حساب الوسيط من الأرقام المبوبة

حساب الوسيط من الأرقام المبوبة
تختلف طريقة حساب الوسيط للبيانات المبوبة عن الدرجات العادية . ففى حالة البيانات المبوبة (جداول التوزيع التكرارى ) لا نستطيع أن نرتب الدرجات للتوصل إلى رتبة الوسيط وقيمته ولكننا نستخدم طريقة  آخرى ، وهى فى الحقيقة مشابهة لطريقة حساب الوسيط للدرجات العادية .
   نوجز حساب الوسيط للبيانات المبوبة فى الخطوات الآتية :-
1- نستخدم جدول التوزيع التكرارى فى إعداد الجدول التكرارى المتجمع الصاعد .
2- نحسب رتبة الوسيط وهى تساوى نصف مجموع التكرارت أى          .
3- نحدد فئة الوسيط ، وهى الفئة التى تحتوى على           من التكرارات المتجمعة ، أى الفئة التى تكرارها المتجمع الصاعد أكبر من أو يساوى رتبة الوسيط .
4- تطبق القانون التالى لحساب قيمة الوسيط .
قيمة الوسيط = الحد الأدنى لفئة الوسيط +                                           ×
                طول فئة الوسيط .
مثال :  إذا كانت البيانات التى بين أيدينا مبوبة فى توزيع تكرارى كالآتى :-
بإستخدام طريقة  التكرار المتجمع  الصاعد
حساب الوسيط من الأرقام المبوبة باستخدام طريقة التكرار المتجمع الهابط .
لايجاد الوسيط بهذه الطريقة نتبع الخطوات التالية :-
-      نحدد ترتيب الوسيط =             
-      نحدد الفئة التى يقع بداخلها بالاستعانة بجداول التكرار المتجمع الهابط .
-      نحسب قيمة الوسيط باستخدام القانون .
الوسيط = بداية الفئة الوسيطية +
 × ل

فئات الدرجات التكرار التكرار المتجمع الهابط
المجموع       100  

رتبة الوسيط =                  = 50

الوسيط = 50 +             ×10 =
أو قيمة الوسيط = الحد الأدنى لفئة الوسيط +                                  
  × ل (طول الفئة )
جدول توزيع تكرارى غير متصل
فإننا نستخدم نفس الطرق السابقة مع إستبدال الحد الأدنى لفئة الوسيط بالحد الأدنى الحقيقى لفئة الوسيط . وبالمثل فى حال التوزيع التكرارى المتجمع الهابط نستبدل الحد الأعلى لفئة الوسيط بالحد الأعلى الحقيقى لفئة الوسيط ويعنى هذا أننا يجب أن نحسب الحدود الحقيقية للفئات قبل حساب التكرار المتجمع الصاعد أو الهابط .
مثال: إذا كان لدينا التوزيع التكرارى التالى .
الفئات 15-17       18-20       21-23       24-26       27-29       30-32       المجموع
التكرار 5      9      13     11     8      4      50
1-     نحسب الحدود الحقيقية للفئات وذلك لتحويل التوزيع من توزيع متقطع (حيث توجد فراغات بين 17-18 ، 20-21 ، 23-24 .................وهكذا) إلى توزيع متصل كما يلى :-
الفئات 15-17       18-20       21-23       24-26       27-29       30-32       المجموع
التكرار 5      9      13     11     8      4      50
الحدود الحقيقية 14.5-17.5  17.5-20.5  20.5-23.5  23.5-26.5  26.5-29.5  29.5-32.5 
2- الخطوة التالية هى حساب التوزيع التكرارى المتجمع الصاعد والهابط وإستخدامها فى حساب الوسيط .
الفئات  التكرار الحدود الحقيقية للفئات
المجموع       50    
جدول تكرارى متجمع صاعد
الحدود  العليا للفئات   ت . م . ص
أقل من 17.5
جدول تكرارى متجمع هابط
الحدود  العليا للفئات   ت . م . هـ
14.5 فأكثر
ترتيب الوسيط =             =             = 25
قيمة الوسيط بإستخدام الجدول التكرارى المتجمع الصاعد =
الحد الأدنى لفئة الوسيط +                                                                         × طول الفئة
= 20.5 +               × 3 = 20.5 +            = 20.5+ 2.54 = 23.04
وقيمة الوسيط بإستخدام الجدول التكرارى المتجمع الهابط .
= الحد الأعلى لفئة الوسيط +
× طول الفئة
= 23.5 +                × 3

