ملخص الرياضيات


الجمع والطرح في نطاق الأرقام 5 أو 10 أو 20 أو 100 أو 1000: جمع أو طرح عددين صحيحين بحيث تكون النتيجة عددًا صحيحًا وناتج الجمع أو المطروح منه في النطاق 0-5 أو 0-10 أو 0-20 أو0-100 على التوالي. مثال: 8 + 2 = 10 هي عملية جمع في النطاق 10، و14 – 5 = 9 هي عملية طرح في النطاق 20، و55 – 18 = 37 هي عملية طرح في النطاق 100.

الاحتمالية: الرقم الذي يقع بين 0 و 1 والمستخدم لتحديد الاحتمالية الخاصة بالعمليات التي لها نتائج غير مؤكدة (مثل قذف عملة، واختيار شخص عشوائيًا من مجموعة من الناس، وقذف الكرة إلى هدف معين، أو اختبار حالة طبية).


الإستراتيجية الحسابية: معالجات هادفة يتم اختيارها لمسائل محددة، وقد لا يكون لها نظامًا محددًا، كما أنها قد تهدف إلى تحويل مسألة إلى أخرى. انظر أيضًا: الخوارزمية الحسابية.


الأعداد الصحيحة: هي الأعداد 0, 1, 2, 3,.....


البيانات ثنائية المتغيّر: عبارة عن أزواج من الملاحظات العددية المرتبطة. مثال: قائمة الارتفاعات والأوزان الخاصة بكل لاعب في فريق كرة القدم. مخطط صندوق. طريقة عرض بصري لتوزيع قيم البيانات باستخدام المتوسط والربيع والنقيضين لمجموعة البيانات. يوضح الصندوق متوسط50% من البيانات.1


التطابق: تكون الأشكال المستوية والمفرغة متطابقة إذا كان من الممكن الحصول على مقياس أحدها من الآخر من خلال الحركة الجاسئة (سلسلة من الدورات والانعكاسات والانتقالات).


التكرار العشري: النموذج العشري لعدد كسري. انظر أيضًا: عدد عشري منتهٍ.


التمدد: الانتقال الذي يُحرك كل نقطة على طول الشعاع من خلال النقطة المنبثقة عن مركز ثابت ويضاعف المسافات من المركز من خلال معامل المقياس العام.

الحركة الكاملة: الانتقال من نقطة في فراغ بحيث يتضمن ذلك سلسلة أو أكثر من الانتقالات و/ أو الانعكاسات و/أو الدورات. ومن المفترض أن تحافظ هذه الحركة على المسافات وقياسات الزوايا.

الخاصية التبديلية: انظر الجدول 3 في هذا المسرد.

الخاصية الترابطية للجمع: انظر الجدول 3 في هذا المسرد.

الخاصية الترابطية للضرب: انظر الجدول 3 في هذا المسرد.

الخوارزمية الحسابية: مجموعة من الخطوات المحددة مسبقًا المُطبقة على مجموعة من المسائل والتي تُعطي النتيجة الصحيحة في كل حالة عند تنفيذ الخطوات بطريقة صحيحة. انظر أيضًا: الإستراتيجية الحسابية.

الربع الأول: بالنسبة لمجموعة البيانات في المتوسط M، يعد الربع الأول متوسط قيم البيانات التي تُساوي أقل من M. مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات\{1, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}، فإن الربع الأول هو 6.2
انظر أيضًا: المتوسط والربع الثالث والمدى الربيعي

الربع الثالث: بالنسبة لمجموعة البيانات مع المتوسط M، يعتبر الربع الثالث هو متوسط قيم البيانات الأكبر من M. مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات {2, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120} فإنّ الربع الثالث هو رقم15. انظر أيضًا: مجموعة المتوسط والربع الأول والمجموعة الربعية.

الشكل المستقيم: مضلع كل زواياه قائمة.


الشكل الموسع: يُعبر عن الرقم المتعدد عشريًا في النموذج الموسع كمجموع مضاعفات رقم واحد بقوة العشرة. مثال، 643 = 600 + 40 + 3.

