المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

       المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية
    Random Variables and Probability
    Distributions
        المتغيرات العشوائية المنفصلة (  Discrete Random Variables  )
        التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل
        التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الخاصة
            التوزيع ثنائي الحدينThe Binomial Distribution
            التوزيع البواسوني Poisson Distribution
        المتغيرات العشوائية المستمرة Continuous Random Variables
        التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة
            التوزيع المنتظم Uniform distribution
            التوزيع  الأسي السالب Negative Exponential distribution
            التوزيع الطبيعي The Normal Distribution
    المتغير العشوائي 
    Random Variable 
        المتغير العشوائي هو الذي يأخذ قيما حقيقية مختلفة باحتمالات معينة تعبر عن نتائج فراغ العينة
        مجال هذا المتغير، يشمل كل القيم الممكنة له
        وينقسم المتغير العشوائي إلى قسمين هما:
            المتغيرات العشوائية المنفصلة Discrete Random Variables
            المتغيرات العشوائية المتصلة(المستمرة) Continuous Random Variables
    
    المتغيرات العشوائية المنفصلة 
        المتغير العشوائي المنفصل هو الذي يأخذ قيم بينية، ومتباعدة –عادة أعداد صحيحة- محدودة أو غير محدودة يمكن حصرها
        ويرمز له بشكل عام  بحرف من الحروف الأبجدية الكبيرةX, Y, Z,…. ويرمز للقيم التي يأخذها بالحروف الأبجدية الصغيرة، x, y, z, …،
        أمثلة:
            عدد الأولاد الذكور في الأسرة المكونة من أربعة أولاد X،  X:{x=0,1,2,3,4} عدد العملاء الذين يتم إنهاء خدمتهم البنكية كل 10 دقائق Y، Y:{y=0,1,2,3,….}.
            عدد مرات استخدام نوع معين من الأسمدة خلال الدورة الزراعية.
            عدد الوحدات التالفة من إنتاج مزرعة معينة تنتج200 وحدة كل موسم.
            أخري؟؟؟؟
    
    التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل
    probability Distribution of Discrete Random Variables 
        التوزيع الاحتمالي، يبين احتمالات حدوث القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير وبمعنى آخر هو الجدول التكراري النسبي للقيم التي يمكن أن يأخذها المتغير.
        فإذا كان المتغير العشوائي المنفصل X يأخذ القيم،       وكان               هو احتمال أن المتغير العشوائي يأخذ القيمة ،       فـيمكن تكوين جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X
    
        التوزيع الاحتمالي جدول مكون من عمودين، الأول به القيم الممكنة للمتغير                     ، والثاني به القيم الاحتمالية لهذا المتغير

    جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل:
    
        وتسمى الدالة        بدالة الاحتمال، ومن خصائص هذه الدالة ما يلي:
    
    مثــال 
        إذا كانت نسبة مبيعات أحد المراكز التجارية من التفاح الأمريكي 0.60، و نسبة مبيعاته من الأنواع الأخرى للتفاح 0.40، فإذا اشترى أحد العملاء عبوتين:
            كون فراغ العينة (  S).
            إذا عرف المتغير العشوائي (X) بأنه عدد العبوات المشتراة من التفاح الأمريكي، فأوجد الآتي
                التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي .
                ارسم دالة الاحتمال لهذا المتغير.
                كون التوزيع الاحتمالي التجميعي.
                ما هو احتمال:
                حدد قيمة الوسيط، والمنوال لعدد العبوات المشتراة.
    
    
        التجربة هنا هو شراء وحدتين من عبوات التفاح، ومن ثم فراغ العينة (  S) يتكون من أربع نتائج، هي:
    
        التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو جدول يبين قيم المتغير  X:{x=0,1,2} واحتمالاتها أي:
        رسم دالة الاحتمال f(x):
        
             النقط x,f(x)) ) 
    
        تكوين التوزيع الاحتمالي التجميعي(   Cumulative Distribution) :

    التوزيع التجميعي، هو جدول يشمل الاحتمالات الناتجة من حساب الاحتمال       ، ويرمز له بالرمز ( F(x) )، أي أن دالة التوزيع الاحتمالي التجميعي تأخذ الصورة التالية:

    جدول التوزيع التجميعي للعبوات المشتراه من التفاح الأمريكي :
    
        حساب الاحتمالات
    
        تحديد قيمة الوسيط، والمنوال:
        الوسيط:-  رتبة الوسيط هو 0.50 ، إذا الوسيط (M ) هو القيمة التي تحقق الاحتمال:
        ، وهذا الاحتمال يقع بين القيمتين (1,0) كما هو مبين بالرسم التالي:
   
        إذا الوسيط قيمته هي
        حساب المنوال:

    المنوال Mode = القيمة  المناظرة لأكبر قيمة احتمالية.