= 23.5 +           

= 23.5 + 0.46 = 23.04
وهى نفس القيمة السابق الحصول عليها بإستخدام التكرار المتجمع الصاعد .
حساب الوسيط باستخدام الرسم
يمكن حساب الوسيط للبيانات المبوبة بطريقة آخرى عن طريق رسم المنحنى المتجمع الصاعد  أو الهابط أو كليهما .
وإذا قمنا بإستخدام إحدى الطريقتين الأولى والثانية فإننا :
1- نوجد ترتيب الوسيط .
2- نحددها على المحور الصادى ثم نرسم من هذه النقطة مستقيم يوازى المحور السينى ومن نقطة  تقابلة مع المنحنى نسقط  عمود فتكون نقطة التقائة مع المحور السينى هى قيمة الوسيط.
أما إذا استخدمنا الطريقة الثالثة (المنحنيان معا) فنقوم برسم المنحنين المتجمعين الصاعد والهابط معا فيتقابل المنحنيان معا فى نقطة واحدة ، نسقط منها عمود يلاقى المحور السينى فى نقطة هى تمثل قيمة الوسيط .
إيجاد الوسيط بيانياً باستخدام التكرار المتجمع الصاعد .
إيجاد الوسيط بيانياً بإستخدام التكرار المتجمع الهابط .
استخدام المنحنى الصاعد والمنحنى الهابط
مميزات وعيوب الوسيط
1)- مميزات الوسيط :
1- يمكن إيجاد الوسيط من الجداول التكرارية المفتوحة (المفتوحة الطرفين) ومن أحد طرفيها.
2- يمكن إيجاد الوسيط من التوزيعات التكرارية غير المنتظمة ذات أطوال الفئات غير المتساوية .
3- يمكن إيجاد الوسيط بالرسم .
4- سهل الفهم والحساب .
5- لا يتأثر الوسيط بالقيم المتطرفة وبالتالى فهو أكثر تمثيلا للتوزيع .
6- حينما تكون قيم المفردات المرتبة متقاربة فإن الوسيط يمثل البيانات تمثيلا سليما.
7- يعتبر الوسيط أقل ثباتاً من المتوسط الحسابى عند حسابه لعدد من العينات المأخوذة من نفس المجتمع.
2)- عيوب الوسيط :-
1- يعتقد بعض الإحصائيين أن الوسيط ليس حسابيا بدرجة كافية للتغيرات التى تحدث فى قيم المفردات  الداخلة فى التوزيع .
2- يجب ترتيب البيانات لحساب قيمة الوسيط.
3- الوسيط غير شائع الاستعمال.
4- لا يمكن حساب وسيط عام لعدد من العينات المعروفة قيم وسيط كل منها كما هو الحال فى المتوسط الحسابى .
 سبق أن ذكرنا أن الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية الشائعة الاستخدام ، وهو يستخدم بدلا من المتوسط الحسابى فى حال البيانات الترتيبية (مثل التقديرات أو الدرجة الوظيفية) لأننا لا نستطيع حساب متوسط التقديرات او الدرجات الوظيفية (إذا تم الاستعاضة عنها بأرقام وحسبنا متوسطها فلا يكون للمتوسط معنى منطقى ).
المنوالMode   
هو أحد مقاييس النزعة المركزية المناسبة لمستويات القياس الأسمى ، ويعرف المنوال بأنه القيمة الأكثر شيوعاً أو القيمة التى تتكرر أكثر من غيرها .
-      يوصف التوزيع بأنه وحيد المنوالunimodal 
-      وقد يكون للتوزيع منوا لين Bimodal           
-      وأحيانا يكون له عدة منا ويل multi- modal  
وفى مجموعة البيانات الصغيرة حيث لا تتكرر القيم لا يوجد منوال.
وعندما يكون للبيانات أكثر من منوال فلا يجوز حساب متوسطها لان ذلك يتنافى مع معنى المنوال (القيمة الأكثر تكراراً) ، كما أنه إذا حسب متوسط المنوالين مثلا فقد يكون لقيمة أقل تكراراً.