العد الإجمالي: هي طريقة الحصول على عدد مجموعة من الأشياء بمجموعها دون عدّ كل فرد من أفراد المجموعة. على سبيل المثال، إذا كانت هناك رزمة من الكتب عددها 8 كتب، ثم قمنا بإضافة 3 كتب أخرى عليها، فليس من الضروري عدّ جميع الكتب مرة أخرى، حيث يمكننا الحصول على العدد الإجمالي من خلال عدّ الكتاب الأخير ونقول ثمانية ثم بعد ذلك تسعة وعشرة وإحدى عشر. ومن هنا، نجد أن هناك أحد عشر كتابًا.


العدد الصحيح: هو الرقم المعبر عنه في شكل أ أو - العدد الصحيح أ.


العدد الكسري: تعبير رقمي في صورة أ/ب أو أ/ب لكسر أ/ب. وتتضمن الأعداد الكسرية الأعداد الصحيحة.


القيمة المتوقعة: بالنسبة للمتغير العشوائي، هي المتوسط المرجح لقيمها المحتملة، مع إعطاء الترجيحات من احتمالات كل منها.

الكسر المركب: الكسر أ/ب حيث إنّ أ أو ب أو كليهما كسور (ب ليست صفرًا)


الكسر: الرقم المُعبر عنه في الشكل أ/ب حيث أن أ عدد صحيح وب عدد صحيح موجب. (الكلمة "الكسر" بهذه المعايير تُشير غالبًا إلى عدد غير سالب.) انظر أيضًا: العدد الكسري.


المتغير العشوائي: تعيين قيمة رقمية لكل ناتج في مسافة العينة. التعبير الكسري: حاصل رقمين متعددو الحدود مع وجود مقام غير الصفر.

المتوسط الحسابي: قياس الوسط في مجموعة البيانات الرقمية، التي يتم حسابها بإضافة القيم في قائمة ثم قسمة الناتج على عدد القيم الموجودة بالقائمة.4 مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات {1, 3, 6, 7, 10،2, 14, 15, 22, 120}، فإن المتوسط الحسابي هو 21.3


المتوسط: قياس المتوسط في مجموعة البيانات الرقمية. يعتبر متوسط قائمة القيم هو القيمة التي تظهر وسط النسخة المفروزة للقائمة - أو متوسط قيمتين مركزيتين، إذا كانت القائمة تحتوي على عدد زوجي من القيم. مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات {2, 3, 6, 7, 10, 12,14, 15, 22, 90}، فإن المتوسط هو 11.

المخطط الشريطي: عبارة عن رسم يشبه الجزء من الشريط ويستخدم لتوضيح العلاقة بين الأعداد. ويعرف أيضًا باسم الرسم الشريطي أو نموذج الشريط أو الشريط الكسري أو نموذج الطول.


المعكوس الجمعي: إذا كان هناك رقمان مجموعهما صفر (0) فكل منهما معكوس جمعي للآخر. مثال:3/4 و – 4/3 كليهما معكوسًا جمعيًا للآخر وذلك لأن 3/4 + (– 3/4) = (– 3/4) + 3/4 = 0.

المعكوس المضاعف: إذا كان هناك عددان حاصل ضربهما يساوي 1 فكل منهما معكوس مضاعف للآخر. مثال: كل من 3/4 و4/3 معكوس مضاعف للآخر

المقدار: عبارة عن كمية محددة المقدار والاتجاه على السطح المستوي أو في الفضاء ويتم تحديدها من خلال زوج مرتب أو ثلاثي من الأعداد الفعلية.

النموذج الكسري المرئي: هو الرسم الشريطي أو مخطط خط الأعداد أو نموذج المجال.
تحوّل التماثل: عبارة عن الحركة الكاملة التي يتبعها تمدد.
توزيع الاحتمالات: مجموعة القيم المحتملة لمتغير عشوائي مع تعيين الاحتمالية لكل منهما.
خصائص التباين: انظر الجدول 5 في هذا المسرد.
خصائص التساوي: انظر الجدول 4 في هذا المسرد.

خصائص العمليات: انظر الجدول 3 في هذا المسرد.

خط الوسط: في الرسم البياني لوظيفة حساب المثلثات، يقع الخط الأفقي الذي يفصل بين الحد الأقصى والأدنى من القيم. الضرب والقسمة في نطاق 100: الضرب والقسمة لرقمين صحيحين ووجود إجابات صحيحة، ومع كون الناتج أو المقسوم في نطاق 0 -100. مثال: 72 ÷ 8 = 9.

