الرياضيات - علم الجبر للمرحلة الثانوية


الرياضيات - علم الجبر للمرحلة الثانوية

التعبيرات.
التعبير هو سجل للحوسبة باستخدام الأرقام والرموز التي تمثل الأرقام والعمليات الرياضية والرفع و في المستويات الأكثر تقدما عمليات تقييم الدالة. القواعد حول استخدام الاقواس وترتيب العمليات تضمن أن كل تعبير واضح لا لبس فيه. يتطلب عمل تعبير يصف حوسبة تتضمن كمية عامة القدرة على التعبير عن الحوسبة بشكل عام من حيث التجريد من عناصر محددة.

قراءة تعبير مع الفهم يتضمن تحليل بناءه الداخلي. وقد يطرح هذا طريقة مختلفة لكتابة التعبيرات ولكنها مكافئة توضح بعض الخصائص المختلفة لمعانيها. علي سبيل المثال، ع+0.05ع يمكن تفسيرها على أنها حاصل جمع 5% ضرائب على السعر ع. إعادة كتابة ع+0.05ع في صيغة 1.5ع يوضح أن إضافة الضريبة يكافئ ضرب السعر في معامل ثابت.

تحكم خصائص العمليات والرفع التعديلات الجبرية وقواعد التأشير الجبري. حيث تكون التوسعة في بعض الأوقات نتيجة تطبيق بعض العمليات على تعبيرات أبسط. على سبيل المثال، ع+ 0.05 هي حاصل جمع التعبير الأبسط ع و 0.05ع . النظر إلى تعبير على أنه نتيجة عملية أجريت على تعبير أبسط يمكن في بعض الأوقات أن يوضح بناءه الداخلي.

يمكن استخدام الجدول الإلكتروني أو النظام الجبري الحاسوبي (CAS) لإجراء التجارب على التعبيرات الجبرية و أداء تعديلات جبرية معقدة وفهم كيفية تصرف التعديلات الجبرية.

المعادلات والمتباينات.
المعادلة هي بيان بالمساواة بين تعبيرين وغالبا ما يتم النظر إليها علي إنها سؤال يسأل عن أي من قيم المتغيرات في التعبيرات على كل جانب متساوي في الحقيقة. وتلك القيم هي حل المعادلة. -
على النقيض من ذلك، يسري التطابق، على كل القيم، وغالبا ما يتم إنتاج المتطابقات بإعادة كتابة التعبيرات.
في صيغة متكافئة.

وتكون حلول معادلة ذات متغير واحد مجموعة من الأرقام، بينما تكون حلول معادلة ذات متغيرين مجموعة مرتبة من أزواج الأرقام والتي يمكن نثرها على مستوى إحداثي. ويكون معادلتين أو أكثر و/أو متباينة نظام. وحل مثل هذا النظام يجب أن يفي بحل كل معادلة ومتباينة في النظام.

وغالبا ما يمكن حل المعادلة عن طريق الاستنباط منها بطريقة تعاقبية معادلة أو معادلات أبسط. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يضيف نفس المعامل الثابت إلى كلمن الجانبين دون أن يغير الحلول ولكن تربيع كل من الجانبين يمكن أن يؤدي إلى حلول غريبة. الكفاءة الإستراتيجية في الحل تتضمن التطلع إلى تعديلات مثمرة وتوقع طبيعة و عدد الحلول.

بعض المعادلات ليس لها حل في نظام عددي معين ولكن لها حل في نظام أكبر. على سبيل المثال، حل المعادلة خ+1=0 هو عدد صحيح وليس عدد صحيح، ولكن حل المعادلة 2خ+1=0 هو عدد كسري وليس عدد صحيح.
ولكن حل المعادلة خ2 - 2=0 هو أرقام حقيقة وليس أرقام كسرية ولكن حل المعادلة خ+ 2 = 0 هو رقم مركب وليس أرقام حقيقية.

