السائل يتعرض لتأثير قوى الجذب من الجزيئات التى تحيطه منم كل جانب والموجودة فقط فى دائرة التأثير. وتكون محصلة هذه القوى مساوية للصفر. أما بالنسبة لجزئ ( B ) عند السطح ( كما فى الشكل ) فان عدد الجزيئات الجاذبة فى النصف الأسفل من دائرة التأثير يكون أكبر من عدد الجزيئات فى النصف العلوى ولذلك فان الجزئ ( B ) يتعرض لقوة جذب إلى أسفل.
وبالمثل تتعرض جميع جزيئات سطح السائل إلى قوة مماثلة فى اتجاه السائل. وبعبارة أخرى يمكن القول أن سطح السائل يميل إلى أن يتقلص مما يؤدى إلى زيادة طاقة الجهد لدى جزيئات السطح؟
من هذا يتضح انه لزيادة سطح السائل يلزم بذل شغل , ويعرف الشغل المبذول لزيادة مساحة سطح سائل معين بمقدار وحدة المساحات بالتوتر السطحى للسائل S ووحداته هى الأرج / سم2.
ويمكن إيضاح ظاهرة التوتر السطحى بالتجربة التالية : لنأخذ سلك على شكل حرف u ينزلق على ساقية سلك خفيف طوله L ووزنه w¬1 . أذا غمست هذه المجموعة فى محلول الصابون ثم رفعت فان طبقة من المحلول تتكون داخل برواز السلك ونلاحظ أن طبقة المحلول تشد السلك الأفقى إلى أعلى . فإذا أضفنا أوزانا w2 لاستعادة السلك إلى مكانه ولزم لذلك إزاحة السلك مسافة ∆ x فانه حسب تعريف التوتر السطحى S نجد أن :

حيث القوة F = w2 + w1 هى مقدار القوة اللازمة لجعل السلك المنزلق يثبت فى أى وضع افقى. كما تجدر ملاحظة أن الطول الكلى الذى تؤثر عليه قوة جذب السائل للسلك هو 2 L حيث أن لطبقة السائل سطحين.
وتعطينا المعادلة ( 1 ) تعريفا أخر للتوتر السطحى بأنه عبارة عن القوة التى تؤثر على وحدة الأطوال من سطح السائل فى اتجاه عمودى على هذه الطول وتكون وحدة التوتر السطحى حسب هذا التعريف هى داين / سم .
ويعزى إلى خاصية التوتر السطحى الكثير من الظواهر المشاهدة عمليا مثل الخاصة الشعرية وهى ارتفاع السوائل فى الأنابيب ذات المقاطع الصغيرة وارتفاع الماء فى التربة وفى سيقان النباتات.
الخاصة الشعرية :

 ( زئبق )                                                                       ( ماء )
أذا وضعا كمية من الماء فى وعاء زجاجى فأننا نلاحظ أن سطح الماء عند حافة التلاصق بين الماء وجدران الوعاء ترتفع قليلا حتى تلتصق تماما بالجدران ( شكل أ ). ويعنى ذلك أن جذب الزجاج للماء أكبر من قوى التجاذب بين جزيئات الماء. ومن ناحية أخرى أذا كمية من الزئبق فى وعاء زجاجى ( شكل ب ) فأننا نلاحظ أن سطح الزئبق ينخفض فى الجزء الذى يحدث فيه التلامس بينه وبين الجدار الزجاجى. فإذا رسمنا مماسات لسطح السائل عند نقطة تماسه مع جدران الوعاء فان زاوية التلامس θ تقاس من السطح الصلب الملامس للسائل حتى المماس من جهة السائل. وتتغير زاوية التلامس من سائل إلى أخر كما أنها تتغير لنفس السائل أذا تغيرت درجة نقاوته. والسوائل التى لها زاوية تلامس اقل من 90 ْ تميل إلى الانتشار على سطح الجسم الصلب الملامس أما السوائل التى لها زاوية تلامس اكبر من 90 ْ فإنها تحاول أن تأخذ أشكالا كروية عندما تلامس سطحا صلبا.
والآن أذا غمرنا أنبوبة شعرية نصف قطرها r راسيا فى حوض به سائل فان السائل يرتفع فى الأنبوبة أذا كانت زاوية تلامسه مع الزجاج اقل من 90 ْ , ويستمر الارتفاع حتى تتعادل قوة التوتر السطحى S مع وزن عمود السائل. كما هو واضح من الشكل فان قوة التوتر السطحى S تؤثر فى اتجاه يصنع زاوية التماس θ مع الاتجاه الراسى , وتكون قوة الجذب إلى أعلى نتيجة للمركبة الرأسية للتوتر السطحى هى 2 π r S Cos θ ووزن عمود السائل المتعادل معها هو π r2   h g حيث   كثافة السائل و h ارتفاعه فى الأنبوبة و g عجلة الجاذبية أى أن :
2 π r S Cos θ = π r2 ρ h g

