أنواع حركة الأجسام

 
أنواع حركة الأجسام
        الحركة الخطية :
أذا تحرك جسم مادى على خط مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة فأننا نسمى هذه الحركة بالحركة الخطية. وإذا كانت V1 و V2 تمثلان سرعة الجسم عند الزمنين T1 و T2 على التوالى، وكانت T = T2 – T1 , فان معادلات الحركة الخطية يمكن استنتاجها على الصورة :
        V2 = V1 + a T
        S = V1 T + ½ a T2
         
حيث S تمثل إزاحة الجسم , a تمثل عجلته. وتستخدم هذه المعادلات أيضا لدراسة حركة الأجسام فى مسار منحنى وبالأخص لدراسة حركة المقذوفات.
        الحركة الدورانية :
يطلق على حركة الأجسام التى تدور على محور ثابت اسم الحركة الدورانية أو الحركة الزاوية. وتكون سرعة الجسم الزاوية w  =   , حيث θ هى الزاوية التى يدورها الجسم فى زمن t . وتقدر وحدات السرعة الزاوية بوحدات زاوية نصف قطرية فى الثانية ( radios / sec ).
ولإيجاد العلاقة بين السرعة الزاوية والخطية نفرض أن oz يمثل بعد نقطة ثابتة z فى الجسم المتحرك عن موقع المحور 0 الذى يدور حوله الجسم. أثناء دوران الجسم سوف تتحرك النقطة z على محيط دائرة نصف قطرها oz = r وتقطع المسافة   فى زمن قدرة t بحيث يكون   ، وتصبح العلاقة بين السرعة الخطية V والسرعة الزاوية w هى :
                     
أى أن السرعة الخطية = السرعة الزاوية × نصف القطر
كذلك يمكن أثبات أن العجلة الخطية = العجلة الزاوية × نصف القطر
        الحركة الدائرية:
يقال جسما ما يتحرك بسرعة ثابتة أذا كان كل من مقدار السرعة واتجاهها ثابتين، وعلية تكون سرعة الجسم متغيرة أذا تغير مقدارها واتجاهها أو كلاهما معا، ويعطينا معدل هذا التغير قيمة العجلة التى يتحرك بها الجسم، ويلزم لأحداث هذا التغير قوة تؤثر على حركة الجسم. وتعتبر الحركة المنتظمة لجسم على مسار دائرى أحد أنواع الحركة التى تتغير بقيمة عددية ثابتة للسرعة فى الوقت الذى يتغير فيه اتجاه الحركة بصفة مستمرة تحت تأثير قوة تسمى القوة الجاذبة المركزية.
وأن أذا اعتبرنا حركة كرة صغيرة كتلتها m على محيط دائرة نصف قطرها r بسرعة منتظمة قدرها V فانه لحساب القوة الطاردة المركزية نبدأ أولا بتعيين العجلة التى يتحرك بها هذا الجسم مقدارا واتجاها.
يوضح الشكل مقدار إزاحة الكرة من الوضع P إلى الوضع   فى زمن t ويكون   ويلاحظ أن مقدار الزاوية مقدار الزاوية θ التى دارها الجسم حول المركز 0 تساوى الزاوية بين متجهى السرعة عند P ،   وينتج من المثلثين O P   ،M N    ان :
     
حيث أن التغير فى سرعة الجسم ∆ V خلال الفترة الزمنية t يساوى t   فان قيمة العجلة   التى يتحرك بها الجسم تعطى من المعادلة :
  
