مبادئ الاحصاء

مبادئ الاحصاء
مقاييس النزعة المركزية
مقاييس النزعة المركزية
يقصد بالنزعة المركزية ميل البيانات إلى التمركز حول قيمة معينة في منتصف هذه البيانات.
قياس النزعة المركزية:
يمكن قياس النزعة المركزية للبيانات (أي التمركز حول القيمة الوسطى للبيانات) بعدد من المقاييس هي:
1- الوسط الحسابي  Arithmetic Mean
2- الوسط الهندسي  Geometric Mean
3- الوسط التوافقي  Harmonic Mean
4- الوسيط Median
4- المنوال Mod
مبادئ الإحصاء 102 كمي
تعريف النزعة المركزية
تعريفة:
  يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه عبارة عن مجموع هذه القيم على عددها.
طرق حسابه الوسط الحسابي:
أولا:  في حالة البيانات غير المبوبة:
يتم حساب الوسط الحسابي بالمعادلة
 الوسط الحسابي = (مجموع القيم ÷ عدد القيم)
مقاييس النزعة المركزية
مبادئ الإحصاء 102 كمي
Arithmetic Mean 1-الوسط الحسابي

مثال (1-2):البيانات التالية تمثل المسافة بالكيلو متر بين الجامعة والمنزل لسبع طلاب .
18   37  25    46   57   77     20         
والمطلوب : حساب الوسط الحسابي للمسافة بين الجامعة والمنزل.
الحل

   كم 40    = =                                                                  
 أي أن متوسط المسافة بين الجامعة والمنزل كم 40  =       .
 الوسط الحسابي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي
ثانيا: في حالة البيانات المبوبة:
يمكن حساب الوسط الحسابي في حالة البيانات المبوبة بالخطوات الآتية:
1- إضافة عمود ثالث للجدول التكراري يمثل مراكز الفئات ويتم حساب مركز الفئة كما يلي.
  مركز الفئة =( بداية  الفئة + نهاية الفئة) ÷2
2- إضافة عمود رابع هو عبارة عن حاصل ضرب مركز الفئة x في التكرار f للحصول على
التعويض في المعادلة التالية:
حيث                         :عبارة عن مجموع حاصل ضرب مركز الفئة x في التكرار f.
    ،                         هو عبارة عن مجموع التكرارات.
الوسط الحسابي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مثال  :(2-2)البيانات التالية تمثل توزيع 100 عامل حسب فئات الأجر اليومي بالريال :

والمطلوب: حساب الوسط الحسابي لأجر العامل اليومي.
90-100        80-    70-    60-    50-    فئات الأجر
5                 10     15     12     8       عدد العمال
 الوسط الحسابي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي

  الحل:

لحساب الوسط الحسابي لأجر العامل اليومي نتبع الخطوات الآتية:

1- حساب مركز الفئة  x :

مركز الفئة الأولى= ( بداية الفئة الأولى + نهاية الفئة الأولى) ÷2 = (50 + 60) ÷ 2 = 55

مركز الفئة الثانية = مركز الفئة الأولى + طول الفئة = 55 + 10 = 65

مركز الفئة الثالثة = مركز الفئة الثانية + طول الفئة = 65 + 10 = 75

مركز الفئة الرابعة = مركز الفئة الثالثة + طول الفئة = 75 + 10 = 85

مركز الفئة الخامسة = مركز الفئة الرابعة + طول الفئة = 85 + 10 = 95

2- إيجاد                  مجموع حاصل ضرب  مركز الفئة x في التكرار f من خلال الجدول التالي .
 الوسط الحسابي 

مبادئ الإحصاء 102 كمي

X .f    مركز الفئة( (x          عدد العمال ( f)         

    فئات الأجر

440   55     8       50 -
780   65     12     60 -
1125 75     15     70 -
850   85     10     80 -
475   95     5       90 -100
3670 -        50     المجموع
 الوسط الحسابي 

مبادئ الإحصاء 102 كمي

3- التعويض في المعادلة  التالية لحساب  الوسط الحسابي  لأجر العامل:

ريال 73.4
الوسط الحسابي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي

مزايا وعيوب الوسط الحسابي
العيوب
1-يتأثر  في حسابه بالقيم  المتطرفة أو الشاذة.
2- لا يمكن حسابه  من البيانات الوصفية.
3-لا  يمكن حسابه من  الجداول التكرارية  المفتوحة من أحد  الطرفين أو من  كليهما.
4- لا يمكن إيجاده  بيانيا بالرسم.