وإذا كان السائل المستخدم هو الماء فان زاوية التلامس تساوى صفر ,   = 1

والمعادلة ( 2 ) تصلح لذلك لحالات السوائل التى تنخفض فى الأنبوبة الشعرية مثل الزئبق حيث زاوية التماس اكبر من 90 ْ وتكون Cos θ سالبة القيمة. وهذا يفسر الحصول على قيمة سالبة للمقدار h .
مثال : اوجد مقدار الانخفاض فى سطح عمود من الزئبق داخل أنبوبة زجاجية قطرها الداخلى 0.4 ملليمتر وضعت رأسيا وطرفها السفلى منغمر فى حوض زئبق أذا كانت كثافة الزئبق 13.6 جم / سم3 وتوتره السطحى 490 داين / سم وزاوية التلامس تساوى 130 ْم.
الحل : من المعادلة ( 2 ) يمكن كتابة الانخفاض h على الصورة :
   =  = 2.4 cm
زيادة الضغط داخل فقاعة :
يعزى كذلك إلى ظاهرة التوتر السطحى حقيقة وجود فرق فى الضغط أسفل منحنى يفصل بين مائعين. ولنأخذ مثالا لذلك فقاعة من الصابون نصف قطرها  r تكونت فى الهواء ,وكان ∆P هى زيادة الضغط P2 داخل الفقاعة عن الضغط P2 ( الضغط الجوى ) خارج الفقاعة. وكما هو واضح من الشكل فان نصف الفقاعة الأيمن يكون فى حالة اتزان تحت تأثير قوتين متساويتين هما :
        قوة التوتر السطح الموجودة على محيط التماس بين نصفى الفقاعة وتساوى 2. S. 2 π r . حيث S هو التوتر السطحى لمحلول الصابون وحيث للفقاعة سطحين داخلى وخارجى.
        قوة الضغط إلى اليمين وتساوى ∆P. A حيث A مسقط المساحة على المستوى الراسى .
( P2 - P1 ) π r2 = 2. S. 2 π r  أى أن:                    

وفى حالة قطرات السائل الكروية أو فقاعات الهواء المتكونة داخل سائل حيث يوجد سطح واحد فقط فان معادلة الاتزان تصبح على الصورة :

مثال : احسب الزيادة فى الضغط داخل قطرة من الزئبق نصف قطرها 4 مم أذا كانت قوة التوتر السطحى للزئبق 465 داين / سم ؟
الحل : بالتعويض فى المعادلة ( 4 ) ينتج أن :
الزيادة فى الضغط  =    = 2325 داين / سم2
رابعا : حركة الماء فى الأنابيب:
ذكرنا فيما سبق أن لزوجة السائل وسرعة حركته فى الأنابيب تحدد طبيعة انتقال السائل خلال الأنابيب . وبالنسبة للماء أذا أهملنا تأثير مقاومة اللزوجة لصغرها وتتبعنا حركة حجم صغير من نقطة إلى أخرى فأننا نلاحظ انه يتبع نفس خط الانسياب الذى اتبعته أجزاء الماء السابقة. ويكون انتقال الماء فى هذه الحالة من نوع
 الانسياب الثابت ويتميز بان سرعة مرور الماء عند مقطع ما فى الأنبوبة تظل ثابتة.
 لنختبر الآن حالة السريان المستقر للماء فى أنبوبة يتغير مقطعها عبر بعض أجزائها كما هو موضح بالشكل. فإذا كانت سرعة الماء عند مروره فى الاتجاه العمودى على المستوى A هى V1 وسرعته عند المستوى B  هىV2  وكانت مساحة مقطع الأنبوبة عند A هى a¬1 , b1 عاى الترتيب , فان كتلة الماء التى تمر بالمقطع A فى زمن معين t يجب أن تكون مساوية لكتلة الماء الذى يمر بالمقطع B فى نفس الزمن , أى أن :
V1 a1 ρ t = V2 a2 ρ t 
حيث ρ هى كثافة الماء. وتسمى هذه المعادلة بمعادلة الاتصال , ومنها ينتج أن :
V1 a1 = V2 a2 ثابت =          
وتعنى هذه النتيجة أن سرعة مرور الماء تتناسب عكسيا مع مساحة مقطع الأنبوبة التى يمر فيها.
معادلة برنولى:
تعتبر معادلة برنولى أساسا لدراسة حركة السوائل فى الأنابيب حيث أنها تربط بين الضغط والسرعة والارتفاع عند نقطة على خط انسياب السائل. لاستنتاج هذه المعادلة سوف نعتبر انتقال السائل فى الأنبوبة سريان بين المستويين A , B كما هو موضح بالشكل.
أذا كانت P1 هو الضغط , a1 مساحة المقطع , V1 سرعة جسيمات السائل عند المستوى A وكانت V2 , a2 , P2 هى القيم المناظرة عند المستوى B وكان ارتفاع طرفى الأنبوبة عن سطح الأرض هما h1 و h2 فأننا يمكننا تطبيق قانون بقاء الطاقة على حركة كمية من السائل كتلتها ∆m دخلت المقطع A فى لحظة معينة , ونظرنا لعدم تضاغط السائل فان كمية مماثلة ∆m تخرج من المقطع B فى نفس اللحظة ,حينئذ يكون
 الشغل المبذول فى نقل الكتلة من A إلى B عبارة عن :
        شغل تبذله قوة الجاذبية ويساوى ∆ m g (h1 - h2)
        شغل تبذله القوتان P1 a1 و  P2 a2ويساوى P1 a1 V1 ∆ t - P2 a2 V2 ∆ t
حيث a1 V1 ∆ t تمثل   و ρ كثافة السائل
ونتيجة لهذا الشغل تتغير طاقة حركة الكتلة ∆ m بمقدار   
وبتطبيق قانون بقاء الطاقة يكون :
الشغل المبذول = التغير فى طاقة الحركة

