نظرة عامة على الدوال اللوغاريتمية
تفسير الدوال.
• فهم مفهوم الدوال واستخدام التأشير الدالي.
• فسر الدوال التي تنجم في التطبيقات من حيث السياق.
• قم بتحليل الدوال مستخدما تمثيلات مختلفة.
بناء الدوال.
• قم ببناء دالة لنمذجة العلاقة بين كميتين.
• قم ببناء دالة جديدة من دوال موجودة.
النماذج الخطية والتربيعية والأسية
• قم ببناء النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المسائل.
• فسر التعبيرات للدوال من حيث الموقف الذي تكون نموذجا له.
الدوال المثلثية
• قم بتوسعة نطاق الدوال المثلثية مستخدما وحدة الدائرة.
• قم بنمذجة الظاهرة الدورية باستخدام الدوال المثلثية.
• أثبت وطبق المتطابقات المثلثية
تفسير الدوال F-IF
فهم مفهوم الدوال واستخدام التأشير الدالي.
1. عليك فهم أن دالة من مجموعة واحدة (تسمي النطاق) إلى مجموعة أخرى (تسمى المدى) تعطي لكل عنصر من عناصر النطاق عنصر واحد بالضبط من عناصر المدى. إذا ما كانت و دالة وكان خ هو عنصر من عناصر نطاقها، إذن و (خ) المخرج لـ و المقابل للمدخل خ. ولذا فأن التمثيل البياني لـ و هو التمثيل البياني للمعادلةذ = و (خ).
2. استخدم التأشير الدالي وقم بتقييم الدوال للمدخلات في نطاقها وفسر العبارات التي تستخدم التأشير الدالي من حيث السياق.
3. عليك فهم أن التسلسلات هي دوال يتم أحيانا تعريفها تعاقبيا والتي يكون نطاقها مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، تسلسل فيبوناتشي يتم تعريفه تعاقبيا بواسطة و (0) = و (1) = 1، و (ن + 1) = و (ن) + و (ن - 1) مقابل ن ≥ 1
فسر الدوال التي تنجم في التطبيقات من حيث السياق.
4. بالنسبة لدالة تمثل نموذج للعلاقة بين كميتين قم بتفسير الخصائص الأساسية للمؤشرات البيانية والجداول من حيث الكميات و ارسم المؤشرات البيانية موضحا الخصائص الرئيسية معطيا وصف لفظي للعلاقة. وتتضمن الخصائص الأساسية: التقاطعات والفواصل حيث تتزايد الدالة أو تتناقص سواء إيجابيا أو سلبيا أو نسبيا الحدود القصوى والحدود الدنيا و التماثلات و المسار والتواتر الدوري.
5. قم بنسب نطاق دالة إلى تمثيله البياني وريثما ينطبق إلى العلاقة الكمية التي يصفها. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة ح (ن) تعطي الوقت الذي يستغرقه عدد من الأشخاص -ساعة لتجميع العدد n محركات في مصنع.إذن فإن الأرقام الصحيحة الموجبة ستكون نطاق ملائم لهذه الدالة.
6. احسب وفسر المعدل المتوسط للتغير في دالة (ممثلة رمزيا أو كجدول) على فواصل محددة. قدر معدل التغير من التمثيل البياني.
تحليل الدوال مستخدما تمثيلات مختلفة.
7. قم بتمثيل الدوال الموصوفة رمزيا بيانيا ووضح الخصائص الأساسية للتمثيل البياني باليد في الحالات البسيطة ومستخدم التكنولوجيا للحالات الأكثر تعقيدا.
أ. قم بتمثيل الدوال الخطية والتربيعية بيانيا ووضح التقاطعات و القيمة القصوى والقيمة الدنيا.
ب. قم بتمثيل جذر تربيعي و جذر تكعيبي والدوال المعرفة جزئيا وتتضمن الدوال المرحلية و دوال القيمة المطلقة.