طرق حساب المنوال للبيانات المبوبة
توجد عدة طرق لحساب المنوال من البيانات المبوبة ، وكل طريقة تؤدى إلى نتيجة مختلفة ، ولذلك فإن قيمة المنوال قيمة تقريبية ، وأقل دقة عن المتوسط الحسابى أو الوسيط . ويمكن إيجاد المنوال بعدة طرق:-
أولاً: طريقة الرافعة( العزوم) .
ثانيا ً: طريقة الفروق لبيرسون.
ثالثا: طريقة الرسم البيانى .
أولا :- طريقة الرافعة أو العزوم (عزوم القوىMoments of force     )
لايجاد المنوال بطريقة الرافعة نتبع الخطوات الآتية :-
1- نبحث عن أكبر تكرار لتحديد موقع الفئة المنوالية .
2- نحدد الفئات التالية :
- الفئة المنوالية وتكرارها.
- الفئة السابقة لها وتكرارها .
- الفئة اللاحقة لها وتكرارها .
3- نستخدم هذه المعادلة :
المنوال = بداية الفئة المنوالية +                                      × طول الفئة
وتعد طريقة الرافعة أكثر الطرق استخداما لحساب المنوال من جداول التوزيع التكرارى ، كما أنها أفضل تقريب لقيمة المنوال.
وتعتمد هذه الطريقة أيضا على تكرارى الفئتين المجاورتين لفئة المنوال. وتفترض هذه الطريقة أن المنوال قيمة تقع فى فئة أكبر تكرارها ويتجاذباهما تكرارى الفئتين السابقة والتالية لهما بمعنى أنهما قوتان تحاول كل منهما جذب المنوال فى اتجاهها .
وينص قانون الرافعة على أن : القوة × ذراعها = المقاومة × ذراعها .
مثال: استخدام الجدول التكرارى التالى فى إيجاد المنوال بطريقة الرافعة .
عمر الزوج    20     25     30     35     40     45     المجموع
عدد الأزواج   12     33     50     22     18     15     150
                                           الحل
1 –أكبر تكرار =50
2 – الفئة المنوالية =30 وتكرارها = 50 (أكبر تكرارا)
     الفئة السابقة =25 وتكرارها =   33 (سابق)
     الفئة الاحقة =35 وتكرارها= 22 (لاحق)
 المنوال = بداية الفئة المنوالية +                                   × طول الفئة
      