حيث V = w r . وعندما تكون النقطة   قريبة جدا من  P فانه يمكن أثبات أن اتجاه العجلة   التى يتحرك بها الجسم يكون دائما نحو مركز الدائرة o .
وباستخدام قانون نيوتن لإيجاد القوة الجاذبة المركزية F التى تسبب الحركة المنتظم للجسم على مسار دائرى نجد أن مقدار القوة :    ويكون اتجاهها أيضا فى اتجاه نصف القطر نحو مركز الدائرة.
وتجدر الإشارة إلى انه فى نفس التوقيت الذى توجد فيه قوة جاذبة فى اتجاه المركز توجد أيضا - طبقا لقانون نيوتن الثالث - قوة رد فعل تعمل فى الاتجاه المضاد إلى الخارج وتسمى بالقوة الطاردة المركزية.
Fc =      M L T-2
    dyne تكون   
حيث أن :
Fc     = القوة الطاردة المركزية بالداين    V      = السرعة بالسنتيمتر
M     = كتلة الجسم بالجرام r       = نصف قطر الطرد بالسنتيمتر
وباستخدام المعادلات                       w = 2  n             أو       
ويمكن وضع المعادلة بالصورة الآتية:                         n)² r  Fc = m (2
                                                                       Fc = m   r
ويمكن تطبيق المعادلات السابقة فى كثير من الأجهزة المتطورة وأمثلة لهذه الأجهزة :
        جهاز فصل الغرويات والسوائل             فراز اللبن وفراز العسل              مجفف الزبدة
        وجهاز تقدير المكافئ الرطوبى              طلمبات الطرد        جهاز التحكم فى البخار
        جهاز فصل السوائل أو الغرويات : Centrifuge
لكل أجهزة فصل السوائل والغرويات يستخدم الطرد المركزى كوسيلة لإسراع عملية الفصل وأساس الفصل انه أذا تعرض مخلوط من سائلين مختلفي الكثافة كالدهن العالق فى الماء أو الزيت فى الماء لتأثر الطرد المركزى فان السائل الأكبر كثافة يطرد للخارج بقوة اكبر لأنه متعرض لقوة طرد اكبر(Fc).
Fc = m w2 r                                        
وزيادة الكثافة ترفع من قيمة الكتلة فى الوحدة الحجميه يطرد السائل الأكثر فى كثافته إلى الخارج بينما يظل الأقل كثافة أقرب للمحور.
ولإجراء عملية الفصل يوضع المخلوط فى أنبوبتين زجاجيتين أو من البلاستك أو P V C
فى جرابين يتحركان بحرية إلى محور مثبت فى النهاية ساق مثبته فى منتصفها فى محور راسي يتصل بعدد من التروس تتصل بيد أو بموتور كهربى بحيث يمكن عند إدارة اليد أو الموتور تحريك المحور الرأسى بالسرعة وعندما تدور التروس ويتحرك المحور الذى يحرك بدوره الجرابين وتأخذ الأنبوبتين الوضع الافقى يصبح السوائل المكونة للمخلوط تحت رحمة القوة الطاردة المركزية.
                 الوضع المتحرك                    حامل أفقى


     أنبوبة         جراب   محور
                               الدوران
                                                                   الوضع الثابت

       علبة بها مجموعة  
               تروس      
                                      يد الدوران            


ويستعمل الجهاز فى فصل وترسيب المعلقات Suspensions   بسرعة ولنا عودة عند حساب سرعه سقوط الحبيبات فى معلقاتها.
وقد يستخدم الجهاز فى فصل حبيبات الطين فى معلقاتها أو عند تحليل البول لفصل بويضات البلهارسيا أو فى تنقيه السكر وفصل السكر السنترفيش فى مصانع السكر أو فصل مستحلبات لزيوت.
وتحت هذا النظام من الأجهزة يمكن أن يوضع بالإضافة إلى ما سبق:-
        جهاز تنقيه زيت الموتور فى بعض الجرارات :
والفكرة الأساسية أن تدور اسطوانة مثقبه حول محور ثابت متصلة بمحور الدوران فى الموتور وتدور الاسطوانة المثقبة بسرعة داخل وعاء خارجى ويدفع الزيت إلى الاسطوانة فيمر من الثقوب فإذا احتوى بعض الأتربة تدفع بعيدا عن الزيت لتصدم الوعاء الخارجى وتتجمع فيه بينما يتحرك الزيت النظيف ليعيد دورته فى محرك الجرار.
        جهاز الطرد المركزى لفصل وتقدير نسبه الطين فى التربة
على نفس الأساس يمكن استخدام أجهزه الطرد المركزى لفصل وتقدير بنسبه الحبيبات الدقيقة فى معلقات من التربة تعجز طرق الفصل العادية فى فصلها.
وقد أمكن فى بعض أجهزه الفصل الحديثة التحكم فى عدد اللفات وزمن الدوران وأكثر من ذلك درجه الحرارة حتى تتم عملية الفصل تحت لزوجة أو كثافة للسوائل محددة أذا أصبح التركيز على أجهزة الطرد المركزى فى جميع المعامل الحديثة بدلا من عمليات الترشيح والترسيب والغسيل والترويق والفصل وغيرها من العمليات.
        جهاز فراز اللبن Cream Separator :
لما كانت الطريقة المعروفة إلى الآن لفصل قشدة اللبن هى ترك اللبن فى الأوانى دون أن يحرك حتى تستطيع حبيبات الدهن الأخف فى كثافتها عن باقى سائل اللبن أن تطفو وتتجمع على شكل قشدة فوق السطح ليمكن فصلها وعملها زبده وهى طريقه تتطلب الكثير من الوقت فيتعرض اللبن للحموضة العالية من جهة وعمليه الفصل وتتم بالدرجة الاقتصادية إذ تصل  كبيرة من الدهن فى اللبن لذلك اتجه العلم لفصل قشدة اللبن باستخدام فراز اللبن الذى يكون من:
        علبة الفرز :
وتتكون من وعاء كبير يوضع به اللبن المراد فرزة ثم ينزل اللبن فى أنبوبة مثقبة تدار بسرعة فينتشر اللبن على صفائح مخروطية بها ثقوب فى مستويات مختلفة وتدار الصفائح بسرعة فتخرج القشدة من الفتحة العلوية نظرا لان كثافتها منخفضة فتطفو فوق اللبن متجهة إلى أعلى بعيدا عن محور الدوران فتخرج من الفتحة العلوية من خلال أنبوبة سكب القشدة. أما اللبن المنزوع الدسم (اللبن الفرز) نظرا لكثافته العالية يطرد بعيدا عن مركز الدوران ليخرج من الثقوب والمجارى التى فى أسفل.
            كما هو مبين بالرسم
                                              وعاء اللبن