وبضرب طرفى المعادلة فى الكثافة ρ فأننا نحصل على معادلة برنولى التى تدل على حالة السائل عند أى نقطة معينة داخل الأنبوبة , ويمكن كتابتها على الصورة :
(2)                 P + ρ g h +   ρ v2ثابت  =         
ومن الواضح أن معادلة برنولى صحيحة فقط فى حالة السريان المستمر لسائل.
وإذا كلن السائل هو الماء فان المعادلة تصبح :
            ثابت =                 P + g h +    v2                    ( 3 )


تطبيقات قانون برنولى :
        مقياس اختلاف الضغط الفنتورى :
أذا كان الماء ينتقل فى أنبوبة ملساء أفقية ذات اختناق عند المقطع B فأنة بتطبيق قانون برنولى عند A و B  ينتج أن :



وكما هو معروف من معادلة الاتصال فان سرعة مرور الماء تتناسب عكسيا مع مساحة مقطع الأنبوبة التى يمر بها , ويكون :
             ( 4 )
ويصبح من السهل قياس اختلاف الضغط عند المقطعين A و B فى أنبوبة سريان الماء.
        نظرية تورشيللى :
يمكن تطبيق قاعدة برنولى لحساب معدل خروج الماء من فتحة أسفل خزان ارتفاع الماء فيه هو h . فإذا كانت سرعة الماء عند قمة الخزان هى V1 وسرعة خروجه من الفتحة هى V2 فان :

حيث أن السائل معرض لنفس الضغط الجوى عند القمة وعند الفتحة فان :
                       ( 5 )
وحسب معادلة الاتصال يمكن إهمال V1 بالنسبة إلى V2 نظرا لكبر مساحة المقطع عند قمة الخزان وبذلك تصبح المعادلة ( 5 ) :

وتعنى هذه العلاقة أن معدل خروج الماء من الفتحة يتوقف فقط على ارتفاع السائل داخل الخزان.
مثال ( 1 )  : ينتقل الماء خلال أنبوبة ملساء أفقية مساحة مقطعها 12 سم2 بسرعة قدرها 50 سم / ث , فإذا قابل مسار الماء بعد ذلك اختناق فى الأنبوبة مساحة مقطعه 4 سم2 , فاحسب مقدار الاختلاف فى الضغط الذى يسجله مقياس فينتورى عند مكان الاختناق فى الأنبوبة؟
الحل :
أذا كان الضغط عند A1 هو P1 وعند A2 هو  P2فان ( كما واضح من الرسم ) مقياس فنتورى سوف يسجل فرق انخفاض الضغط عند الاختناق بحيث :

بالتعويض ينتج أن :

