كتلةالسكون) فيحالةالسكون (أوالشحنالكهربائيةللجسيماتالأولية،وإلافان أيتغيرفيهذهالثوابتيطعنفيصحةالنسبيةالعامة.
وبكلام آخر: ينص هذا المبدأ على عمومية السقوط الحر بمعنى أن جميع الأجسام تسقط بنفس المعدل في مجال الجاذبية بغض النظر عن كتلتها وتركيبتها المادية وهو مبدأ استقرائي مبني على الملاحظات التجريبية وليست النظرية.
ورياضياً لشرح مبدأ التكافؤ فلنسترجع قانون نيوتن لحركة جسيم كتلته القصورية هي m_i وواقع تحت تأثير قوة خارجية f ⃗ بالشكل
f ⃗=m_i.a ⃗
حيث أن الكتلة القصورية تعبر عن معامل قياس مدى مقاومة الجسم لتأثير القوى الخارجية أما كتلة التثاقل فهي معامل يعين مدى قوة جذب الجسم بالمجال الجاذبي ويأتي من المعادلة
(f_g ) ⃗=m_g.g ⃗
وبتطبيق مبدأ التكافؤ للكتلتين نجد أن m_g.g ⃗=m_i.a ⃗
ومنه يكون (d^2 x)/(dt^2 )=g
من المعادلة الأخيرة نستطيع أن نجزم أن معدل سقوط جميع الأجسام تحت تأثير الجاذبية لأي قوى خارجية أخرى لا يعتمد على كتلتها وقد أثبت غاليليو هذهِ الحقيقة سابقاً في القرن الثامن عشر.
ومن الشرح السابق اقترح أينشتاين فرضه بنسبية الزمان والمكان(الزمكان) وهما من الأشياء الطلقة في نظريات نيوتن.
ولقد لوحظ أن الجاذبية تتسبب في تسارع الأجسام المتساقطة، ولكن لوحظ أيضاً من تطبيقات النظرية النسبية الخاصة أن الحركة تؤدي إلى تقلص الطول وتمدد الزمن، وذلك وقد حاول أينشتاين أن يبرهن أن الجاذبية تؤثر أيضاً على الزمكان.
ويمكن وضع هذا المبدأ بصيغ مختلفة منها:
يستحيل على أي مراقب في غرفة مغلقة أن يميز حركة الغرفة هل هي تحت تأثير الجاذبية؟ أم هي تسارع نتيجة قوة خارجية؟ بمعنى أن
الكتلة القصورية والكتلة التثاقلية متكافئتان، ولا يمكن التمييز بينهما.
القوى التثاقلية(التجاذبية) تكافئ القوى القصورية.
الإطار المتسارع يكافئ الإطار التثاقلي.
مبدأ التوافق:
القوانين الفيزيائية يجب أن تتوافق وإلا ترتبط بتغير نوع الاحداثيات الزمانية والمكانية المستخدمة.
نعلم من النظرية النسبية الخاصة التي تصف الظواهر الفيزيائية في الفراغ، يجب أن تكون مستقلة عن سرعة المراقب الذي بدون القياسات ويجب أيضاً أن يكون لها نفس الشكل والمكونات وذلك عندما نرجعها إلى إحداثيات كارتيزية أخرى تتحرك بسرعة منتظم، وفي النظرية النسبية العامة يجب أن توضع هذه القوانين بصورة عامة ومستقلة عن اختيارنا لأي إحداثيات زمانية أو مكانية.