عدد عشري منتهٍ: يطلق على الكسور العشرية اسم المنتهية إذا كان الرقم العشري المكرر بها هو 0.


فضاء العينة: في نموذج الاحتمالات الخاص بعملية عشوائية، تظهر قائمة النتائج الفردية التي ينبغي النظر فيها.

قيمة الصفر (0): انظر الجدول 3 في هذا المسرد.


مبدأ التعدي للقياس غير المباشر:  إذا كان طول الجسم (أ) أكبر من طول الجسم (ب) وطول الجسم (ب) أكبر من طول الجسم (ج), فإن طول الجسم (أ) يكون أكبر من طول الجسم (ج), علمًا بأن هذا المبدأ ينطبق على قياس الكميات الأخرى أيضًا.

متوسط الانحراف المطلق: قياس التباين في مجموعة البيانات الرقمية بإضافة المسافات بين كل قيمة من قيم البيانات والمتوسط، ثم قسمة الناتج على عدد قيم البيانات. مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات {2, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}، فإن متوسط الانحراف المطلق هو 20.


مخطط التشتت: رسم بياني في تنسيق مستوٍ يمثل مجموعة من البيانات ثنائية المتغير. على سبيل المثال، قد تُعرض أطوال وأوزان مجموعة من الناس في مخطط التشتت.4


مخطط الخطوط: هي طريقة لعرض توزيع قيم البيانات بصورة بصرية حيث يُشار إلى كل قيمة من قيم البيانات بنقطة أو علامة فوق خط الرقم. وهو معروف أيضًا باسم المخطط التقطي.5

مخطط خط الأعداد: هو مخطط خط الأعداد المستخدم لتمثيل الأرقام ودعم الاستدلال عليها. وفي الرسم التخطيطي لكميات القياس، يمثل الفاصل بين 0 - 1 على الرسم التخطيطي وحدة قياس الكمية.


معدل التغيير المئوي: يعبر عن معدل التغيير بالنسبة المئوية. مثال: إذا زاد عدد السكان من 50 إلى 55 في السنة، فهذا يعني أنه زاد بنسبة 5/50 = 10% في السنة.


نطاق الشرائح الربعية: في مقياس التباين في مجموعة من البيانات الرقمية، يعد نطاق الشرائح الربعية هو المسافة بين أول وثالث ربع من مجموعة البيانات. مثال: بالنسبة لمجموعة البيانات {1, 3,6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}، فإن نطاق الشرائح الربعية هو 15 - 6 = 9. أنظر أيضًا: الربع الأول، والربع الثالث.

نماذج الاحتمالات المركبة بصورة مستقلة: هناك نموذجين يمكن اعتبارهما مركبين بصورة مستقلة إذا ساوت احتمالية كل زوج مرتب في النموذج المجمع ناتج الاحتمالات الأصلية لناتجين فرديين في الزوج المرتب.

نموذج الاحتمال الموحد: هو نموذج الاحتمال الذي يحدد احتمالية متساوية لجميع النتائج. انظر أيضًا: نموذج الاحتمالية.

نموذج الاحتمالية: يُستخدم نموذج الاحتمالية لتعيين احتمالات نتائج العملية بفحص طبيعتها. وتُسمى مجموعة نتائج العملية مسافة العينة وناتج جمع احتمالاتها هو 1. انظر أيضًا: نموذج الاحتمال الموحد.

1مقتبس عن وزارة التعليم العام بولاية ويسكونسن،http://dpi.wi.gov/standards/mathglos.html، آخر زيارة كانت في 2 مارس 2010.

2يجري استخدام العديد من الطرق المختلفة لشرائح الحوسبة الربعية. ويطلق أحيانًا على الطريقة المحددة هنا اسم مور ومكابي. انظر لانجفورد، إريك، "الشرائح الربعية في الإحصاءات الأساسية"، المجلد 14 من مجلة تعليم الإحصاءات، العدد 3 (2006).
3للحصول على دقة أكثر، فإن ذلك يُحدد المتوسط الحسابي.

4مقتبس عن وزارة التعليم العام بولاية ويسكونسن، مرجع سابق.

5مقتبس عن وزارة التعليم العام بولاية ويسكونسن، مرجع سابق.