                                                                          = 200 dyne / cm2   
وباستخدام معادلة الأبعاد يمكن اختبار صحة الوحدات المستخدمة بكتابة المعادلة الابعادية على الصورة :
                            [ ∆ P ] = [ ρ ] [ v ]
                            [ ∆ P ] = [ M L- 3 ] [ L2 T- 2 ]
                                       = [ M L- 1 T- 2 ]     dyne / cm2
مثال ( 1 ) : احسب السرعة التى يتدفق بها الماء من فتحة صغيرة أسفل خزان ارتفاع الماء فيه 20 مترا .
الحل :  


مثال ( 2 ) : احسب السرعة النهائية لكرة من الصلب قطرها 4 مم تسقط فى خزان مملؤ بالجلسرين. اذا علمت ان كثافة الكرة تساوى 8 جم / سم3 , كثافة السائل تساوى 1.2 جم / سم3 ، معامل لزوجة السائل تساوى 8.3 بواز.
الحل :


مسائلة : سرعة الدم فى الشريان التاجى 35 سم / ث ونصف قطر الشريان 20 مم . اذا تفرع منه 40 شعيرة نصف قطر كل منها 5 مم . احسب تدفق الدم فى الشعيرات مع بيان اهمية ذلك.
اولا : قياس كميات الحرارة :  Heat Measurement
عندما يوضع جسم ساخن بحيث يلامس جمسا أخر بارد ذات درجة حرارة الجسيم الساخن تنخفض بينما ترتفع درجة حرارة الجسم البارد حتى تصل درجة حرارة كليهما إلى درجة نهائية واحدة تقع بين درجتى حرارة الجسم الساخن والبارد. يعنى ذلك إلى أن الجسم الساخن يفقد كمية من الحرارة بينما يكتسب الجسم البارد هذه الكمية من الحرارة ومن المسلم به أن كتلة كل من الجسمين لا تتغير بانتقال الحرارة من أيهما إلى الأخر ولذلك يقال أن الحرارة ليس لها كتلة يمكن قياسها.
ويمكننا بالتالى أن نستنتج أن السعة الحرارية للمادة تتوقف على نوع المادة . وتعرف السعة الحرارية بأنها كمية الحرارة اللازمة لرفع درجة الحرارة للجسم كله درجة مئوية فإذا كانت كتلة المادة 1 حم فان السعه الحرارية تساوى ما يعرف باسم الحرارة النوعية للمادة فان الحرارة النوعية Specific Heat للمادة بأنها كمية الحرارة اللازمة لرفع وحدة الكتلة من المادة درجة واحدة.
وتعرف وحدة قياس كمية الحرارة بأنها كمية الحرارة التى تلزم لرفع أو خفض درجة حرارة 1 جم من الماء درجة واحدة مئوية ووحدة القياس فى النظام الفرنسى تعرف بوحدة السعرCalorie  وفى النظام البريطانى فان وحدة القياس هى الوحدة البريطانية للحرارة British Thermal Unit وتعرف هذه الوحدة بأنها كمية الحرارة اللازمة لرفع وخفض درجة الحرارة باوند واحد من الماء درجة واحدة فهرنهيتية.
وفى التجارب المعملية وجد أن الحرارة التى تلزم لرفع درجة حرارة 1 حم من درجة الصفر المئوى إلى 1م تساوى كمية الحرارة التى تلزم رفع درجة حرارة نفس الكتلة من 99 ْم إلى 100 ْم ولذلك فالقيمة المتوسطة للسعر يمكن الحصول عليها بقسمة كمية الحرارة التى تلزم لرفع درجة حرارة جرام من الماء من درجة الصفر إلى 100 ْم على عدد الدرجات المناظرة لهذا المدى . وقد وجد عمليا أن هذه القيمة تساوى ما يمكن أن يكتسبه جرام واحد من الماء لترتفع حرارته 14.5 ْم إلى 15.5 ْم ولذلك عرف السعر دوليا بأنه كمية الحرارة التى تلزم لرفع آو خفض حرارة جرام واحد من الماء درجة واحدة مئوية.
والسعر عادة يمثل طاقة Energy ويساوى 4.18 إرج (حم . سم/ث).
تغير حالة المادة بتغيرات الحرارة:-
توجد المادة فى إحدى الحالات الثلاث الصلبة أو السائلة أو الغازية وعندما تتحول من حالة إلى أخرى فان هذا التحول يكون مصحوبا بامتصاص أو فقد الحرارة كما يكون مصحوبا أيضا بتغيير فى حجم المادة. ولنأخذ لإيضاح ذلك مثلا المركب الكيميائى H2O هذه المادة توجد فى الحالة الصلبة على شكل جليد وفى الحالة السائلة على شكل ماء وفى الحالة الغازية على شكل بخار. وتظل حالة المادة ثابتة تحت ظروف معينة من الضغط ودرجة الحرارة.