ولهذا اقترح أينشتاين أنه يجب وضع القوانين الفيزيائية بمعادلات لا تعتمد على إحداثيات خاصة، وهذه الطريقة لا تأتي إلا من خلال استخدامنا لحساب الممتدات، وذلك لأن صياغة معادلات القوانين بصيغة الممتدات لها نفس الشكل والتركيبة بجميع نظم الاحداثياتالآخرى
معادلات أينشتاين للحقل:
المعادلة الأولى
R_μv-1/2 g_μv R+g_μv Λ= 8πG/c^4 T_μv
حيث انحناء ريتشي و R_ هو انحناء سلمي وg_μv هو موتر المترية و Λ هي الثابت الكوني وG ثابت الجذب العام وc سرعة الضوء و T_μv موتر الإجهاد_ الطاقة
المعادلة الثانية
نعرف موتر أينشتاين على أنه :
G_μv=R_μv-1/2 Rg_μv
وهو من الرتبة الثانية ويشكل دالة في المترية وبالتالي يمكن كتابة المعادلة على الشكل:
G_μv=8πG/c^4 T_μV-g_μv Λ
باستعمال وحدات حيث G=c=1 نستطيع إعادة كتابتها بالشكل التالي
G_μv=8π〖T_μv〗_ -g_μv Λ
الحد الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان الذي يتم إيجاده من المترية بينما الحد على الطرف الأيمن يمثل محتوى (الطاقة _المادة) من الزمكان بالتالي يمكن تفسير معادلات أينشتاين للحقل كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان
بالتالي يمكن تفسير معادلات أينشتاين للحقل كمجموعة من المعادلات التي تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمان والمكان بمحتوى الطاقة والمادة في هذا الكون العظيم هذه المعادلات مع المعادلة الجيوديسية تشكل نواة الصيغ الرياضية في النسبية العامة
استخدم الباحثون بمن فيهم أينشتاين إشارة مختلفة لموتر ريتشي والذي يحول في المعادلة وتصبح الإشارة في الطرف الأيمن سالبة
R_μv-1/2 g_μv R+g_μv Λ= 8πG/c^4 T_μv
ويمكن كتابة معادلات أينشتاين بالشكل المكافئ التالي:
R_μv-g_μv Λ=- 8πG/c^4 (T_μv-1/2 g_μv T)
قام أينشتاين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع المترية
R_μv-1/2 g_μv R+g_μv Λ= 8πG/c^4 T_μv
الثابت Λيعد ثابتاً فلن يتأثر مبدأ انحفاظ الطاقة فقد قدم آينشتاين ثابت الحد الكوني أصلاً لوصف الكون الديناميكي هناك تقنيات فلكية متطورة حديثة وجدت أن القيمة الموجبة ل Λ ضرورية لتفسير بعض المشاهد الكونية التي هي جوهر البحوث العلمية المعاصرة كان أينشتاين يعتقد بأن الثابت الكوني وسيطاً مستقلاً لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل إلى الطرف الآخر جبرياً المكتوب كجزء من موتر الإجهاد الطاقة
T_μv^((vac))=-c^4/8πG Λg_μv
يعبر عن طاقة الفراغ بالعلاقة
p_vac=-c^4/8πG Λ
وبالتالي وجود ثابت كوني في المعادلات ضرورة حقيقية من أجل الوصف وكما لاحظنا أنه موجود في علاقة الطاقة الكونية
انحناء الضوء:
حتى يستطيع أينشتاين أن يؤكد نظريتهُ فقد أعلن عن توقع يمكن إثباته علمياً فعن طريق حساباته النظرية أوضح أينشتاين أن شعاع الضوء والمار بالقرب من سطح الشمس سوف ينحرف عن مساره المستقيم وذلك لأن المكان الذي يمر به الشعاع يكون منحنيا وبلفظ أخر فإن جاذبية الشمس قد أثرت على شعاع الضوء وحرفته، ولم يظهر توقع هذا التأثير في النظرية الميكانيكية لنيوتن حيث أن الضوء عديم الكتلة.
الشكل المرافق يوضح شعاعاً ضوئياً يصل للأرض من أحد النجوم ماراً بالقرب من الشمس ولأن شعاع الضوء قد انحرف عن مساره المستقيم، فسوف يظهر النجم لنا على الأرض أنه تم إزاحته من مكانه الحقيقي وقد تم حساب أكبر انحراف بزاوية مقدارها 1.74 وذلك عندما يلامس الشعاع سطح الأرض.