         أنبوبة سكب القشدة                                    صنبور
أنبوبة سكب اللبن الفرز                                             الوعاء المخروطى
                                                                                الخارجى

                                   اللبن                           صمام الفصل      
                                     المحور متصل بجهاز الدوران
جهاز فراز اللين
        جهاز الإدارة :
من عدد من التروس تتصل بالمحور الرأسى الذى بحرك الصفائح فى علبة الفرز ويتحكم فى سرعه دوران الصفائح حتى يمكن التحكم فى كفاءة عملية الفرز وفصل الدهن فى اللبن الفرز وعند سرعه محددة يصدر من الجهاز صوت يعبر أن سرعه الدوران قد وصلت إلى الحالة التى يبدأ عندها عملية الفرز المطلوبة .
ويفصل بين حوضى اللبن وصفائح الفرز صنبور يفتح عندما تمثل سرعه الفراز السرعة المثالية أو عندما يراد تقليل كمية اللبن السائل إلى الصفائح.
وقد يدار الجهاز باليد أو باستخدام موتر كهربى يمكن التحكم فى سرعه دورانه وكلما كبر نصف قطر الطرد كلما تطلب الفرز بسرعة اكبر لذلك تكون الفرازات الصغيرة هى التى يمكن إدارتها باليد وتتوقف N عدد اللفات فى الثانية على نصف قطر صفائح الفرز حسب المعادلة.
Fc = 
Fc = n w2 r dyne
         جهاز تجفيف الزبدة-: Butter Drier  
الفكرة الأساسية فى الجهاز انه سلة اسطوانية الشكل من السلك الشبكى تدور حول محور يتحرك بسرعة لتدور السلة بسرعة . توضع الزبده فى السلة وتدور الاسطوانة بسرعة حتى تتعرض الزبده داخل السلة إلى طرد المركزى يؤدى إلى انفصال حبيبات الماء لتخرج من السلة وتتجمع فى الغلاف الخارجى.
ويشبه الجهاز جهاز تجفيف الملابس بالطرد المركزى وجهاز فصل الشمع من عسل النحل حيث يمر العسل من ثقوب السلة ليتجمع فى الوعاء الخارجى ويظل الشمع داخل السلة.
         جهاز تقدير المكافئ الرطوبى International Centrifuge :-
يتركب الجهاز من غلاف خارجى يدور بداخلة اسطوانة من معدن لا يصدا يمكن أن يوضع بها 16 علبة من المعدن الذى لا يصدا قاعها من السلك . يثبت فى القاع قطعه من ورق الترشيح وتوضع التربة فى العلبة وتشبع الرطوبة ثم تعرض للطرد المركزى فى جهاز الطرد معلومInternational Centrifuge   يدور 2400 دورة فى الدقيقة لمده 20 دقيقة وهى مدة تكفى لطرد الماء الممسوك بقوة اقل من 0.33 ضغط جوى.
        طلمبات الطرد  -:Centrifugal Pumfa
تتكون الطلمبة من علبة مقفلة بها فتحه قوية مثبت عليها ماسورة (أنبوبة) الطرد وفتحة وسطية تتصل بماسورة السحب . وداخل العلبة محور من الصلب يتصل بمروحة من عدد من الريش الحديد . يتصل المحور بعجلة تديرها الآلة البخارية أو الموتور أذا كانت المروحة تدار بواسطة الكهرباء.
وتنتهى أنبوبة السحب بصمام يسمح بدخول الماء ولا يسمح بخروجه وبذلك تظل العلبة مملؤه بالماء وعندما تدور المروحة تدفع الماء من أنبوبة الطرد وفى نفس الوقت تعمل المروحة بتأثير الطرد المركزى على سحب تيار مستمر من الماء من أنبوبة السحب وبذالك يستمر تيار دفع الماء.