ويمكن استخدم نفس تقنيات الحل تلك لحل المعادلات لإعادة ترتيب الصيغ. علي سبيل المثال، الصيغة لمساحة شبه المنحرف هي ح أ = ((ب1+ب2)/2) يمكن إيجاد قيمة ح باستخدام نفس العملية الاستنباطية.

يمكن حل المتباينات عن طريق تحديد خصائص التباين. ويصمد العديد من، وليس كلها، خصائص المساواة للمتباينات ويمكن أن تكون مفيدة في حلها.

الصلات إلى الدوال اللوغاريتمية والنمذجة.
يمكن للتعبيرات أن تعرف الدوال وتعرف التعبيرات المتكافئة نفس الدالة. ويؤدي السؤال حينما يكون لدالتين نفس القيمة لنفس المدخل إلى معادلة. ورسم الدالتين يسمح بإيجاد حلول تقريبية للمعادلة. تحويل الوصف اللفظي إلى معادلة أو متباينة أو نظام من ما سبق هو مهارة أساسية من مهارات النمذجة.


 الممارسات الرياضية       


1.     استخدام أدوات مناسبة بطريقة إستراتيجية.
2.     الاهتمام بالدقة.
3.     البحث عن التركيب والاستفادة منه.
4.     البحث والتعبير عن النظامية في الاستنتاج المكرر.

1.     فهم المسائل والاجتهاد في حلها.
2.     التفكير التجريدي والكمي.
3.     بناء الحجج القابلة للتطبيق ونقد المنطق عند الآخرين.
4.     وضع النماذج باستخدام الرياضيات



نظرة عامة على علم الجبر  


رؤية بنية التعبيرات
       تفسير بنية التعبيرات
       اكتب التعبيرات في صيغ متكافئة لحل المسائل.

الرياضيات متعددة الحدود و الكسور
التعبيرات.
       قم بإجراء العمليات الرياضية على متعددات الحدود.
       عليك فهم العلاقة بين الأصفار و معاملات متعددات الحدود
       استخدم المتطابقات متعددة الحدود لحل المسائل
       أعد كتابة التعبيرات الكسرية.

صنع معادلة
       أصنع معادلات تصف الأرقام أو العلاقات

الاستنتاج في المعادلات والمتباينات.
       فهم كيفية حل المعادلات كعملية استنتاج ووضح خطوات الاستنتاج.
       قم بحل المعادلات والمتباينات ذات المتغير الواحد.
       حل نظم المعادلات
       قم بتمثيل وحل المعادلات والمتباينات بيانيا.

رؤية بنية التعبيرات A-SSE

تفسير بنية التعبيرات.
1.     قم بتفسير التعبيرات التي تمثل الكمية من حسب السياق.
‌أ.      قم بتفسير جزء من التعبير مثل الشروط العوامل والمعاملات.
‌ب.    قم بتفسير التعبيرات المركبة عن طريق معاملة جزء أو أكثر منها كوحدة واحدة. على سبيل المثال،فسر ب (1+ص)nعلى أنه ناتج ب و عامل غير معتمد على ع.
2.     استخدم بنية تعبير لتحديد طرق إعادة كتابته. على سبيل المثال،أنظر إلى x4 – ذ4  كـ (خ2)2 – (ذ2)2, ومن ثم تحيدها كفارق من التربيعات التي يمكن معاملتها كـ (خ2 – ذ2)(خ2 + ذ2).

اكتب التعبيرات في صيغ متكافئة لحل المسائل.
3.     اختار وضع صيغة مكافئة لتعبير لتوضيح وشرح خصائص كمية يمثلها هذا التعبير.
‌أ.      عامل تعبير تربيعي لتوضيح أصفار الدالة التي يعرفها.
‌ب.    استكمل المربع في تعبير تربيعي لتوضيح الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمة الدالة التي يحددها.
‌ج.     استخدم خصائص الرفع لتحويل تعبيرات الدوال الأسية. علي سبيل المثال، التعبير 1.15tيمكن إعادة كتابته كـ(1.151/12)12t ≈ 1.01212t لتوضيح المكافئ التقريبي للفائدة الشهرية إذا ما كان المعدل السنوى 15%.
4.     اشتق الصيغة لجمع سلسلة هندسية منتهية (حينما يكون المعدل العام ليس 1) واستخدم الصيغة لحل المسائل. على سبيل المثال،احسب قيمة قسط الرهن العقاري.