وقد تم التحقق من هذا التوقع علميا في عام 1919 خلال الكسوف الكلي للشمس، عندما يحجب القمر ضوء الشمس تماماً، وفي لحظة تاريخية وأثناء حجب القمر الكلي لقرص الشمس نجح الفلكيون في تصوير النجوم حول الشمس، بقياسات دقيقة بعد ذلك ظهرت أن النجوم قد أزيحت من أماكنها الحقيقية بمقدار يتفق مع ما توقعته نظرية أينشتاين.
إزاحة الجاذبية الحمراء:
هذا هو التوقع الثالث وقد توقع ذلك لأن جاذبية الأجسام تؤثر على المكان وتبطئهُ فعلى سبيل المثال فإن الساعة بالدور الأرضي لمبنى قريباً من الجاذبية تكون دقاتها أبطأ من دقات الساعة بالأدوار العلوية البعيدة عن الجاذبية بالطبع فإن إحساسنا بهذا التغير يكون منعدماً نظراً للتغير الطفيف جدّاً بقيم الجاذبية قريباً من الأرض، وبالمقارنة فإن تردد موجات الضوء تعمل عمل دقات الساعة حيث نستطيع حساب عدد ذبذبات الضوء المار بالثانية، لذلك فإن الشعاع ضوئي ذا التردد الثابت اللون الأزرق كما بالشكل التالي والمنطلق بالقرب من مركز الجاذبية سوف يقل تردده بالاتجاه بعيداً عن مركز الجاذبية حيث وبالتالي يزداد طوله الموجي، اللون الأحمر كما بالشكل التالي ولأن الزيادة في الطول الموجي هي الإزاحة الحمراء لذلك سميت إزاحة الجاذبية الحمراء أو الإزاحة الحمراء لأينشتاين، وقد تم قياس هذا التأثير عام 1960 بواسطة العالمين باوند وربيكا وذلك باستخدام أشعة غاما والإزاحة المقاسة عملياً بواسطتهما تعتبر صغيرة بالمقارنة مع طيف الغازات الناتجة من طيف النجوم عالية الكثافة مثل نجوم الأقزام البيضاء.
ملاحظة: يجب إلا نخلط بين إزاحة الجاذبية الحمراء وإزاحة دوبلر حيث أن إزاحة دوبلر تتطلب حركة مصدر الضوء قرباً أو بعداً من المراقب وعلى العكس تماماً فإن إزاحة الجاذبية الحمراء تتسبب من تمدد الزمن ولا تتطلب أي حركة من المصدر أو المراقب.
الإثبات النظري للإزاحة الحمراء من نظرية هايزنبيرغ الازدواجية للطاقة والمادة نجد أن علاقة الطاقة الكلية Eلجسيم (فوتون مثلاً) تواترهf وكتلته m تعطى بالمعادلة E=m.c^2=h.f
ومنه نجد أن طاقة الوضع لهذا الجسيم من جسيم آخر كتلته M
U=-G Mm/r=-G Mh/(rc^2 ) f
لكن عند هروب الفوتون من مجال الجاذبية سوف يكتسب ترددا مختلفاً يحسب بالعلاقة
hf_ =hf_0 [1-G M/(rc^2 )]→(f-f_0)/f_0 =∆f/f_0 =-G M/(rc^2 )
وحيث أن الإزاحة باتجاه التقليل من التردد فإنها تسمى إزاحة الجاذبية الحمراء أو الإزاحة الحمراء لأينشتاين (في حالة أن الفوتون يترك مجال الجاذبية) أماإذا سقط في مجال الجاذبية فإن الإزاحة تعطى بالعلاقة
hf_ =hf_0 [1-G M/(rc^2 )]→(f-f_0)/f_0 =∆f/f_0 =-G M/(rc^2 )
وتسمى ازاحة الجاذبية الزرقاء
وتصبح الصيغة العامة للقانون هي
f_ =f_0 [1±G M/(rc^2 )]
حيث أن الإشارة السالبة للضوء الهارب من مجال جاذبية النجم والإشارة الموجبة للضوء الساقط في مجال جاذبية النجم.