        جهاز التحكم فى البخار: Steam governor
فى الآلات البخارية يستخدم الطرد المركزى للتحكم فى فتحة دخول البخار حيث تتصل تروس الآلة البخارية بعمود يعمل عمل محور يثبت به ساق يتصل بطرفيها ذراعين كل منهما حر الحركة وبنهاية كل زراع ثقل. عندما يدور المحور بسرعة يدور الساق بسرعة فيتحرك الثقلين بسرعة اكبر ويرتفع العمود الوسطى إلى أعلا محركا الصمام إلى أعلا فيقلل من كمية البخار الداخلية والتى تعمل على تحريك الآلة فتقلل السرعة وينخفض العمود فيزيد البخار الداخل وترتفع سرعة الآلة وبذلك يعمل الجهاز على تعديل السرعة وثباتها. 
        الحركة التوافقية البسيطة :
هناك نوع أخر من الحركة يختلف عن الأنواع السابقة فى أن القوة المؤثرة لا تكون ثابتة ولكنها تتغير حسب تغير أماكن الجسم. مثال ذلك كرة صغيرة كتلتها  m مثبتة فى طرف سلك زنبركى وموضوعة على سطح افقى أملس كما فى الشكل. أذا شدت الكرة إلى اليمين مسافة x ثم تركت لتتذبذب حول موضع الاتزان o فان السلك المرن يبذل قوة استرداد F تعمل دائما فى اتجاه نقطة الاتزان وتعطى من المعادلة :
F = - K X …………( 1 )
حيث K هو ثابت التناسب الذى يسمى بثابت القوة. وتعنى الإشارة السالبة أن اتجاه القوة يكون عكس الاتجاه الذى تزيد فيه الإزاحة x . وبتطبيق قانون نيوتن الثانى حيث F = m a نجد أن العجلة التى تتحرك بها الكرة هى :
             a =                      x = - w2 x……….. ( 2 )
حيث تعنى الإشارة السالبة بالنسبة للعجلة نفس ما تعنيه بالنسبة لقوة الاسترداد.
المعادلتان ( 1 ) و ( 2 ) تصفان الحركة التوافقية البسيطة التى تعرف سعة ذبذبتها بأنها أقصى إزاحة يبلغها الجسم أثناء تذبذبه حول موضع الاتزان , كما أن الزمن الدورى  T لهذه الحركة يعرف بأنه الزمن اللازم لعمل ذبذبه كاملة ويعطى من المعادلة :
T =  
ويلاحظ أن الزمن الدورى لا يتوقف على سعة الذبذبة على عكس ما هو متوقع.
البندول البسيط :
يتكون البندول البسيط من كرة صغيرة الحجم معلقة فى طرف خيط مرن خفيف الوزن ومثبت طرفة الأخر فى نقطة تعليق. أذا ترك الخيط ليسكن فانه يأخذ وضعا راسيا فى حالة الاتزان وإذا شدت الكرة قليلا إلى اليمين ثم تركت لتتذبذب حول موضع الاتزان فانه من السهل أثبات أن حركة الكرة هى حركة توافقية بسيطة كما يلى :
يمثل الشكل بندولا بسيطا كتلته m وطوله L فى وضع يميل بزاوية θ على وضع الاتزان الرأسى. وتكون القوى التى تؤثر على كرة البندول هى قوة الجاذبية الأرضية وقوة الشد فى الخيط T .
 حيث أن الكرة لا يتغير بعدها عن نقطة التعليق أثناء حركتها فان ثوت الشد T تتعادل مع مركبة قوة الجاذبية m g Cos θ وتكون قوة استرداد التى تعمل فى اتجاه المسار الدائري نحو موضع الاتزان هى : F= - m g sin θ
ونلاحظ أن هذه القوة لا تتناسب مع مقدار الإزاحة الزاوية θ ولكنها بدلا من ذلك تتناسب مع جيب زاوية θ. أذن لا تستطيع أن نقول أن الحركة فى هذه الحالة هى حركة توافقية بسيطة. ويمكن التغلب على ذلك فى حالة ما أذا كانت الزاوية θ صغيرة وحينئذ نستطيع القول أن جيب الزاوية θ يساوى تقريبا قيمة الزاوية نفسها مقدرة بالتقدير الدائرى. وفى هذه الحالة يكون :
F = - m g θ = - m g   = -   x
حيث مقدار الإزاحة x على المسار الدائرى = θ L وبتطبيق نيوتن الثانى نجد أن :
 