    إذا المنوال هو:     Mode = 1  حيث أنه يناظر أكبر قيمة احتمالية هي:
    
    

    الوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي المنفصل 
        يرمز للوسط الحسابي للمتغير العشوائي بالرمز     (ميو)، ويحسب بتطبيق المعادلة التالية :
        التباين ويرمز له بالرمز     (سيجما)، فيحسب بتطبيق المعادلة التالية: 
    
    مثـال 
        في المثال السابق احسب ما يلي:
        الوسط الحسابي لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي
        احسب الانحراف المعياري لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي.
        أوجد معامل الاختلاف النسبي
         لحساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري نستخدم المعادلة (8-3)، (8-4) وهذا يتطلب تكوين جدول يشمل المجاميع التالية:                   وذلك كما يلي:
    
    إذا الوسط الحسابي هو
    ولحساب الانحراف المعياري (نحسب التباين أولا)

    معامل الاختلاف النسبي هو: 
    
التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الخاصة 

    تتبع بعض الظواهر توزيعات احتمالية خاصة، حيث يمكن حساب احتمالات قيم المتغير عن طريق معادلة رياضية، تسمى بدالة الاحتمال  f(x
    هذه المعادلة لها معالم معينة، تسمى بمعالم المجتمع الذي ينسب له هذا التوزيع.
    ومن أهم التوزيعات التي سيتم دراستها هنا،
        التوزيع ثنائي الحدين، و
        توزيع بواسون


التوزيع ثنائي الحدين
The Binomial Distribution 

    يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط متنافيتان
    النتيجة محل الاهتمام وتسمى بحالة النجاح، والأخرى تسمى بحالة الفشل، ومن أمثلة ذلك:
        عند فحص عبوة بداخلها نوع معين من الفاكهة، لها نتيجتان ( الوحدة إما أن تكون سليمة، أو تكون معيبة)
        عند إلقاء قطعة عملة، لها نتيجتان.
        نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح، رسوب)
شكل التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين 

    إذا كررت محاولة ما (n)  من المرات، بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط متنافيتان هما:
        النتيجة محل الاهتمام " حالة نجاح " وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو: p
        النتيجة الأخرى " حالة فشل " وتتم باحتمال ثابت أيضا هو: q=1-p
    وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة، وإذا كان المتغير العشوائي    X يعبر عن عدد حالات النجاح في الـ n محاولة، فإن مدي المتغير العشوائي  والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو

    ومن ثم يحسب الاحتمال              بتطبيق المعادلة التالية:
    

    حيث أن     هي عدد طرق اختيار x من n مع إهمال الترتيب، وتحسب كما يلي:
    مثلا: 
مثـــال 

    إذا كانت نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو  (0.6)، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين بهذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي  بأنه عدد المستجيبين (حالات الشفاء) لهذا العقار.
    المطلوب:
        ما هو نوع المتغير؟
        اكتب شكل دالة الاحتمال           لهذا المتغير.
        احسب الاحتمالات التالية:
            ما احتمال استجابة 3 مرضى لهذا العقار؟
            ما هو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل؟
            ما هو احتمال استجابة 2 مرضى على الأكثر؟
        احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة.
الحل
    عدد حالات الاستجابة (X) متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:   X:{x=0,1,2,3,4,5}
    شكل دالة الاحتمال: n=5, p=0.6, q=(1-p)-=0.4  
    حساب احتمال استجابة 3 مرضى لهذا الدواء
    :    حساب احتمال استجابة مريض واحد على الأقل:
    
    حساب احتمال استجابة 2 مرضى على الأكثر:
    
    
    
    الوسط الحسابي  في حالة التوزيع ثنائي الحدين يحسب بتطبيق المعادلة (8-3)، وباستخدام العمليات الرياضية يمكن الوصول إلى النتيجة التالية:
والوسط الحسابي:

    ولحساب التباين في التوزيع ثنائي الحدين يتم تطبيق المعادلة (8-4)، ومنها يمكن التوصل إلى الصورة التالية:

    ومنها:
    