الجدول 1:حالات الجمع والطرح الشائعة1

        النتيجة غير معلومة   التغيير غير معلوم    البداية غير معلومة
الجمع  يجلس اثنان من الأرانب على العشب. وهناك ثلاثة آخرون يقفزون هناك. كم عدد الأرانب الموجودة على العشب الآن؟
2 + 3= ؟   كان هناك أرنبان يجلسان على العشب. وكان هناك أرانب أخرى تقفز هناك. ولدينا عمومًا خمسة أرانب. فكم
عدد الأرانب التي كانت تقفز إضافة إلى الاثنين الجالسين على العشب؟
2 + ؟ = 5  كان هناك بعض الأرانب تجلس على العشب. وهناك ثلاثة آخرون يقفزون هناك. ولدينا عمومًا خمسة أرانب. فكم كان عدد الأرانب الموجودة على العشب؟
? + 3 = 5
الطرح هناك خمس تفاحات على الطاولة.
وقد أكلت تفاحتين. فكم عدد التفاحات الموجودة على الطاولة الآن؟
5 – 2 = ؟  هناك خمس تفاحات على الطاولة. وقد أكلت بعضًا منها. ولدينا حاليًا ثلاث تفاحات. فكم عدد التفاحات التي أكلتها؟
5 – ؟ = 3  هناك بعض التفاح على الطاولة وقد أكلت تفاحتين. ولدينا حاليًا ثلاث تفاحات. فكم كان عدد التفاح الموجود على الطاولة من البداية؟
؟ – 2 = 3
       
        الإجمالي غير معلوم  العدد المضاف غير معلوم    كلا العددين المضافين غير معلوم2



الجمع/الطرح3        هناك ثلاث تفاحات حمراء واثنتان خضراوان على الطاولة. فكم عدد التفاحات الموجودة على الطاولة؟
3 + 2 = ؟  هناك خمس تفاحات على الطاولة. ثلاث منها من التفاح الأحمر والباقي أخضر. فكم عدد التفاح الأخضر؟
3 + ؟ = 5، 5 – 3 = ؟   الجدة معها خمس زهرات. كم عدد الزهرات التي يمكن أن تضعها في الزهرية الحمراء والتي يمكن أن تضعها في الزهرية الزرقاء؟
5 = 0 + 5، 5 = 5 + 0
5 = 1 + 4، 5 = 4 + 1
5 = 2 + 3، 5 = 3 + 2
       
        الفرق غير معلوم     العدد الأكبر غير معلوم       العدد الأصغر غير معلوم


المقارنة4     ("ما العدد الأكبر؟" التحويل): لوسي لديها تفاحتان. وجوليا لديها خمس تفاحات. فما عدد التفاحات التي تمتلكها جوليا زيادة عن لوسي؟

("ما العدد الأقل؟"التحويل): لوسي لديها تفاحتان. وجوليا لديها خمس تفاحات. فما عدد التفاحات الذي تقل به لوسي عن جوليا؟
2 + ؟ = 5، 5 – 2 = ؟   (التحويل مع "أكثر"): جوليا لديها ثلاث تفاحات أكثر من لوسي. لوسي لديها تفاحتان. فكم عدد التفاحات التي لدى جوليا؟

(التحويل مع "أقل") لوسي تقل عن جوليا بثلاث (3) تفاحات. لوسي لديها تفاحتان. فكم عدد التفاحات التي لدى جوليا؟
2 + 3 = ؟، 3 + 2 = ؟   (التحويل مع "أكثر"): جوليا لديها ثلاث تفاحات أكثر من لوسي. وجوليا لديها خمس تفاحات. فكم عدد التفاحات التي لدى لوسي؟

(التحويل مع "أقل") لوسي تقل عن جوليا بثلاث (3) تفاحات. وجوليا لديها خمس تفاحات. فكم عدد التفاحات التي لدى لوسي؟
5 – 3 = ؟، ؟ + 3 = 5