تنبأت النظرية النسبية العامة أن الكون يتمدد إلى ما لا نهاية ولم يستطع أينشتاين تقبل هذه النتيجة فأضاف ثابت يسمى الثابت الكوني، وقد تخلى أينشتاين عن هذا الثابت واعتبره أكبر خطأ في حياته وأول من استخدم النظرية النسبية العامة لبناء سلسلة من النماذج الرياضية لكون منظم ومتمدد هو خبير الأرصاد الجوية ألكسندر فريدمان والذي نشر أعماله في عام 1922، ويمثل الشكل الآتي تمدد الكون وفقاً للاحتمالات الثلاثة التي وضعها فريدمان ، وتبدأ المنحنيات الثلاثة من نقطة الصفر ويتسم النموذجان 1و2 بأنهما يتمددان إلى مالا نهاية أما النموذج الثالث فإنه يتعرض للتباطؤ حتى يصل إلى مرحلة التوقف والتي يتبعها انقباض يعود به الكون مرة ثانية إلى العدم، ولا يستطيع العلم أن يتحقق من هذه التنبؤات
حفظ الطاقة وكمية التحرك:
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة – كمية التحرك المحلية المعبر عنهما بالعلاقات:
∇_b T^ab=〖T^ab〗_(;b)=0
اشتقاق انحفاظية الطاقة – كمية التحرك المحلية:
بتقليص متطابقة بياتشي التفاضلية:
R_(ab[cd;e])=0
مع g^ac _ وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي 〖g^ab〗_(;c=0) _نحصل على:
〖R^c〗_(bcd;e)+〖R^c〗_(bec;d)+〖R^c〗_(bde;c)=0
يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:
〖R^c〗_(bcd;e)-〖R^c〗_(bce;d)+〖R^c〗_(bde;c)=0
وهي مكافئة للعلاقة:
R_(bd;e)-R_(be;d)+〖R^c〗_(bde;c)=0 باستعمال تعريف موتر ريكسي.
بالاختصار مرة أخرى بالمتري:
g^bd (R_(bd;e)-R_(be;d)+〖R^c〗_(bde;c)=0
لتحصيل:
〖R^d〗_(d;e)-〖R^d〗_(e;d)+〖R^cd〗_(de;c)=0
من تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين أن:
R_(,e)-2〖R^c〗_(e;c)=0
ويمكن إعادة كتابتها بالصورة:
〖〖〖(R〗^c〗_e-1/2 〖g^c〗_e R)〗_(;C)=0
اختصار أخير R^ed يعطي :
〖〖(R〗^cd-1/2 g^cd R)〗_(;C)=0
والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر-أينشتاين _ بعد إعادة عنونة المعاملات:
〖G^ab〗_(;b)=0
باستعمال EFE، يعطينا هذا مباشرة:
∇_b T^ab=〖T^ab〗_(;b)=0
وهي تعبر عن بقاء الطاقة – الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد أينشتاين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا.
اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن:
يمكن صياغة الجاذبية النيوتنية كنظرية مجال قياسي،Φ , والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
∇^2 Φ[x ⃗,t]=4πGρ[x ⃗,t]
حيث ρ كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة:
x ⃗ ̈[t]=-∇Φ[x ⃗[t],t]
بعلامات الموتر تصبح:
Φ_(,ii)=4πGρ
(d^2 x^i)/(dt^2 )=-Φ_(,i)
نستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال أينشتاين بصورة انعكاس الأثر:
R_μν=K(T_μν-1/2 Tg_μν)
لثابت ما K،ومعادلة جيودويسية:
(d^2 x^α)/(dτ^2 )=-Γ_βγ^α (dx^β)/dτ (dx^γ)/dτ
لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، نفترض أن سرعة عينة الجسم هي صفر تقريباً:
(dx^β)/dτ≈(dt/dτ,0,0,0)
وعليه
d/dt(dt/dτ)≈0
والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً،وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسيةيعطينا:
(d^2 x^i)/(dt^2 )≈-Γ_00^i