أى أن العجلة a تساوى :
        
 
وهذا هو شرط الحركة التوافقية البسيطة حيث     ، ويكون الزمن الدورى T فى حالة الإزاحة الصغيرة هو :


ويلاحظ أن الزمن الدورى فى هذه الحالة لا يتوقف على سعة الذبذبة ولا على كتلة البندول البسيط.
مثال : احسب عجلة الجاذبية الأرضية عند مكان فيه بندول بسيط طول خيطه 105 مترا ويعمل 100 ذبذبة فى زمن قدرة 245 ثانية ؟
الحل :
 الوحدة الأولى : الميكانيكاMechanics         
أولا : الوحدات والإبعاد الأساسية:
الكميات الطبيعية:    Physical Quantities
تنقسم الكميات الطبيعية إلى قسمين:
        كميات أساسية:  Fundamental Quantities 
وهى الكميات التي يمكن تعريفها وقياسها دون نسبها لكميات أخرى ابسط منها وهذه الكميات هي الطول (المسافة) والزمن والكتلة.  
        كميات مركبة: Derived Quantities
وهى الكميات التي تقاس وتعرف بدلالة الكميات الأساسية . ومن أمثلتها السرعة وهى المسافة المقطوعة في وحدة الزمن . كمية التحرك وهى حاصل ضرب كتلة الجسم في سرعته.
وحدات الكميات الطبيعية:  Units Of Physical Quantities
هناك وحدات كثيرة يمكن استخدامها لقياس الكميات الأساسية في الطبيعة منها: 
        الوحدات الفرنسية:
وتشمل هذه الوحدات مجموعتين من القياس :
        المجموعة الأولى : يقاس الطول بالسنتيمتر  cm والكتلة بالجرام  gm  والزمن بالثانية  Sec  وتعرف هذه المجموعة من الوحدات بالـــ  C. g. s. System Of Units (سم . جم . ث).
        المجموعة الثانية: يقاس الطول بالمتر  m  والكتلة بالكيلو جرام  Kgm والزمن بالثانية  Sec  ويطلق على هذه المجموعة من الوحدات الـــ   m.k.s  System of Untie(م . كجم . ث)
        الوحدات البريطانية:
وفى هذه الوحدات يقاس الطول بالقدم (F) Foot  والكتلة بالرطل الانجليزي  (P) والزمن بالثانية  Sec  وعلية فوحدات القياس هى  f.p.s
وستكون الوحدات القياسية للكميات الطبيعية التى نتناولها فى مجال دراستنا هى الوحدات الفرنسية نخص منها مجموعة ال C. G. S..
أبعاد الكميات الطبيعية Dimensions Of Physical Quantities :
من التقسيم السابق يتضح أن أى كمية مركبة يستدل عليها بمعرفة الكميات الثلاث الأساسية ولذا فأن أبعاد أى كمية طبيعية تعرف بدلالة العلاقة التي تربطها بالكميات الأساسية  وسنرمز للطول بالرمز  Lوالزمن بالرمز T والكتلة . M
ولمعرفة اعتماد بعد أى كمية طبيعية A على الأبعاد الأساسية T , L , M وكذلك على وحدات قياسها فانه يستعان بما يسمى " بمعادلة الأبعاد " التى تكتب عادة باستخدام أقواس مربعة على الصورة :