يوضح الشكل طبيعة تغير حالة كمية من الجليد عن درجة حرارة 25م نتيجة الارتفاع فى درجة الحرارة. يلاحظ أن درجة الحرارة ترتفع بانتظام بمرور الوقت من النقطة a  إلى النقطة b
حتى تصل إلى درجة الصفر. وبمجرد الوصول إلى هذه الدرجة يبدأ الجليد فى الانصهار متحولا من الحالة الصلبة إلى الحالة السائلة ورغم استمرار معدل تسخين قطعة الجليد إلا أننا نلاحظ أن درجة الحرارة تظل ثابتة عند الصفر حتى يتم تحويل كمية الجليد كلها من الحالة الصلبة إلى ماء عند درجة الصفر. بمجرد انتهاء عملية الانصهار عند النقطة c تبدأ درجة الحرارة فى الارتفاع بمعدل ثابت من c إلى d وهنا يلاحظ أن معدل الارتفاع فى درجة الحرارة من c   إلى d أسرع معدل الارتفاع من a إلى b فذلك لان الحرارة النوعية للجليد اقل منها للماء.
وعندما تصل درجة الحرارة إلى 100م يبدأ تكون بخار الماء ( النقطة d ) وتظل درجة الحرارة ثابتة عند 100م حتى تغلى كل كمية الماء وتتحول كلها إلى بخار (النقطة a )
وبذلك يكون الماء قد تحول من الحالة السائلة إلى الحالة الغازية. وتستغل كمية الحرارة المعطاة بعد ذلك فى رفع درجة الحرارة من e إلى f .
ومع أننا أخذنا الماء كمثال لتتبع تغير الحالة إلا انه على وجه العموم قد وجد أن جميع المواد البلورية تتميز بنقطة انصهار ثابتة ونقطة غليان ثابتة , وتتغير حالتها مع درجة الحرارة بنفس الطريقة الموضحة بالشكل. وبعض هذه المواد يتحلل أو يتفكك قبل أن يصل إلى درجة الانصهار أو درجة الغليان .
وفى المثال السابق أذا أزيل تأثير التسخين وبدأت درجه الحرارة فى الهبوط فان بخار الماء يبدأ فى التكاثف عند e وتظل درجة الحرارة ثابتة حتى تكثيف البخار عند d , وباستمرار التبريد حتى النقطة c فان الماء يبدأ فى التجمد وتستمر عملية التجمد رغم استمرار التبريد حتى النقطة  b , عندئذ يتحول كل الماء إلى جليد.
ويفسر ثبات درجة الحرارة أثناء عملية انصهار الجليد بان الطاقة الحرارية المعطاة تستغل فى التغلب على قوى التجاذب بين الجزيئات وتصبح الطاقة الداخلية للمنصهر اكبر منها للحالة الصلبة.
وتسمى كمية الحرارة L اللازمة لتحويل واحد جرام من مادة ما من حالة الصلابة إلى حالة السيولة دون تغير فى درجة الحرارة بالحرارة الكامنة بالانصهار . وتكون كمية الحرارة اللازمة لانصهار m جم من المادة تحت ضغط ثابت هى:-
                                                                    Q = m L
وقد وجد أن كمية الحرارة اللازمة لانصهار جرام من الجليد تحت ظروف الضغط , الجوى تساوى 80 سعرا , وهى نفسها تساوى كمية الحرارة اللازمة لتجميد واحد جرام من الماء فى درجة الصفر.
وبنفس الطريقة تعرف الحرارة الكامنة للتصعيد عند تحول الحالة السائلة إلى غازية والحرارة الكامنة تتساوى عند تحول الحالة الصلبة إلى حالة غازية.
وكما ذكرنا من قبل , فان الضغط أذا تغير فأنة يؤثر على درجة الحرارة الثابتة التى تتحول عندما المادة من حالة إلى أخرى , ويوضح الشكل تأثير الضغط على نقطة تجمد الماء وفيه تقل نقطه التجمد مع زيادة الضغط وهذا المنحنى يعتبر مثالا للحالات يزيد فيها حجم السائل بعد تجميده أو تحويله إلى الحالة الصلبة .
أما أذا كان السائل يقل حجمه أذا تحول إلى الحالة الصلبة كما هو الحال فى معظم المواد فان زيادة الضغط P سوف ترفع درجة التجمد كما هو موضح بالشكل ويعمل الضغط فى كلتا الحالتين على تقييد حرية الحركة للجزئيات المكونة للمادة .