توزيع بواسون 
Poisson Distribution 

    يكثر استخدام هذا التوزيع في الحالات التي تقع فيها الأحداث وفقا لمعدلات زمنية، وكذلك في حالة الأحداث نادرة الوقوع، ومن أمثلة ذلك:
    استهلاك الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر .
    عدد مرات ري نوع معين من المحاصيل الزراعية خلال الموسم.
    عدد مرات زيارة المريض للطبيب كل سنة.
    عدد مرات تناول الأسرة للحوم الحمراء خلال الأسبوع.
    عدد أخطاء الطباعة لكل صفحة من صفحات الكتاب.
شكل التوزيع الاحتمالي البواسوني 

    إذا كان:
    متوسط عدد مرات وقوع حادث وفقا لمعدل زمني معين هو
    المتغير العشوائي (X) يعبر عن عدد مرات وقوع الحادث وفقا لهذا المعدل
    مدي المتغير العشوائي  (X)هو:
    فإن الاحتمال

(احتمال وقوع الحادث عدد  من المرات وفقا لهذا المعدل ) يعبر عنه بـ:

مثــال 

    فرضا أن عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر تتبع توزيع بواسون بمتوسط 3 وحدات شهريا، إذا عرف المتغير العشوائي ( X ) بأنه عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة خلال الشهر من هذه السلعة. المطلوب:
    ما هو نوع المتغير العشوائي؟
    اكتب شكل دالة الاحتمال  لهذا المتغير.
    احسب الاحتمالات التالية:
            احتمال أن الأسرة تستهلك وحدتين خلال الشهر؟
            احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر؟
            احتمال أن أسرة ما تستهلك 3 وحدات على الأكثر خلال الشهر؟
    احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.
    حدد شكل التوزيع.
    عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة  متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
    دالة الاحتمال هي:

    احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدتين خلال الشهر، f(2)
    
    احتمال أن أسرة ما تستهلك  وحدة واحد على الأقل خلال الشهر هو:

    احتمال أن أسرة ما تستهلك 3 وحدات على الأكثر خلال الشهر هو

    الوسط الحسابي  معطي
    

    في هذا التوزيع، فإن التباين يساوي الوسط الحسابي:
    ومن ثم يكون الانحراف المعياري هو:
    معامل الاختلاف النسبي هو:
    تحديد شكل التوزيع:

دائما التوزيع البواسون موجب الالتواء.

المتغيرات العشوائية المستمرة
Continuous Random Variables 

    هو الذي يأخذ قيما متصلة
    ويأخذ عدد لانهائي من القيم الممكنة له داخل مجاله
    فإذا كان ( X )  متغير عشوائي مستمر، ويقع في المدى (a,b)، أي أن:                          ،

فإن للمتغير X عدد لانهائي من القيم تقع بين الحدين الأدنى والأعلى (a,b)، ومن الأمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة ما يلي:

        كمية الألبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر:
        أخري؟


التوزيع الاحتمالي للمتغير المستمر 

    من الشكل (المدرج التكراري النسبي)، للمتغير المتصل (X) نلاحظ أنه كلما ضاقت الفترات بين مراكز الفئات، يمكن الحصول على رسم دقيق للمنحنى الخاص بدالة احتمال المتغير المستمر
شكل منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر
منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر


    المساحة أسفل المنحنى تعبر عن مجموع كل الاحتمالات، ولذا تساوي الواحد الصحيح،
    الدالة f(x) تسمي دالة كثافة الاحتمالProbability Density Function(p.d.f)
    اذا وقعت (X) في المدى:      X={x:a<x<b}، فأن منحنى هذه الدالة يأخذ الصورة التالية:
خصائص دالة كثافة الاحتمال
f(x) 

    الدالة  موجبة داخل المدى (a,b) أي أن:

    تكامل ( x) fعلى حدود المتغير من الحد الأدنى a حتى الحد الأعلى b يعبر عن مجموع كل الاحتمالات، لذا يساوي الواحد الصحيح:
حيث أن التكامل المحدد أعلاه يعطي المساحة أسفل المنحني بين(a,b) .