ج. قم بتمثيل الدوال متعددة الحدود بيانيا محددا الأصفار حينما تكون العوامل الملائمة متاحة موضحا المسلك النهائي.
د. (+) قم بتمثيل الدوال الكسرية بيانيا محددا الأصفار والتقاربات عندما تتوافر العوامل الملائمة ووضح سلوك طرفي التمثيل البياني.
ه. قم بتمثيل الدوال اللوغاريتمية والأسية بيانيا موضحا التقاطعات والسلوك و الدوال المثلثية موضحا الفترة وخط الوسط و التوسعة.
8. أكتب دالة معرفة بتعبير في صور مختلفة متكافئة لتوضيح وشرح الخصائص المختلفة للدالة.
أ. استخدم عملية العوملة واستكمال المربع في دالة تربيعية لتوضيح الأصفار والقيم المتطرفة وتماثل التمثيل البياني وفسر كل ذلك من حيث السياق.
ب. استخدم خصائص الرفع الأسي لتفسير تعبيرات الدوال الأسية. علي سبيل المثال، حدد النسبة المئوية لمعدل التغير في الدوال مثل ذ = (1.02) ر، ذ = (0.97) ر، ذ = (1.01) 12 ر، ذ = (1.2) ر/ 10
9. قم بمقارنة خصائص دالتين تم تمثيل كل منها بطريقة مختلفة(جبريا و بيانيا و عدديا في جداول أو بالوصف اللفظي). على سبيل المثال، إذا ما كان لديك تمثيل بياني لدالة تربيعية و تعبير جبري لدالة أخرى حدد أيهما لها حد أقصي أكبر.
بناء الدوال F-BF
قم ببناء دالة لنمذجة العلاقة بين كميتين.
1. اكتب دالة تصف العلاقة بين كميتين.
أ. حدد تعبير واضح وعملية تعاقبية أو مراحل للحساب من السياق.
ب. قم بدمج أنواع الدالة المعيارية مستخدما العمليات الحسابية. على سبيل المثال، قم ببناء دالة تنمذج درجات حرارة جسم تبريد عن طريق إضافة دالة ثابتة إلى أس متناقص وقم بنسب هذه الدوال إلى النموذج.
ج. (+)الدوال المؤلفة علي سبيل المثال، إذا كانت ر (ذ) هي درجة الحرارة في الغلاف الجوي هي دالة الارتفاع و كانت ح (ر) هي ارتفاع بالون الطقس كدالة وقت إذن ر (ح) (ر) هي درجة الحرارة في موقع بالون الطقس كدالة وقت.
2. اكتب تسلسل حسابي و هندسي في الصورتين التعاقبية و بصيغة واضحة واستخدمهم لنمذجة الموقف وأنقل بين الصيغتين.
قم ببناء دالة جديدة من دوال موجودة.
3. حدد الأثر على التمثيل البياني لاستبدال و (خ) في و (خ) + ك و (خ)، و (ك خ)، و و (خ + ك) لقيم محددة لكل من ك (إيجابيا وسلبيا) أوجد قيمة ك مستخدما التمثيل البياني. قم بإجراء التجارب على الحالات ووضح شرح للآثار على التمثيل البياني مستخدما التكنولوجيا. ضمن هذا التحديد الدوال الفردية والزوجية من تمثيلاتها البيانية وتتعبيراتها الجبرية.
4. أوجد الدوال العكسية.
أ. قم بحل معادلة من الصيغة و (خ) = ج لدالة بسيطة f والتي لها معاكس وأكتب تعبير للمعاكس. على سبيل المثال،و (خ) = 2 خ3 أو و (خ) = (خ + 1) / (خ - 1) مقابل خ ≠ 1
ب. (+) أكد بالتركيب أن احدي الدوال هي معاكس الأخرى.
ج. (+) قم بقراءة قيم الدالة العكسية من تمثيل بياني أو جدول علما بأن الدالة لها معاكس.