2يمكن استخدام حالات الطرح هذه لعرض كل حالات تحليل الرقم المحدد. وتساعد المعادلات المماثلة والتي بها العدد الإجمالي على يسار علامة يساوي، الأطفال على فهم أن علامة = لا تعني دائمًا الناتج ولكنها تعني أن ما قبل العلامة يساوي ما بعدها.
3إذا لم يكن من الممكن معرفة العدد المضاف، فهناك ثلاث حالات مختلفة لحالات المسائل من هذا النوع. وكلا العددين المضافين غير المعلومين عبارة عن توسع من خلال الناتج لهذه الحالة الأساسية، وخصوصًا بالنسبة للأعداد الصغيرة الأقل من عشرة (10) أو المساوية لها.
4وبالنسبة لحالات عدم معرفة الأرقام الأصغر أو الأكبر، تُوجه عملية تحويل واحدة العملية الصحيحة (تُستخدم عملية التحويل بصورة أكثر في حالة الأعداد الأكبر من غير المعلومة وبصورة أقل في حالة الأعداد الأصغر من غير المعلومة). عمليات التحويل الأخرى أكثر صعوبة.


1مقتبس من الصندوق 2-4 لتعلم الرياضيات في مرحلة الطفولة المبكرة، المجلس الوطني للبحث العلمي (2009، ص 32، 33).

الجدول 2:حالات الضرب والقسمة الشائعة1

        حاصل الضرب غير معلوم



3 × 6 = ؟  حجم المجموعة غير معلوم
("ما العدد في كل مجموعة؟"القسمة)
3 × ؟ = 18، و 18 ÷ 3 = ؟    عدد المجموعات
غير معلوم
("كم عدد المجموعات؟"القسمة)
؟ × 6 = 18، و18 ÷ 6 = ؟
يساوي
المجموعات   هناك ثلاثة (3) حقائب وفي كل حقيبة ست (6) حبات خوخ. كم عدد الخوخ الموجود في جميعها.

مثال القياس: تحتاج إلى 3 أطوال للخيط، وكل
منها بطول 6 بوصات. كم قطعة خيط أنت بحاجة إليها؟  إذا تم تقاسم 18 خوخة بشكل متساوٍ في 3 حقائب، فكم عدد الخوخ الذي سيكون في كل حقيبة؟

مثال القياس: لديك خيط طوله 18 بوصة، وسيتم تقطيعه إلى 3 قطع متساوية. ما هو طول كل قطعة من الخيط؟        إذا كان من المفترض تجميع 18 خوخة كل 6 في حقيبة، فكم عدد الحقائب التي نحتاج إليها؟

مثال القياس: لديك خيط طوله 18 بوصة، وسيتم تقطيعه إلى قطع بطول 6 بوصات. فكم عدد القطع التي ستكون لديك؟


المصفوفات،2
المساحة3     هناك 3 صفوف من التفاح وفي كل صف 6 تفاحات. فكم عدد التفاح؟

مثال المساحة: ما هي مساحة مستطيل 3 سم في 6 سم؟   إذا تم وضع 18 تفاحة في
3 صفوف متساوية، فكم عدد التفاحات الموجودة في كل صف؟

مثال المساحة: هناك مستطيل تبلغ مساحته 18 سنتيمترًا مربعًا. إذا كان أحد جوانب المستطيل طوله 3 سم، فما هو طول الجانب المجاور له؟    إذا تم ترتيب 18 تفاحة في صفوف متساوية كل صف منها به 6 تفاحات، فكم عدد الصفوف؟

مثال المساحة: هناك مستطيل تبلغ مساحته 18 سنتيمترًا مربعًا. إذا كان أحد جوانب المستطيل طوله 6 سم، فما هو طول الجانب المجاور له؟


المقارنة       سعر القبعة الزرقاء 6 دولار. وسعر القبعة الحمراء 3 أضعاف سعر القبعة الزرقاء. فما هو سعر القبعة الحمراء؟

مثال القياس: شريط مطاطي طوله 6 سم. فما سيكون طول هذا الشريط المطاطي إذا تم تمديده لثلاثة (3) أضعاف؟        سعر القبعة الحمراء 18دولار وتبلغ قيمتها ثلاثة (3) أضعاف القبعة الزرقاء. فما هو سعر القبعة الزرقاء؟

مثال القياس: تم
تمديد الشريط المطاطي بحيث أصبح
طوله 18 سم وهو ثلاثة (3) أضعاف طوله الأصلي. فما هو طول الشريط المطاطي قبل تمديده؟     سعر القبعة الحمراء 18 دولار وسعر القبعة الزرقاء 6 دولار. فكم ضعفًا يساوي سعر القبعة الحمراء بالنسبة للقبعة الزرقاء؟