المزايــا
1- سهولة حسابه والتعامل  معه جبريا.
2- دخول جميع القيم  في حسابه ( أي لا  يمكن إهمال أي  مفردة عند حسابه)
3- يعتبر الأساس في  معظم عمليات الاستدلال  الإحصائي.
الوسط الحسابي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي
تعريف الوسط الهندسي:
يعرف الوسط الهندسي لمجموعة من القيم  بأنه الجذر النوني لحاصل ضرب هذه  القيم ويرمز له بالرمز (GM) 
حيث:
    يستخدم الوسط الهندسي عند حساب القيمة المتوسطة لعدد من النسب المئوية.
    يتميز الوسط الهندسي عن الوسط الحسابي بالأتي:

1- انه أقل تأثرا  من الوسط الحسابي  بالقيم المتطرفة  أو الشاذة .

2- لا يمكن حسابه  إذا كانت القيم  تحتوى على أصفار  أو قيم سالبة.

Geometric Mean 2- الوسط الهندسي 
الوسط الهندسي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مثال (3-2)
    أحسب الوسط الهندسي  للقيم الآتية:
20   30   37  28  17  32                    
الحل
26.39 =   

الوسط الهندسي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي
تعريف الوسط التوافقي:
يعرف الوسط التوافقي لمجموعة من القيم بأنه مقلوب الوسط الحسابي لمقلوب القيم  ويرمز له بالرمز (HM).
حيث: 
     يستخدم الوسط التوافقي في الحالات التي لا يصلح فيها استخدام الوسط الحسابي أو الوسط الهندسي.
    والوسط التوافقي يعتمد في حسابه على جميع القيم مثل الوسط الحسابي والوسط الهندسي.

الوسط التوافقي 

مبادئ الإحصاء 102 كمي

Harmonic Mean 3- الوسط التوافقي


مثال (4-2)

    أحسب الوسط التوافقي للقيم الأتية:

18   37   25  46  57  77   20                         
الحل

الوسط التوافقي 
مبادئ الإحصاء 102 كمي

تعريف الوسيط:

يعرف الوسيط بأنه عبارة عن القيمة التي تقع في منتصف القيم، أي القيمة التي عدد القيم قبلها يكون مساوي لعدد القيم بعدها بعد ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا . ويرمز له بالرمز M.
طرق حساب الوسيط:
أولا :حساب الوسيط في حالة البيانات غير المبوبة.
لحساب الوسيط من البيانات الغير مبوبة نتبع الأتي .
1- ترتيب القيم تصاعديا  أو تنازليا حسب  قيمها.
2- حساب الوسيط (تحديد  موقع الوسيط).
        إذا كان عدد المفردات ( n ) عدد فردى فان :
                                                قيمة الوسيط = القيمة الوسطى
        إذا كان عدد المفردات ( n ) عدد زوجي فان
                                            قيمة الوسيط =( مجموع  القيمتين الوسيطتين) ÷ 2

الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي
Median 4- الوسيط

مثال (5-2): البيانات التالية تمثل الأجور اليومية بالريال لعينتين من العاملين  بإحدى القطاعات.

العينة (1) 80   60   100   70     90
العينة (2)  80   60   100   70     90    50
والمطلوب : حساب وسيط الأجر لكل عينة من العينتين السابقتين .
الحل
أ) العينة (1) لحساب الوسيط نتبع الأتي :
ترتيب القيم تصاعديا 60   70   80  90   100
عدد القيم = 5 عدد فردى وبالتالي فان قيمة  الوسيط= 80 ريال
ب) العينة (2) لحساب الوسيط نتبع الأتي :
ترتيب القيم تصاعديا 60   70   80  90   100   50
عدد القيم = 6 عدد زوجي وبالتالي فان قيمة  الوسيط= (80 +(70÷2 = 75 =  2÷150ريال

الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

ثانيا: في حالة البيانات المبوبة.
لحساب الوسيط من البيانات المبوبة نتبع الأتي:
1- تكوين جدول تكراري متجمع صاعد أو هابط .
2-تحديد ترتيب الوسيط .حيث ترتيب الوسيط= (مجموع التكرارات) 2 ÷                 .
3- تحديد فئة الوسيط عن طريق ترتيب الوسيط ثم تحديد  التكرار السابق لفئة الوسيط ، والتكرار اللاحق ثم تحديد  طول فئة الوسيط
4- التعويض في المعادلة التالية.

الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

حيث L بداية فئة الوسيط وهى الفئة التي يقع فيها الوسيط وتحدد بترتيب الوسيط.
و         هي ترتيب الوسيط حيث                 .



            هي التكرار المتجمع  السابق لموقع الوسيط.
           هي التكرار المتجمع  اللاحق لموقع الوسيط.
      طول فئة الوسيط = الحد الأعلى لفة الوسيط- الحد الأدنى لفئة الوسيط

الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

مثال (6-2):
فيما يلي التوزيع التكراري للدخول اليومية بالريال لعينة حجمها 50 عامل من العاملين بأحد القطاعات.

والمطلوب : حساب وسيط الأجر.
الحل
لحساب وسيط الأجر نتبع الآتى:

1- تكوين جدول تكراري  متجمع صاعد.

90-100        80-    70-    60-    50-    40-    30-    فئات الأجر
3       6       8       15     9       5       4       عدد العمال
الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

  موقع الوسيط
تكرار متجمع صاعد    الحدود العليا للفئات
0       أقل من 30
4       أقل من 40
9       أقل من 50
18 التكرار السابق      أقل من 60
33 التكرار اللاحق      أقل من 70
41     أقل من 80
47     أقل من 90
50     أقل من 90
 الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي
فئة الوسيط

2 - تحديد ترتيب الوسيط  25 = 
3- حساب الوسيط . 

64.67 
 وسيط الأجر= 64.67 ريال.
الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

مزايا وعيوب الوسيط

العيوب

1- لا يمكن حسابه  من البيانات الوصفية.
2-عدم  دخول جميع القيم  في حسابه ( يتم  التركيز على قيمة  واحدة أو قيمتين  في حسابه).
3- من الصعب استخدامه  في الإحصاء الاستدلالي  وذلك لصعوبة معالجته  بالطرق الجبرية.

المزايا

1- لا يتأثر في  حسابه بالقيم المتطرفة  أو الشاذة.

2- سهولة حسابه أو  إيجاده.
3-يمكن  حسابه من الجداول  التكرارية المفتوحة  من أحد الطرفين  أو من كليهما.
4-يمكن  إيجاده بالرسم.
الوسيط
مبادئ الإحصاء 102 كمي

المنوال هو عبارة عن قيمة المفردة الأكثر تكرارا أو شيوعا و يرمز له بالرمز Mod.
طرق حساب المنوال:
أولا: في حالة البيانات غير المبوبة :
  نستخدم التعريف  مباشرة أي أن  قيمة المنوال = القيمة  التي تتكرر أكثر  من غيرها ( أي المفردة  الأكثر تكرارا  أو شيوعا ).
المنوال
مبادئ الإحصاء 102 كمي
 Mod 5-المنوال
مثال (7-2) :إذا كان لدينا بيانات لأجر ثلاث عينات من العاملين بأحد القطاعات.
العينة (1)
60   100     60    80     70    90              
العينة (2)
                    50     50    90   100   70    80  100   50    100   60   10
العينة (3)

40    90     70    80     50     30    60   100             
 والمطلوب: إيجاد المنوال لكل عينة من العينات السابقة
المنوال
مبادئ الإحصاء 102 كمي


 



                                           

الحل
العينة (1) من تعريف المنوال نجد أن المنوال Mod = 60ريال
العينة (2) من تعريف المنوال نجد أن المنوال الأول Mod = 50ريال
المنوال الثاني Mod = 100 لأن كليهما تكرر ثلاث مرات . ( لاحظ في هذه العينة وجد منولان ) . 
العينة (3) من تعريف المنوال نجد أن المنوال Mod(لا يوجد منوال لهذه القيم لعدم وجود قيم مكررة)
لاحظ الأتي ( عند إيجاد المنوال لمجموعة من البيانات إذا لم يوجد تكرار في البيانات                 ( لا يوجد منوال) ، إذا وجدت في البيانات قيمة واحدة مكررة أكثر من غيرها (يوجد منوال وحيد) ، إذا وجدت أكثر من قيمة واحدة مكررة أكثر من غيرها في البيانات (يوجد أكثر من منوال)