    لحساب احتمال أن المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى (c,d) أي حساب الاحتمال p(c<x<d) ، يجب حساب المساحة أسفل المنحني من  d حتى  c كما هي مبينة في الشكل البياني التالي:
ويتم حساب التكامل المحدد في هذا المدى، كما يلي:
    للمتغير المستمر، يكون الاحتمال    p(x=value)=0
    بعض قوانين التكامل لحساب الاحتمالات
مثـال 

    إذا كان الإنفاق الشهري للأسرة بالألف ريال على المواد الغذائية له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:

    والمطلوب:
    
    حساب قيمة الثابت احسب احتمال أن إنفاق الأسرة يتراوح ما بين (8-5) ألف ريال خلال الشهر.
    إذا كان لدينا 600 أسرة، فما هو عدد الأسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن 3 آلاف خلال الشهر؟

    لحساب قيمة  ( c ) من خصائص دالة كثافة الاحتمال:

    من دالة المثال:
    
    حساب احتمال أن إنفاق الأسرة يتراوح بين (8,5) ألف ريال خلا الشهر :

    فإن عدد الأسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن 3 آلاف خلال الشهر( 600 أسرة ) هو: 
    
المتوسط والتباين في التوزيع الاحتمالي المستمر 

    إذا كانت   f(x)هي دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي x،  فإن التوقع الرياضي للدالة  h(x)تأخذ الصورة التالية:

    ومن ثم يمكن كتابة معادلة الوسط والتباين للمتغير ( x ) كما يلي: 
    
    في المثال السابق أوجد المتوسط والانحراف المعياري ومعامل الاختلاف النسبي للإنفاق الشهري

(c=0.006)

    المتوسط الحسابي:


    الانحراف المعياري و(cv):




دالة التوزيع التجميعي 
Cumulative Distribution Function (C.D.F)

    يرمز لهذه الدالة بالرمز (C.D.F)=F(x) وتحسب بإيجاد الاحتمال :

    ويمكن توضيحها  بيانيا بالرسم التالي: 
مثال 

    في المثال السابق أوجد دالة التوزيع التجميعي C.D.F، ثم استخدم هذه الدالة لحساب احتمال أن إنفاق الأسرة يقل عن 5 آلاف جنيه.
    إيجاد دالة التوزيع التجميعي C.D.F  :
    حساب الاحتمال المطلوب                  ، كما هو مبين بالرسم التالي:
بالتعويض عن  في الدالة F(x) التي تم التوصل إليها:
خصائص دالة التوزيع التجميعي
التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة 
    توزيعات احتمالية مستمرة خاصة، ولها دوال كثافة احتمال محددة.
    يوجد العديد منها: نتناول:
    التوزيع المنتظم Uniform distribution
    2  التوزيع  الأسي السالب Negative Exponential distribution
    التوزيع الطبيعي The Normal Distribution
التوزيع المنتظم 
Uniform distribution 

    شكل دالة كثافة الاحتمالp.d.f لهذا التوزيع:
    إذا كان المتغير  (x) متغير عشوائي له توزيع منتظم Uniform، مداه هو a<x<b:   فإن دالة كثافة احتماله هي:

    ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي: 
خصائص التوزيع المنتظم 
    الوسط الحسابي  ، والتباين  لهذا التوزيع هما:
    تأخذ دالة التوزيع التجميعي C.D.F الشكل الآتي 
    
مثـال 
    استورد أحد المراكز التجارية 1500 طن بطاطس، ووضعها في مخزن، وقام ببيعها بكميات متساوية على مدار شهور السنة. إذا كانت الفترة الزمنية للبيع تتبع توزيع منتظم، فأوجد الآتي:
    دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية للبيع.
    بعد مرور سبعة أشهر من بداية البيع، ما هي الكمية الموجودة بالمخزن؟
    تأخذ دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن الصورة التالية:

    حساب الكمية الموجودة بالمخزن بعد سبعة أشهر من بداية البيع. 
    
الأسي السالب التوزيع 
Negative Exponential distribution 
    شكل دالة كثافة الاحتمالp.d.f
    إذا كان المتغير (x) متغير عشوائي له توزيع أسي سالب  ، ومداه هو            فإن دالة كثافة احتماله هي:

    ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي 
    
خصائص التوزيع الأسى السالب 
    الوسط الحسابي  ، والتباين  لهذا المتغير هما:
    دالة التوزيع التجميعي C.D.F 
     تأخذ دالة التوزيع التجميعي  الشكل الآتي :