وفيها تكون الأسات   كسور او اعداد صحيحة موجبة أوسالبة.
لنحاول الآن تطبيق معادلة الأبعاد لإيجاد أبعاد بعض الكميات الطبيعية :
المساحة : حيث أن مساحة مستطيل مثلا = الطول × العرض, وحيث أن بعد كل من الطول والعرض هو L .
   المساحة = L x L ) ) = L2         وتعنى هذه النتيجة أن بعد المساحة هو مربع الطول.
وبالنسبة إلى لدائرة قطرها D فان :
المساحة =    D2
وحيث أن المقدار    مجرد عدد ليس له أبعاد , فانه بالنسبة إلى الدائرة أيضا يكون المساحة هى L2 أى أن بعد المساحة لأى شكل هندسى هو مربع الطول.
الكثافة :
حيث أن الكثافة =   
     الكثافة =           =  
وإذا اتبعنا نظام الوحدات (سم . جم . ث) فأننا نستطيع التعبير عن هذه النتيجة أيضا بقولنا أن وحدة الكثافة هى جم سم-3 .
الوزن النوعى : يعرف الوزن النوعى لمادة ما بأنة النسبة بين كثافة المادة وكثافة الماء. أى أن :
الوزن النوعى =           =     اى ان الوزن النوعى لا أبعاد له.
السرعة:
تعرف السرعة بأنها =      =       =  
العجلة :
العجلة =       =      
  العجلة =      =     
وتكون وحداتها فى النظام (سم . جم . ث)  هى سم/ث2 بينما تكون وحداتها فى النظام (م . كجم . ث)  هى م/ث2 وترتبط الوحدتان بالعلاقة.
1 م / ث2 = 210 / ث2
القوة : ينص قانون نيوتن الثانى على أن القوة F المؤثرة على جسم كتلة m يتحرك بعجلة a تعطى من المعادلة :   F = m a                                         
بحيث تكون معادلة الأبعاد على الصورة :             (M) (L T-2) = ( F )=   
وتسمى وحدة القوة فى النظام (سم . جم . ث)  بالداين بينما تسمى وحدة القوى فى النظام (م . كجم . ث)  بالنيوتن وتستنتج النسبة بين الوحدتين من معادلة الأبعاد كما يلى :
واحد داين = واحد جم . سم /ث2   ,    واحد نيوتن = واحد كجم . م /ث2
  واحد نيوتن = 510 داين
فإذا اعتبرنا جسما طليقا يسقط نحو سطح الأرض تحت تأثير الجاذبية الأرضية تكون القوة التى تجذب الجسم الساقط نحو الأرض هى :
F = mg
حيث g عجلة الجاذبية الأرضية وتساوى 981 سم / ث2 , أما أذا كان الجسم ممنوعا من السقوط بأن يكون مثبتا مثلا فى الطرف الأسفل لخيط مثبت طرفه العلوى كما هو موضح بالشكل فان القوة الجاذبة إلى أسفل mg سوف تتعادل مع قوة مساوية يبذلها الخيط لشد الجسم إلى أعلى. وهذه القوة تسمى قوة شد الخيط T .
وقوة الجذب التى تؤثر بها الأرض على جسم ما هى التى نسميها بوزن الجسم. وهكذا نرى أن وحدات وزن الجسم هى نفسها وحدات القوة:
الوزن = [mg] = [MLT-2]
وباستخدام وحدات النظام ( سم . جم . ث ) تكون وحدة    الوزن هى الداين.
الشغل والطاقة :
أذا أثرت قوة ما F على جسم فحركته مسافة d فان الشغل المبذول w يتحدد من المعادلة:
W = F Cos θ x d
وتكون معادلة أبعاد الشغل على الصورة:
F                                                        F                          F Sin θ