د. (+) أعمل دالة مقلوبة من دالة غير مقلوبة عن طريق حد النطاق.
5. (+) أفهم العلاقة العكسية بين الأسس واللوغاريتم واستخدم هذه العلاقة لحل المسائل المتضمنة لوغاريتمات وأس.
النماذج الخطية والتربيعية والأسية F-LE
قم ببناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المسائل.
1. قم بالتمييز بين المواقف التي يمكن صنع نماذج لها باستخدام الدوال الخطية و الدوال الأسية.
أ. أثبت أن الدوال الخطية تنمو بفروق متساوية على فواصل متساوية وأن الدوال الأسية تنمو بعوامل متساوية عبر الفواصل المتساوية.
ب. حدد المواقف التي تتغير فيها كمية بمعدل ثابت بالنسبة لوحدة الفاصل تناسبا مع الأخرى.
ج. حدد المواقف التي تنمو فيها كمية أو تتناقص بمعدل نسبي مئوي ثابت بالنسبة لوحدة الفاصل تناسبا مع الأخرى.
2. قم ببناء دوال أسية وخطية متضمنة تسلسلات حسابية وهندسية علما بأن لديك التمثيل البياني ووصف العلاقة أو زوجين من المدخلات والمخرجات (ضمن هذا قراءة ما سبق من جدول).
3. لاحظ مستخدما التمثيل البياني والجداول أن كمية تتزايد أسيا تتجاوز حتما كمية تتزايد خطيا أو تربيعيا (أو بصورة أشمل) كـدالة متعددة الحدود.
4. عبر لوغاريتميا عن حلول النماذج الأسية لـ أ ب ج ر = د حيث أ و ج ود أرقام و القاعدة هي ب تكون 2, 10, أو هـ. قيم اللوغاريتم مستخدما التكنولوجيا.
فسر التعبيرات للدوال من حيث الموقف الذي تكون نموذجا له.
5. قم بتفسير المعطيات في دالة خطية أو أسية من حيث السياق.
الدوال المثلثية F-TF
قم بتوسعة نطاق الدوال المثلثية مستخدما وحدة الدائرة.
1. علي فهم القياس الشعاعي للزاوية كطول القوس على وحدة الدائرة مقابل من الزواية.
2. اشرح كيف أن وحدة الدائرة من المستوى الإحداثي تمكن من امتداد الدوال المثلثية إلى جميع الأرقام الحقيقية مفسرة كقياس شعاعي للزوايا العابرة عكس اتجاه عقارب الساعة حول وحدة الدائرة.
3. (+)استخدم المثلثات الخاصة لتحديد قيم الجيب وجيب التمام، الظل لـπ/3, π/4 وπ/6 استخدم وحدة الدائرة للتعبير عن قيم الجيب وجيب التمام الظل لـ خ, π + خ, و 2π – خ من حيث قيمهم لـ خ حيث خ هي أي رقم حقيقي.
4. (+) استخدم وحدة الدائرة لشرح التماثل (الزوجي والفردي) والدورية للدوال المثلثية.
قم بنمذجة الظوهر الدورية باستخدام الدوال المثلثية.
5. أختار دوال مثلثية لنمذجة الظواهر الدورية بتوسعة محددة و تردد وخط وسط.
6. (+) أفهم أن قصر دالة مثلثية على نطاق تتزايد فيه دائما أو تتناقص فيه دائما يسمح ببناء عكسها.
7. (+) استخدم الدوال العكسية لحل المعادلات المثلثية التي تنجم من سياق النمذجة وقيم الحلول مستخدما التكنولوجيا وفسرها من حيث السياق.
أثبت وطبق المتطابقات المثلثية.
8. أثبت المتطابقات الفيثاغورثية جيب 2(θ) + cos2(θ) = 1 واستخدمها لإيجاد جيب (θ) و جيب التمام (θ) أو الظل (θ) علما بأن الجيب (θ)و جيب التمام (θ) والظل (θ) وتربيع الزاوية معطى لك.