مثــال 

    إذا كانت الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل في البنك تتبع توزيع أسي بمتوسط 2 دقيقة، فأوجد ما يلي.
        دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل.
        ما احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.
    دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن:
    بفرض أن المتغير  يعبر عن الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل بالدقيقة، أي أن                  ، فإن المتوسط      ، ومن ثم تصبح قيمة      هي:        ، وتكتب دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن على الصورة التالية:
    حساب احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.
التوزيع الطبيعي 
The Normal Distribution 
    يعتبر هذا التوزيع من أكثر التوزيعات الاحتمالية استخداما في النواحي التطبيقية، ومنها:
        الاستدلال الإحصائي شاملا التقدير،
        واختبارات الفروض،
        كما أن معظم التوزيعات يمكن تقريبها إلى هذا التوزيع،
    شكل دالة كثافة الاحتمال: إذا كان المتغير  متغير عشوائي له توزيع طبيعي  ، مداه هو                  فإن دالة كثافة احتماله هي:
    وهذا التوزيع له منحنى متماثل يأخذ الصورة التالية:
معالم التوزيع الطبيعى
Parameters 

    توجد معلمتين لهذا التوزيع هما :
    الوسط الحسابي :            والتباين :
    ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير (x) بالرموز:
ويقرأ  هذا التعبير كالآتي:
المتغير العشوائي (x)  يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط     ، وتباين           
e.g., x~N(3,1.5)

كيفية حساب الاحتمالات للتوزيع الطبيعي 

    الاحتمال المطلوب حسابه هو              (الشكل أدناه)

    الاحتمال  المطلوب (المساحة) تحسب بإيجاد التكامل التالي: 
    
    و لتعقيد حساب هذا التكامل يلجأ لتحويلة رياضية Transformation، كالآتي:

    ويعرف المتغير الجديد (z) بالمتغير الطبيعي القياسي Standard Normal Variable، وهذا المتغير له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:
    ومن خصائص التوزيع الطبيعي القياسي ما يلي:
    المتوسط               والتباين:
    ومن ثم يعبر عن توزيع ( z ) المتغير  بالرموز:

    يأخذ المنحنى شكل الناقوس (Bell) المتماثل على جانبي الصفر  كما بالشكل 
    صمم الإحصائييون جداول إحصائية لحساب دالة التوزيع التجميعي:               ، كما هو مبين بالرسم التالي:

    خطوات حساب الاحتمال
    
    يتم تحويل القيم الطبيعية (x1, x2)  إلى قيم طبيعية قياسية:
    ومن ثم يكون الاحتمال:                   : كما بالشكل:
    تستخدم جداول التوزيع الطبيعي القياسي، والذي يعطي المساحة الخاصة بالاحتمال
    
    طريقة استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي في حساب الاحتمالات 
        أوجد الاحتمالات التالية:
        أ-             ب-              ج-                 د-
        تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال                    (الشكل أدناه) من الجدول
    
    
    0.9418
    
    

    تابع

    ب- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال        موضحة كالتالي:
    
    علي عمود (z) أقرب رقم لـ 2.33 (2.30) والرقم المكمل (0.03) ونقطة التقاطع عند (0.0099)

    ومن ثم يكون :
    
    ج- تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال            كالتالي:
    
      في الجدول بنفس الطريقة السابقة نجد أن
    د- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال             هي:
         ومن خصائص دالة التوزيع التجميعي

      ومن الجدول نجد أن:
    
    مثـــال 
        إذا كان الدخل السنوي للأسرة في أحد مناطق المملكة يتبع توزيع طبيعي متوسطه 80 ألف ريال، وتباينه 900. والمطلوب:
        كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي.
        كتابة شكل دالة كثافة الاحتمال.
        ما هي نسبة الأسر التي يقل دخلها عن60 ألف ريال ؟
        ما هو الدخل الذي أقل منه 0.975  من الدخول؟
    
    تابع
        كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي:

    بفرض أن  (x) متغير عشوائي يعبر عن الدخل السنوي بالألف ريال، وهو يتبع التوزيع الطبيعي، ومعالمه هي:

    أي:
        شكل دالة كثافة الاحتمال:
          نسبة الأسر التي يقل دخلها عن60 ألف ريال هي:
        ونجري عملية التحويل السابقة:
                 ومن الجدول: 
        
        الدخل الذي أقل منه 0.975  من الدخول: في هذه الحالة يبحث عن قيمة المتغير ( x )  الذي أقل منه 0.975 ، بفرض أن هذا المتغير هو  (x1) ، فإن :
        بالكشف بطريقة عكسية ، حيث نبحث عن المساحة  نجدها تقع عند تقاطع الصف  (1.9)، والعمود  (0.06 ) أي أن قيمة 

    ويكون : 
         إذا الدخل هو 138.8   ألف ريال في السنة.