مثال القياس: كان الشريط المطاطي طوله 6 سم. وتم تمديده بحيث أصبح
طوله 18 سم. فكم ضعفًا يساوي الشريط المطاطي الآن بالنسبة لطوله الفعلي؟
عام    أ × ب= ؟    أ× ؟ = ع, وع ÷ أ= ؟      ؟ × ب = ع, وع ÷ ب= ؟

2توضح الأمثلة الواردة في أمثلة المصفوفات الصورة الأسهل لمسائل المصفوفات. وتعد الصورة الأصعب هي استخدام الصفوف والأعمدة المندرجة: التفاح في شباك البقالة مرتب في 3 صفوف و 6 أعمدة. فكم عدد التفاح الموجود بها؟ كلا الشكلين ذو قيمة.
3تتضمن المساحة مصفوفات المربعات الموجودة معًا حتى لا يكون هناك أي ثغرات أو تداخلات، ومن ثم تتضمن مشكلات المصفوفة حالات القياس المهمة هذه.


1الأمثلة الأولى في كل خلية هي أمثلة من الأشياء المنفصلة. وهذا أسهل بالنسبة للطلاب وينبغي تقديمه قبل أمثلة القياس.


الجدول 3:خصائص العمليات تشير أ و ب و ج هنا إلى أرقام عشوائية في نظام أعداد معين.وتنطبق خصائص العمليات على نظام العدد الكسري ونظام الأرقام الفعلية ونظام الأرقام المركبة.


الخاصية التجميعية للجمع     (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
الخاصية التبديلية للجمع      أ + ب = ب + أ
القيمة الجمعية للصفر أ + 0 = 0 + أ = أ
وجود المعكوس الجمعي      لكل (أ) يوجد (-أ) ولذا فإن أ + (–أ) = (–أ) + أ = 0
الخاصية التجميعية للضرب  (أ × ب) × ج = أ × (ب × ج)
الخاصية التبديلية للضرب    أ × ب = ب × أ
القيمة المضاعفة للواحد      أ × 1 = 1 × أ = أ
وجود المعكوس المضاعف   لكل أ ≠ 0 يوجد 1/a ولذا فإن أ × 1/أ = 1/أ × أ = 1
خاصية التوزيع في الضرب بالنسبة للجمع  أ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج



الجدول 4خصائص التساويتشير أ و ب و ج هنا إلى أرقام عشوائية في نظام العدد الكسري والفعلي والمركب.
الخاصية الانعكاسية للتساوي
الخاصية التناظرية للتساوي
الخاصية المتعدية للتساوي
خاصية الجمع في التساوي
خاصية الطرح في التساوي
خاصية الضرب في التساوي
خاصية القسمة في التساوي
خاصية الاستبدال في التساوي       أ = أ
إذا كانت أ = ب فإن ب = أ
إذا كانت أ = ب و ب = ج، فإن أ = ج
إذا كانت أ = ب، فإن أ + ج = ب + ج
إذا كانت أ = ب، فإن أ – ج = ب – ج
إذا كانت أ = ب، فإن أ × ج = ب × ج
إذا كانت أ = ب و ج ≠ 0، فإن أ ÷ ج = ب ÷ ج
إذا كانت أ = ب، فإن "ب" قد تحل محل "أ"
في أي عبارة تتضمن "أ".

الجدول 5خصائص التساوي تشير أ و ب و ج هنا إلى أرقام عشوائية في نظام العدد الكسري والفعلي.



أ < ب، أ = ب، أ > ب.
إذا كانت أ > ب و ب > ج؛ فإن أ > ج.
إذا كانت أ > ب؛ فإن ب < أ إذا كانت أ > ب؛ فإن –أ < –ب.
إذا كانت أ > ب؛ فإن أ ± ج > ب ± ج.
إذا كانت أ > ب و ج > 0؛ فإن أ × ج > ب × ج.
إذا كانت أ > ب و ج < 0؛ فإن أ × ج < ب × ج.
إذا كانت أ > ب وج > 0؛ فإن أ ÷ ج > ب ÷ ج.
إذا كانت أ > ب وج < 0؛ فإن أ ÷ ج < ب ÷ ج.

عينة من المراجع