9. (+) أثبت صيغ الجمع والطرح للجيب وجيب التمام والظل واستخدمهم لحل المسائل.
الرياضيات -النمذجة للمرحلة الثانوية:مقدمة
تربط النمذجة بين الرياضيات والإحصاء في الفصل والحياة اليومية والعمل واتخاذ القرار. النمذجة هي عملية اختيار واستخدام الرياضيات والأحصاء الملائم لتحليل المواقف العلمية وفهمها بصورة أفضل وتحسين القرار. الكميات وعلاقتها في الفيزياء والاقتصاد والسياسة العامة والمواقف الاجتماعية واليومية يمكن نمذجتها باستخدام الطرق الرياضية والإحصائية. عند صناعة النماذج الرياضية تصبح التكنولوجيا في غاية الأهمية للافتراضات المختلفة واستكشاف التبعات ومقارنة التنبؤات مع البيانات.
يمكن أن يكون النموذج بسيطا جدا، مثل كتابة التكلفة الكلية كنتيجة لسعر الوحدة وعدد الوحدات المشتراة أو باستخدام شكل هندسي لوصف الأشياء الفيزيائية مثل العملة المعدنية. حتى هذه النماذج البسيطة تتضمن القيام بالاختيار. ويرجع القرار لنا إذا ما رغبنا في عمل نموذج لعملة معدنية كأسطوانة ثلاثية الأبعاد أو إذا ما كان مكتب ثنائي الأبعاد يعمل بشكل جيد لغرضنا هذا. بينما نحتاج في المواقف أخري- مثل نمذجة طريق التسليم أو جدول إنتاج أو مقارنة بين فوائد القروض - نماذج أكتر عمقا تستخدم أدوات أخرى من العلوم الرياضية. المواقف الفعلية الواقعية ليست مرتبة ومعنونة للتحليل ولذا فان صياغة نماذج تتبعية تمثل تلك النماذج وتحليلها هو بدرجة كبيرة عملية خلاقة. ومثل أي عملية أخري يعتمد هذا على الخبرات المكتسبة والإبداع.
قد تتضمن بعض الأمثلة على تلك المواقف ما يلي:
• قدر كم من الماء والطعام تحتاجه مدينة منكوبة عدد سكانها 3 ملايين في عملية إغاثة الطوارئ وكيفية توزيعها.
• خطط دورة بطولة تنس لـ7 لاعبين في نادي بأربع 4 جداول حيث يلعب كل لاعب ضد اللاعبين الآخرين.
• صمم مخطط الأكشاك في مدرسة بحيث تجمع أكبر قدر من المال.
• حلل مسافة التوقف لسيارة.
• نمذجة رصيد حساب توفير أو نمو مستعمرة بكتيرية أو نمو الاستثمار.
• الانخراط في تحليل المسار الحرج على سبيل المثال، مطبق على دوران الطائرة في مطار.
• تحليل المخاطر في مواقف مثل الرياضات الخطرة والأمراض المستوطنة والإرهاب.
• نسب إحصائيات تعداد السكان إلى التوقعات الفردية.
في مواقف مثل ما سبق فان النموذج الذي يتم تصميمه يعتمد على عدد من العوامل: مدي دقة الإجابة التي نرغب فيها أو نحتاجها؟ أي خصائص من الموقف نحتاج أن نفهمها بدرجة أكبر أو نتحكم فيها أو نقلصها؟ ما هي الإمكانات من حيث الوقت والأدوات لدينا؟ مدى النماذج التي يمكن أن نصنعها ونحللها هي أيضا مقيدة بواسطة القيود على الرياضيات والإحصاء والمهارات التكنولوجية المتوافرة لنا ومقدرتنا على إدراك المتغيرات الهامة والعلاقات بينها. الرسوم البيانية من أنواع مختلفة، وجداول البيانات وغيرها من التكنولوجيا، والجبر هي أدوات قوية لفهم وحل مشاكل مستمدة من أنواع مختلفة من الحالات في العالم الحقيقي.