F Cos θ                                                           

                                                     d
الشغل = [MLT 2] . [L] = [ML2T-2] 
وتسمى وحدة الشغل فى النظام (سم . جم . ث)  بالأرج بينما تسمى فى النظام (م . كجم . ث)  بالجول وتستنتج النسبة بين الوحدتين من معادلة الأبعاد كما يلى :
واحد ارج = واحد جم . سم2 /ث2   ,    واحد جول = واحد كجم . م2 /ث2
  واحد جول = 310 × 410 = 710 ارج
يمكن استنتاج أبعاد الكميات الأخرى بنفس الطريقة.
 ونذكر فى الجدول التالى بعضا من الكميات الفيزيائية مع بيان أبعاد كل منها ووحداتها القياسية فى النظام  .C. G. S.
الكمية الفيزيائية       التعريف       الأبعاد الوحدات (c.g.s)
المساحة
الحجم
الكثافة
السرعة
العجلة
القوة
الشغل
القدرة
الضغط
كمية التحرك
طاقة الحركة
عزم القصور الذاتى  طول × طول
مكعب الطول
الكتلة / الحجم
المسافة / الزمن
السرعة / الزمن
الكتلة × العجلة
القوة × المسافة
الشغل / الزمن
القوة / المساحة
الكتلة × السرعة
½ الكتلة × مربع السرعة
الكتلة × مربع الطول L2
L3
ML-3
LT-1
LT-2
MLT-2
ML2T-2
ML2T-3
ML-1T-2
MLT-1
ML2T-2
ML2  Cm2
Cm3
gm/Cm3
Cm/Sec
Cm/Sec2
gm.Cm/Sec2
gm.Cm2/Sec2
gm.Cm/Sec3
gm/Cm.Sec2
gm.Cm/Sec
gm.Cm2/Sec2
gm.Cm2
ومن الجدير بالذكر أن معادلة الأبعاد لها تطبيقات عديدة فى دراسة الفيزياء والميكانيكا ومن بين هذه التطبيقات ما يأتى :
        اختبار مدى صحة القوانين الفيزيائية :
وذلك بان نعوض بالمعادلة البعدية لكل كمية فى القانون بعد صياغته فى صورة معادلة رياضية وإذا اتفق أبعاد كل من طرفى معادلة القانون دل ذلك على صحة هذه العلاقة.
مثال : باستخدام معادلة الأبعاد اثبت مدى صحة العلاقة الآتية والتى تربط بين زمن الذبذبة للبندول البسيط وبين طول خيطه .
                                       T = 2
حيث : T زمن الذبذبة ، L طول خيط البندول ، g عجلة الجاذبية الأرضية فى مكان التجربة.
الحل : أبعاد الطرف الأيسر فى القانون هى T
أبعاد الطرف الأيمن يمكن كتابتها كما يلى ( بعد استبعاد المقدار الثابت 2  ).


ومن ثم يتضح أن طرفى القانون متساويان مما يحقق صحة القانون المعطى.
        التحقق من المقادير الثابتة التى  تدخل ضمن  أى كمية طبيعية.
وعلى سبيل المثال للتأكد من الثابت 2 π فى مثال البندول البسيط السابق الذكر، فبتطبيق نظرية الأبعاد يمكن التعرف على حقيقة هذا الثابت.
نكتب قانون البندول البسيط على الصورة الآتية :                    
حيث a كمية ثابتة. وبتعيين أبعاد طرفى المعادلة نجد أن :