الحساب مع متعددات الحدود والتعبيرات الكسرية   A-APR    

قم بإجراء العمليات الحسابية على متعددات الحدود.
1.     عليك فهم أن متعددات الحدود تكون نظام تحليلي للأعداد الصحيحة،وتحديدا،تكون مغلقة في إطار عمليات الجمع والطرح والضرب.قم بجمع وطرح وضرب متعددات الحدود.

عليك فهم العلاقة بين الأصفار و معاملات متعددات الحدود.
2.     أدرس وطبق نظرية المتبقي: لمتعدد حدود ع(خ) ورقم أ سيكون باقي القسمة علىخ –أ هو ع(أ) ولذا فأن ع(أ) = 0 إذا وفقط إذا كانت(خ – أ) معامل لـع(خ).
3.     حدد أصفار متعدد حدود حينما تتوافر العوامل المناسبة واستخدم الأصفار لبناء رسم بياني تقريبي للدالة التي يعرفها متعدد الحدود.

استخدم المتطابقات متعددة الحدود لحل المسائل.
4.     قم بإثبات المتطابقات متعددة الحدود واستخدمها لوصف العلاقات العددية. على سبيل المثال يمكن استخدام المتطابقة متعددة الحدود (x2 + ذ2)2 = (خ2 – ذ2)2 + (2خ ذ)2 مثلثات فيثاغورث.
5.     (+) أدرس وطبق النظرية ثنائية الحد لتوسعة التعبير (خ + ذ)n مرفوعة لقوة خ وذ لعدد صحيح إيجابي n حيث تكون خ وذ أي أرقام معاملة محددة للمثال بواسطة مثلث باسكال.1

أعد كتابة التعبيرات الكسرية.
6.     قم بإعادة كتابة تعبيرات كسرية في صور مختلفة، أكتب أ(خ)/ب(خ)  في صيغة ف(خ) + ص(خ)/ب(خ), حيثأ(خ), ب(خ), ف(خ), و ص(خ) متعددات حدود بدرجة ص(خ) أقل من درجة ب (خ) استخدم الفحص والقسمة المطولة أو للأمثلة المعقدة نظام حاسوبي جبري.
7.     (+) عليك فهم أن التعبيرات الكسرية من نظام مماثلة للأرقام الكسرية مغلقة تحت الجمع والطرح والضرب والقسمة على التعبيرات الكسرية غير الصفرية قم بجمع وطرح وضرب وقسمة التعبيرات الكسرية.


1 النظرية ثنائية الحد يمكن إثباتها الاستنباط الرياضي أو بواسطة الإثبات البرهان الاندماجي.



صنع معادلة   A-CED    

أصنع معادلات تصف الأرقام أو العلاقات
1.     قم بصنع معادلات ومتباينات ذات متغير واحد واستخدمهم لحل المسائل. تتضمن معادلات تنجم م ندوال خطية وتربيعية ودوال كسرية بسيطة ودوال أسية.
2.     قم بصنع معادلات ذات متغيرين أو أكثر لتمثيل العلاقة بين الكميات. ومعادلات بيانية على إحداثيات محورية معنونة ولها مقياس.
3.     قم بتمثيل القيود على المعادلات والمتباينات وبواسطة نظم المعادلات و/أو المتباينات وفسر الحلول كخيارات ممكنة أو غير ممكنة في سياق النمذجة. على سبيل المثال، قم بتمثيل المتباينات واصفا  المغذيات وقيود التكلفة علي خليط من الأطعمة المختلفة.
4.     قم بإعادة ترتيب الصيغ لإبراز كمية النتائج مستخدما نفس الحجج في حل المعادلة. على سبيل المثال، قم بإعادة ترتيب قانون أوم ت =  ط ع لتوضيح المقاومة ع.