حيث أن عاملين من dt/dτ قد تمت قسمتهما، هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن:
Φ_(,i)≈Γ_00^i=1/2 g^iα (g_(α0;0),g_(0α;0),g_(00;α))
افتراضاتنا تجبر مشتقات الزمن (0) على البقاء أصفاراً، على هذا الأساس تتبسط إلى:
〖2Φ〗_(,i)≈g^ij (-g_(00;j) )≈-g_(00;i)
والتي تتحقق بوضع
g_00=-c^2-2Φ
بموائمتها بمعادلات أينشتاين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
R_00=K(T_00-1/2 Tg_00
تقتضي افتراضات السرعة المنخفضة والمجال الساكنأن:
T_μν=diag(T_00,0,0,0)≈diag(ρc^4,0,0,0)
إذن:
T=g^αβ T_αβ≈g^00 T_00≈(-1)/c^2 ρc^4=-ρc^2
وبالتالي:
K(T_00-1/2 Tg_00)≈K(ρc^4-1/2(-ρc^2)(-c^2))=1/2 Kρc^4
من تعريف موتر ريكسي
R=Γ_(00,ρ)^ρ-Γ_ρ0,0^ρ+Γ_ρλ^ρ Γ_00^λ-Γ_0λ^ρ Γ_ρ0^λ
افتراضاتنا البسيطة تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن:
R_00≈Γ_(00,i)^i
بدمج المعادلات السابقة:
Φ_(,ii)≈Γ_(00,i)^i≈R_00=K(T_00-1/2 Tg_00)≈1/2 Kρc^4
والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتنيبشرط:
1/2 Kρc^4=4πGρ
والذي سيتحقق إذا كان:
K=8πG/c^4
أهم مفاهيم المترية في نظرية النسبية العامة
أحد أهم مورد استعمال مترية الزمكان هو محاسبة مسير الأشعةالضوئية، هذا المسير عبارة عن متقاصر أو جيودويسية هذه المترية. كذلك من خلال المترية يمكن تعيين نوع الفضاء وتقوسه ومحاسبة حقل جاذبيته. تتم هذه المحاسبات من خلال تينسور ريمان وريتشي،والأهم معادلات حقل آينشتاين سواء في الخلاء أم في حالة تواجد المادة في حقل جاذبيته. سنبحث في هذ الفصل بعض هم أنواع المتريات التي طرحت في نظرية النسبية العامة.
الصورة العامة لمترية في فضاء زمان هي:
ds^(2 )=Adt^2+Bdx_1 dt+⋯Edx_(1 )^2+⋯Hdx_2 dx_3+⋯
المعامل Aوالمعامل Bوغيرها هي توابع من t و x2و x1وغيرها. لكن في حقل ساكن فالحالة الخاصة لهذه لمترية هي:
ds^(2 )=Adt^2-dσ^2
في هذه الرابطة dσ^2 هي dσ^2=dx_1^2 و i=1و2 و3 فمثلاً
dx_1=dx_2=dx_3=0
فالخطوط العالمية لهذه المترية هي ds^(2 )=Adt^2
إذا كان φ هي جهد حقل جاذبيته و A=c^2 e^(2φ/c^2 ) إذن :
ds^(2 )=c^2 e^(2φ/c^2 ) dt^2-dσ^2
في حقل ضعيف معامل هذه المترية متساوية.
إذا استعملنا هذا التقريب e^(2φ/c^2 ) ≈1+ 2φ/c^2 في هذه الحالة لحقل خارج الشمس
|2φ/c^2 |<0.5×〖10〗^(-5)
ومن هذا تصبح معامل الإحداثيةc^2 dt^2 تقريباً تساوي واد وهذا بمعنى أن الزمكان حول كتلة ضخمة مثل الشمس تقريباً منكوفسكي أي:
ds^(2 )=c^2 dt^2- dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2
من خلال مترية منكوفسكي ومترية شوارتزشيلد سنطالع الارتباط بين فضاء منكوفسكي وفضاء شوارتزشيلدوذلك من خلال هذه التحويلات:
x=XcoshT y=Y z=Z t=XsinhT
إذن t/x=tanhT x^2-t^2=X^2
كذلك: cosh^2 T-cosh^2 T=1
A=F(x,y)⟹dA=∂F/∂x dx+∂F/∂y dy
dx=cosTdX+XsinhTdt⟹dx^2=cosh^2 T+2XcoshTsinhTdXdT+x^2 sinh^2 TdT^2
dt=sinhTdX+XcoshTdt⟹dt^2=dx^2 sinh^2 T+2XcoshTsinhTdXdT+X^2 sinh^2 TdT^2
إذن:
dt^2-dx^2=X^2 dT^2-dX^2
ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=X^2 dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2
ds^2=X^2 dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2
هذه مترية منكوفسكي في فضاء (X، Y، Z، T) رباعي الأبعاد.