ويتضح من هذا أن المقدار a كمية عددية فقط لا أبعاد لها وقد وجد عمليا أن قيمة هذا العدد الثابت هو 2 π.
        تعيين أبعاد كمية فيزيائية مجهولة:
هناك العديد لهذا التطبيق سنتناوله بالدراسة لتعيين البعد ( والوحدة القياسية ) لبعض الكميات حين التصدى لها ومن أمثلة ذلك معاملات المرونة ومعامل اللزوجة وغيرها من الكميات الفيزيائية الأخرى.
        الكشف عن قانون فيزيائى جديد:
يمكن تطبيق قانون المعادلة البعدية فى الكشف عن قانون فيزيائى جديد يربط بين عدد من الكميات الفيزيائية والمثال الأتى يوضح نظرية المعادلة البعدية لاستنتاج معادلة ضغط السائل فى الأنابيب الراسية.
مثال : أذا وضع سائل فى أنبوبة راسية ، اوجد ضغط هذا السائل وبمعلومية ارتفاع السائل فى الأنبوبة وكثافة السائل وعجلة الجاذبية الأرضية.
الحل : نفرض ضغط السائل P وارتفاع السائل فى الأنبوبة h وكثافة السائل ρ وان عجلة الجاذبية الأرضية g .
وحيث أن الضغط يتوقف على هذه العوامل الثلاثة فيمكن كتابة معادلة الأبعاد كما يلى :
P = ha . ρb . gc
حيث كل من c , b, a مقادير عددية ثابتة يمكن تعيين قيمة كل منها وذلك بالتعويض عن أبعاد الكميات الأربعة فى المعادلة السابقة.
بعد الطرف الأيسر من المعادلة السابقة هو :                                ML-1T-2
بعد الطرف الأيمن من المعادلة السابقة هو :
La . (ML-3)b .(LT-2)c = La . Mb . L-3b . Lc T-2c
                               = La – 3b + c . Mb . T-2c
وعلية تكتب المعادلة البعدية كالأتى:
ML-1T-2 = La – 3b + c . Mb . T-2c
بمساواة أساس طرفى المعادلة البعدية نجد أن :
a = 1 , b = 1 , c = 1
  P = h . ρ . g
أى أن الضغط يتناسب طرديا مع كل من ارتفاع السائل فى الأنبوبة وكثافة السائل وعجلة الجاذبية الأرضية.


ثانيا : الكميات وانواع الحركة
سبقا أن قسمنا الكميات الطبيعية إلى كميات أساسية وأخرى مركبة من ناحية القياس, إلا أننا نجد بعض الكميات الطبيعية يمكن تعيينها تماما بمعرفة مقاديرها العددية مثل الكتلة والزمن والمسافة, وهذه الكميات تسمى بالكميات الغير متجهة scalars فى حين أن كميات أخرى كالسرعة والعجلة والقوى لا يكفى لتعيينها معرفة قيمتها العددية فحسب بل يتحتم معرفة اتجاهاتها أيضا, وهذه الكميات تعرف بالكميات المتجهة Vectors.
بالنسبة للكميات غير المتجهة فان جمعها أو طرها هى عملية جبرية بسيطة أما فى حالة الكميات المتجهة فانه لإضافة متجهين أو أكثر فان الاتجاه لا بد أن يأخذ فى الاعتبار وهناك طريقتان لجمع المتجهات.
        طريقة الرسم :
أذا أثرت قوتان F1 ، F2 على جسم ما عند نقطة فانه لتعيين محصلة هاتين القوتين بيانيا، يرسم الخط OA يمثل القوة F1 مقدارا واتجاها والخط OB يمثل القوة F2 مقدارا واتجاها. بتكميل متوازى الأضلاع OAOB فان OC يمثل مقدار واتجاه المحصلة R للقوتين F1 ، F2 ( انظر شكل 1 ). ومن ناحية أخرى يمكن تمثيل القوة F2 مقدارا واتجاها بالخط AC وتكون المحصلة R ممثلة أيضا بالخط OC أى انه أذا أمكن تمثيل أى قوتين مقدارا واتجاها بضلعين فى مثلث فان الضلع الثالث يمثل محصلة هاتين القوتين.
وبطريقة مماثلة يمكن طرح متجهين P , G فمثلا نفرض أن R هو المتجه الناتج من طرح المتجهين أى أن :
R = P – G = P + ( - G )
أذن لو غيرنا اتجاه  G وأضفناه بعد ذلك إلى P نحصل على ناتج الطرح.
        طريقة التحليل :
أذا أثرت مجموعة من القوى  F3 …….., F2  ,F1 على جسم ما فانه يمكن تعيين محصلة هذه القوى مقدارا واتجاها بتحليل هذه القوى فى اتجاهين متعامدين هما محور السينات ومحور الصادات. وعليه تكون المركبات فى اتجاه المحمر السينى RX تعطى بالعلاقة :
RX = F1x ، F2x ، F3x + …….. = Fx
وفى اتجاه المحمر الصادى Ry تعطى بالعلاقة :
Ry = F1y ، F2y ، F3y + …….. = Fy
وتكون مقدار المحصلة R هى :

وتصنع المحصلة R زاوية θ مع محور السينات حيث :