         = 30 +                 × 5
       
        = 30 +           × 5 = 30 + 2 = 32
         (ب) التكرار السابق للفئة المنوالية × س = التكرار اللاحق للفئة المنوالية × (طول الفئة-س)
               33 × س                = 22× (5- س) = 33س = 110 – 22 س
                 5س = 110              
                ن س =           = 2
المنوال = بداية الفئة +  س        = 30 + 2        = 32
ثانيا : طريقة الفروق لبيرسون :
لايجاد المنوال بطريقة الفروق لبيرسون نتبع الخطوات التالية :-
1-     نوجد أكبر تكرار لتحديد موقع الفئة المنوالية .
2-     نحدد الفئات التالية .
-      الفئة المنوالية وتكرارها .
-      الفئة السابقة لها وتكرارها .
-      الفئة اللاحقة لها وتكرارها .
3-     توجد الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة السابقة لها (ف1) .
4-     توجد الفرق بين تكرار الفئة المنوالية  وتكرار الفئة اللاحقة لها (ف2).
5-     نطبق القانون .
المنوال = بداية الفئة المنوالية +                       × طول الفئة
وجدير بالذكر أن إيجاد المنوال بطريقة الفروق لبيرسون أكثر دقة من طريقة الرافعة .
مثال : استخدام الجدول التكرارى التالى فى إيجاد المنوال بإستخدام طريقة الفروق .
الفئات 54     58     62     66     70
التكرار 5      12     22     7      4
الحــل
1- أكبر تكرار = 22                         والفئة المنوالية = 62
2- نحدد الفئات :
الفئة السابقة = 58  - تكرارها 12           ف1 22 -12 = 10
الفئة اللاحقة = 66-  تكرارها 7             ف2   22- 7 = 15
المنوال = 62 +          × 4 = 63.60

مقاييس التشتت
تعريف التشتت
يقصد بالتشتت فى أى مجموعة من القيم بأنه التباعد بين مفرداتها ، ويكون التشتت كبير اذا كان التفاوت بينهما كبيرا، ويكون التشتت صغيرا اذا كان التفاوت بينهما صغيرا.
ويقاس التشتت احصائيا بالمقاييس الاتية
1-     المدى Range
2-     الانحراف المتوسط
3-     الانحراف المعيارى
4-     الانحراف الربيعى
5-     معامل الاختلاف
  (1 ) -   المدى
هو الفرق بين أكبر قيمة فى التوزيع. وتستخدم معظم البحوث المدى بالإضافة إلى أحد مقاييس النزعة المركزية لوصف البيانات.
      طرق حساب المدى
 1 ) - فى حالة البيانات غير المبوبة :-
المدى المطلق = أكبر قيمة – أصغر قيمة
مثال
حصل مجموعة من المفحوصين عددهم 9 على الدرجات الاتية فى مقياس للتذكر
25، 15،12، 9، 7، 31، 26، 18، 20
اوجد المدى؟
الحل
المدى المطلق = أكبر قيمة – أصغر قيمة
31-7 = 24
مثال البيانات الاتية تمثل درجات المفحوصين على مقياس للاندفاعية
11، 21، 13، 15، 20، 5، 9، 13، 14
أوجد المدى؟
الحل
المدى المطلق = أكبر قيمة – أصغر قيمة
21-5 = 17
 2 ) :  فى حالة الارقام المبوبة :-
المدى = الحد الاعلى لأكبر الفئات – الحد الأدنى لأصغر الفئات


      مثال     :- أحسب المدى للتوزيع التكرارى الاتى:
فئات   0      5      10     15     20     25     30     35     40
تكرار  6      3      5      11     27     37     15     2      1
المدى = الحد الاعلى لأكبر الفئات – الحد الأدنى لأصغر الفئات
40 - . = 40
وتؤثر الدرجات المتطرفة على المدى، ففى حال وجود درجات متطرفة يمكن اهمال أعلى وأقل درجة ونحسب الفرق بين الدرجتين التاليتين لهما.
مثال اذا كان لدينا مجموعة من الدرجات
101، 112، 109، 114، 116، 107، 112، 140
يمكن اهمال الدرجتين 101، 140 لأنهما متطرفتان ولا تصلحان لتحديد المدى ونستخدم بدلا منهما الدرجتين التاليتين لهما (107، 116) لحساب المدى وهو ما يسمى فى هذه الحالة شبيه المدى.
وبصفة عامة فان المدى أو شبيه المدى.
وبصفة عامة فان المدى أو شبيه المدى مقياس سريع لمعرفة تباين أو اختلاف الدرجات.