مترية شوارتزشيلد هي:
ds^2=(dr^2)/(1-2m/r)+r^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^2 )-c^2 (1-2m/r)dt^2
للتبسيط نكتبها بهذا الشكل:
c=G=1كذلك نستبدل rوtبهذهالاحداثياتR وT ونفرضm= 1/4 نحصل على:
dx^2=(1-1/2R)dt^2-(〖1-1/2R)〗^(-1) dR^2-R^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^2)
النقطة R=1/2هي نقطة غامضة في هذه المترية إذا فرضنا 2R-1=x^2-t^2=X^2
في هذه الحالة:
2R-1=x^2⟹2dR=2XdX⟹dx^2=1/x^2 dR^2
نحصل على:
dx^2=X^2 dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2⇒ds^2=(2R-1)dT^2-(2R-1)^(-1) dR^2-dY^2-dZ^2
في هذه المترية يجب أن تكون R>1/2
هذه صيغة أخرى لمترية منكوفسكي وقد لاحظناالارتباط بين مترية منكوفسكي أو فضاء منكوفسكي ومترية شوارتزشيلد أو فضاء شوارتزشيلد.
يمكن فرض هذا الشكل نموذج لفضاء كروسكال KRUSAL، إحداثيات كروسكال X و T (عادة تستعمل U، V ) مترية فضاء كروسال رباعي الأبعاد بهذه الصورة:
ds^2=[1/〖2Re〗^2R ](dt^2-dx^2 )-R^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^2)
في هذه المترية R تابع من x2-t2وتصدق فيه هذه الرابطة:
[e^2R ](2R-1)=x^2-t^2
تصدق هذه المترية في معادلات خلاء آينشتاين لكن R>0 منتظمة لكن النقطة R=0 هي نقطة غامضة.إذا كنت قيمة t في كل لحظة ثابتة فهذه المترية ذات تنظر كروي. يمثل احداثي كروسكال مسير أشعة ∅=constant و θ=constant θو ∅ مقادير ثابتة
كذلك الخطوط ∓45 درجة في شكل الصفحة السابقة هي كذلك مسير أشعة ضوئية في احداثي كروسال.
نكتب هذه المترية حسب احداثيات T وRأي:
e^2R (2R-1)=x^2-t^2⟹〖dX〗^2 (2e^2R)/(2R-1) dR^2
dt^2-dx^2=X^2 dT^2+dX^2
إذن:
ds^2=((2R-1)/2R)dT^2-((2R-1)/2R)^(-1) dR^2-R^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^(2 ))
هذه المترية متكافئة مع مترية شوارتزشيلد (و النقطة الغامضة) أو أفق الحدث في هذه المترية هي النقطة R=1/2 . تصدق هذه المترية في معادلات خلاء أينشتاين.
معادلات خلاء آينشتاين هي R_μV=0إذا كان الحقل غير فارغ وهناك مادة في هذا الحقل في هذه الحالة R_μV≠0وتصبح معادلات أينشتاين بهذا الشكل R_μV=∧g_μV سنبحث هذه المعادلات في الفصل القادم.