واحدة من الأفكار التي تقدمها النمذجة الرياضية هي بصورة أساسية أن نفس البنية الرياضية أو الإحصائية يمكن أن تصنع نموذج لمواقف تبدو مختلفة في بعض الأحيان. ويمكن للنماذج أن تلقي الضوء على البنى الرياضية نفسها على سبيل المثال، حينما يقوم نموذج للنمو البكتيري بصورة أكثر وضوحا النمو الانفجاري لدالة أسية.
تم تلخيص دورة النمذجة الأساسية في الشكل التالي. حيث تتضمن (1) تحديد المتغيرات في الموقف واختيار تلك المتغيرات التي تمثل السمات الجوهرية (2) صياغة نموذج عن طريق صنع واختيار تمثيل هندسي أو بياني أو جدول او جبري أو إحصائي يصف العلاقات بين المتغيرات (3) تحليل وإجراء العمليات على تلك العلاقات للوصول إلى الاستنتاج (4) تفسير النتائج الرياضية من حيث الموقف الأصلي.(5) تأكيد الاستنتاج عبر مقارنته بالموقف ومن ثم تحسين النموذج أو إذا ما كان مقبولا (6) رفع الاستنتاجات والحجج الداعمة لها. كما أن الاختيارات والافتراضات والمقاربات موجودة أيضا في هذه الدورة.
ففي النمذجة الوصفية يصف النموذج ببساطة الظواهر أو يلخصها في صيغة مضغوطة. التمثيل البياني للملاحظات يعد نموذج وصفي شائع-على سبيل المثال، التمثيل البياني لدرجات الحرارة العالمية ونسبة ثاني أكسيد الكربونCO2 في الغلاف الجوي عبر الوقت.
وتسعي النمذجة التحليلية إلى تفسير البيانات على أساس أفكار نظرية أعمق علي الرغم من أن المعطيات الراسخة تجريبيا.على سبيل المثال،النمو الأسي للمستعمرة البكتيرية (حتي آليات الانقطاع مثل التلوث أو إدخال عنصر الحرمان) ينجم من معدل تكاثر ثابت. ولذا فأن الدوال أدوات هامة لتحليلتلك المسائل.
أدوات التمثيل البياني والجداول الالكترونية والنظم الحاسوبية الجبرية وبرمجيات الهندسة الديناميكية أدوات قوية يمكن استخدامها لنمذجة الظواهر الرياضية الخالصة (على سبيل المثال سلوك متعددات الحدود) وكذلك الظواهر الفيزيائية.
معايير النمذجة
إنّ أفضل تفسير للنمذجة ليس بالقول إنها تجميع موضوعات مستقلة عن بعضها بعضًا، إنما بالقول إنها تجميع موضوعات تتعلق بمعايير أخرى، حيث إنّ وضع النماذج الحسابية يعد معيارًا للمسائل الحسابية، وتظهر بعض معايير النمذجة في جميع معايير المدارس الثانوية مشارًا إليها برمز النجمة ( ).
الرياضيات - علم الهندسة للمرحلة الثانوية:مقدمة
يمكن تطبيق فهم سمات الأشكال الهندسية وعلاقاتها في سياقات مختلفة، تشمل: تفسير الرسومات التخطيطية، أو تقدير كمية الخشب اللازمة لتسقيف سقف مائل، أو تصميم رسومات الحاسوب، أو تصميم نمط خياطة للاستخدام الأمثل للمواد.
رغم أنّ هناك العديد من أنواع علوم الهندسة، فإنّ مادة الرياضيات التي يدرسها الطلاب في المدارس مخصصة أساسًا للهندسة الإقليدية ذات الصلة بالمستويات، حيث إنها تُدرَّس من الناحيتين التركيبية (بدون الإحداثيات) والتحليلية (بالإحداثيات). وأهم ما تتميّز به الهندسة الإقليدية هي مسلمة المتوازي التي تنص أنّ: "من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور." (وعلى العكس، فإنّ الهندسة الكروية لا يوجد بها خطوط متوازية.)
أثناء المرحلة الثانوية، يبدأ الطلاب إضفاء الطابع الرسمي على خبراتهم في علم الهندسة والتي تحصّلوا عليها من المرحلة الابتدائية والمتوسطة، وذلك باستخدام تعريفات أكثر دقة واستنتاج براهين متأنية. وفي وقت لاحق في الكلية، ينمي بعض الطلاب معرفتهم بالهندسة الإقليدية وغيرها من العلوم الهندسية بعناية عن طريق مجموعة صغيرة من البديهيات.
يمكن إدراك مفاهيم التطابق والتشابه والتماثل من منظور التحول الهندسي. وتعد الحركات الجامدة عناصر أساسية، فالانتقالات والدورانات والانعكاسات والتوافيق التي تجمع بينها جميعها يفترض هنا أن تحافظ على المسافة والزوايا (وبالتالي الأشكال عمومًا). ويوضّح كل من الانعكاسات والدورانات نوعًا معينًا من التماثل، حيث إنّ تماثلات جسم ما توفر نظرة ثاقبة على سماته، كما هو الحال عندما يضمن التماثل الانعكاسي أنّ زاويتي قاعدة المثلث متساوي الضلعين متطابقتان.
في النهج المتبع هنا، يُعرَّف اثنان من الأشكال الهندسية بأنهما متطابقان إذا كان هناك سلسلة من الحركات الجامدة التي تحمل أحدهما على الآخر. وهذا هو مبدأ التراكب، فبالنسبة إلى المثلثات، فإنّ التطابق يعني المساواة بين جميع أزواج الأضلاع المتقابلة، وجميع أزواج الزوايا المتقابلة. وأثناء صفوف المرحلة المتوسطة، من خلال تجارب رسم مثلثات من ظروف معطاة، ينتبه الطلاب إلى طرق لتحديد مقاييس كافية في المثلثات وذلك لضمان أنّ جميع المثلثات المرسومة باستخدام تلك المقاييس متطابقة. وبمجرد توافر معايير تطابق المثلثات (زاويتان متجاورتان وضلع، وزاوية وضلعين مجاورين، والأضلاع الثلاثة) باستخدام الحركات الجامدة؛ يمكن استخدامها لإثبات نظريات المثلثات والأشكال الرباعية والأشكال الهندسية الأخرى.
تحدد تحويلات التماثل (الحركات الجامدة تليها توسعات) التماثل بالطريقة نفسها التي تحدد الحركات الجامدة التطابق بها، وبالتالي، فإنها تضفي طابعًا رسميًا على أفكار تماثل "الشكل نفسه" و "معامل المقياس" الذي نما إلى ذهن الطلاب في صفوف المرحلة المتوسطة. وتقود هذه التحويلات إلى معيار تماثل مثلثين بتطابق زاويتين متقابلتين فيهما.
ولنا أنْ نعلم أنّ تعريفات الجيب وجيب التمام والظل للزوايا الحادة مبنية على المثلثات قائمة الزاوية والتماثل، ومع نظرية فيثاغورث، فإنها من الأمور الأساسية في العديد من الحالات الواقعية والنظرية. وبالحديث عن نظرية فيثاغورث، فإنها معمّمة على المثلثات غير قائمة الزاوية وذلك من خلال قانون جيب التمام. ويجسّد قانونا الجيب وجيب التمام معًا معايير تطابق المثلثات بالنسبة للحالات التي يكفي وجود ثلاث معطيات فيها لحل المثلث بشكل كامل. وعلاوة على ذلك، فإنّ هذين القانونين ينتجان اثنين من الحلول الممكنة في الحالات المبهمة، مما يوضح أنّ الزاوية والضلعين المجاورين ليس معيارًا للتطابق.