المترية التي تصدق في معادلات آينشتاين لحقل غير فارغ هي:
dx^2=e^A dt^2-e^B dr^2-r(dθ^2+sin^2 θd∅^2)
R_11=1/2 A^''-1/4 A^' B^'+1/4 〖A^'〗^2-B'/r
R_22=e^(-B) [1+1/2 r(A^'-B^')]-1
R_33=R_22 sin^2 θ
R_44=〖-e〗^(A-B) (1/2 A^''-1/4 A^' B^'+1/4 〖A^'〗^2+A'/r)
R_μV=0
إذا
μ≠∨
تستطلب معادلات حقل أينشتاين لفضاء فارغ أن يكون
R_μV=0
لجميع R_μVومن بينهما الروابط أعلاه بينما لفضاء غير فارغ يجب أن يكون R_μV=∧g_μVإذا :
A^'=-B^'
A=-B
من R_22=∧g_22 نحصل على e^A (1+rA^' )=1-∧r^2
نفرض a=e^A
a=1-2m/r-1/3∧r^2
هذا الجواب يصدق في معادلات اينشتاين R_μV=∧g_μV في هذه الرابطة m ثابتالتكامل، ثم نحصل على هذه المترية:
ds^2=(1-2m/r-1/3∧r^2 )dt^2-(1-2m/r-1/3∧r^2 )^(-1) dr^2-r^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^2)
مدار الحركة في فضاء هذه المترية تقريباً أشبه بمدار نيوتن في جهد مركزي φ=-m/r-1/6∧r^2 في حالة سعي m نحو الصفر أي m→0 تصبح مترية هذا الفضاء بهذا الشكل:
ds^2=(1-1/3∧r^2 )dt^2-(1-1/3∧r^2 )^(-1) dr^2-r^2 (dθ^2+sin^2 θd∅^2)
تعرف هذه المترية بمترية دي سيتر (de sitter ) في القوانين الكونية كشفها عام 1917،والفضاء الناتج من هذه المترية هو فضاء دي سيتر. تمثل هذه المترية فضاء شبه كروي ذو تقوس قيمته -1/3∧ هذه أشبه بمترية شوارتزشلد لكن النقطة r=√(3/∧) هي أفق الحدث في هذه المترية. في حالة m ≠0 يصبح مبدأ الإحداثية (نقطة غامضة أو) أفق الحدث لمترية دي سيتر.
إذا كانت المعادلات R_μV=∧g_μV هي الحاكمة على فضاء فارغ في هذه الحالة فضاء دي سيتر هو البديل لفضاء منكوفسكي.
المترية الأخرى التي سنبحثها هي المترية الناتجة من نموذج ميلن milen الذي طرحه عام 1932.
يستند هذا النموذج على مبداً الكوسومولوجيا (الكون متجانس فضائياً وزمنياً) في فضاء فارغ منكوفسكي رباعي الأبعاد مع غض النظر عن الجاذبية لمجموعة لا متناهية لذرات عديمة الوزن والحجم، ذات سرعة تنتشر في كل جهات الفضاء. تنتشر هذه الذرات من مبدأ الإحداثيo في المرجع s(x,y,z,t) بسرعة أقل من سرعة الضوء. يمكن فرض هذه الذرات المنتشرة بكرة غبار لا حدود لها وسرعة توسعها تساوي سرعة الضوء. يصدق قانون هابل في هذه الكرة والذي ينص على تناسب السرعة والفاصلة. حدود المادة في هذا النموذج أشبه بصدر موجة wave front.
تنبأت النظرية النسبية العامة أيضاً بأنه في منظومة الزمكان يوجد منطقة لها صفات شاذة أي خالف القواعد والقوانين الفيزيائية ولم يستطع أينشتاين أن يتقبل هذه النتيجة أيضاً فأضاف بعض الشروط الحدودية للتخلص من النقطة الشاذة وقد تم التعامل لاحقاً مع معادلات أينشتاين بدون هذهِ الشروط لتفسير بعض الظواهر مثل ظاهرة الثقوب السوداء وهي منطقة في منظومة الزمكان لها صفات شاذة أي تخالف القواعد والقوانين الفيزيائية وقوة جاذبية جبارة يستحيل على أي شيء الإفلات من جاذبيتها بما في ذلك أشعة الضوء لذلك تبدو هذه المنطقة غير مرئية وهي تعتبر من النجوم التي أفلت.