تربط الهندسة التحليلية الجبر بالهندسة، مما ينتج عنه وسائل قوية لتحليل المسائل وحلها. كما أنّ خط الأعداد يربط الأرقام بالنقاط في بعد واحد، في حين أنّ أزواج المحاور المتعامدة تربط أزواج الأرقام بالنقاط في بعدين. وللعلم، فإنّ هذا التطابق بين الإحداثيات العددية والنقاط الهندسية يسمح بتطبيق أساليب من علم الجبر في علم الهندسة والعكس بالعكس، فمجموعة حل المعادلة تتحول إلى منحنى هندسي، مما يجعل التصور أداة لتطبيق علم الجبر وفهمه. ويمكن وصف الأشكال الهندسية باستخدام المعادلات، مما يجعل التلاعب في القيود الجبرية أداة لنمذجة فهم علم الهندسة واستنتاج البراهين. هذا وتتطابق التحويلات الهندسية للرسومات البيانية الخاصة بالمعادلات مع التغييرات الجبرية في معادلاتها.
وتوفر بيئات الهندسة الديناميكية للطلاب الأدوات والنماذج التجريبية التي تسمح لهم بالتحقيق في الظواهر الهندسية في أحيان كثيرة بالطريقة نفسها التي تتيح لهم بها أنظمة الجبر الحاسوبية تجربة الظواهر الجبرية.
قرائن المعادلات
إنّ هذا التطابق بين الإحداثيات العددية والنقاط الهندسية يسمح بتطبيق أساليب من علم الجبر في علم الهندسة والعكس بالعكس، فمجموعة حل المعادلة تتحول إلى منحنى هندسي، مما يجعل التصور أداة لتطبيق علم الجبر وفهمه. ويمكن وصف الأشكال الهندسية باستخدام المعادلات، مما يجعل التلاعب في القيود الجبرية أداة لنمذجة فهم علم الهندسة واستنتاج البراهين.
الممارسات الرياضية
1. فهم المسائل والاجتهاد في حلها.
2. التفكير التجريدي والكمي.
3. بناء الحجج القابلة للتطبيق ونقد المنطق عند الآخرين.
4. وضع النماذج باستخدام الرياضيات
5. استخدام أدوات مناسبة بطريقة إستراتيجية.
6. الاهتمام بالدقة.
7. البحث عن التركيب والاستفادة منه.
8. البحث والتعبير عن النظامية في الاستنتاج المكرر.
نظرة عامة على علم الهندسة
التطابق
• تجربة التحويلات في المستوى
• فهم التطابق من حيث الحركات الجامدة
• إثبات النظريات الهندسية
• بناء التراكيب الهندسية
التماثل والمثلثات قائمة الزاوية وحساب المثلثات
• فهم التماثل من حيث تحويلات التماثل
• إثبات النظريات التي تنطوي على تماثل
• تحديد النسب المثلثية وحل المسائل التي تنطوي على المثلثات
• تطبيق حساب المثلثات على المثلثات بشكل عام
الدوائر
• فهم نظريات الدوائر وتطبيقها
• إيجاد أطوال الأقواس واحتساب مساحات قطاعات من الدوائر
التعبير عن الخصائص الهندسية بالمعادلات
• النقل بين الوصف الهندسي ومعادلة مقطع مخروطي
• استخدام الإحداثيات لإثبات النظريات الهندسية البسيطة جبريًا
القياس الهندسي والبعد
• شرح معادلات الحجم واستخدامها في حل المسائل
• وضع تصور للعلاقات بين الأجسام ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد
النمذجة بالاستعانة بعلم الهندسة
• تطبيق المفاهيم الهندسية في حالات النمذجة
التطابق G-CO