الاستنتاج في المعادلات والمتباينات  A-REI     

فهم كيفية حل المعادلات كعملية استنتاج ووضح خطوات الاستنتاج.
1.     اشرح كل خطوة في حل معادلة بسيطة علي انها تنبع من تساوي الأرقام المؤكدة في الخطوةالسابقة بدءًا من الافتراض أن المعادلة الأصلية لها حل. قم ببناء حجة ممكنة لتبرير طريقة حل.
2.     قم بحل معادلات كسرية بسيطة ومعادلات جذرية ذات متغير واحد وأعطي أمثلة توضح كم من الحلول الغريبة يمكن أن ينجم.

قم بحل المعادلات والمتباينات ذات المتغير الواحد.
3.     قم بحل المعادلات والمتباينات ذات المتغير الواحد., وتتضمن المعادلات ذات المعاملات الممثلة بالحروف.
4.     حل المعادلات التربيعية ذات المتغير الواحد.
‌أ.      استخدم طريقة استكمال المربع لتحويل أي معادلة تربيعية في خ إلى معادلة في الصيغة (خ-ع)2 = ف والتي لها نفس الحل. اشتق الصيغة التربيعية من هذه الصيغة.
‌ب.    قم بحل المعادلات التربيعية بفحصها (علي سبيل المثال خ2 = 49) آخذا الجذور التربيعية واستكمل المربع والصيغة التربيعية والعوامل كما هو مناسب للصيغة المبدئية للمعادلة. حدد متى تعطي الصيغة التربيعية حلول مركبة واكتبهم في صورة ± ب ط للأرقام الحقيقة أ وب.

حل نظم المعادلات.
5.     أثبت أن، إذا ما كان لديك معادلتين ذوات متغيرين، فأن استبدال معادلة بمجموع تلك المعادلة و مضاعف الأخرى ينتج نظام بنفس الحلول.
6.     قم بحل نظم المعادلات الخطية بالضبط وتقريبا (علي سبيل المثال مستخدم الرسم البياني) قم بالتركيز على أزواج المعادلات الخطية ذات المتغيرين.
7.     قم بحل نظام بسيط مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية ذات متغيرين جبريا وبيانيا. علي سبيل المثال. أوجد نقاط التقاطع بين الخط ذ = 3خ و الدائرة خ2 + ذ2 =3.
8.     (+) قم بتمثيل نظام من المعادلات الخطية كمعادلة مصفوفة مفردة ذات متغير متجه.
9.     (+) جد معكوس مصفوفة إذا ما كانت موجودة واستخدمها لحل نظم المعادلات الخطية (استخدم التكنولوجيا للمصفوفات ذات الأبعاد 3x3 أو أكبر).

قم بتمثيل وحل المعادلات والمتباينات بيانيا.
10.   عليك فهم أن الرسم البياني لمعادلة ذات متغيرين هو مجموعة كل الحلول المنثورة على المستوي الإحداثي والتي غالبا ما تكون منحنى (والذي يمكن أن يكون خطا).
11.   أشرح لماذا تكون الإحداثيات خ للنقاط عندما تكون الخطوط البيانية للمعادلات ذ = و (خ) و ذ = ز (خ) متقاطعة هي حل المعادلة و (خ) = ز (خ).جد الحل التقريبي على سبيل المثال استخدم التكنولوجيا لرسم الدوال اللوغاريتيمية بيانيا واصنع جدول للقيم أو أوجد المتعاقب التقريبي. قم بتضمين حالات حيث تكون و (خ) و/أو ز (خ) خطية أو متعددة الحدود أو كسرية أو قيمة مطلقة أو مرفوعة لقوة أو دالة لوغاريتيمية.
12.   قم برسم الحلول بيانيا لمتباينة خطية ذات متغيرين كنصف جزء (مستبعدا الحدود في حالة التباين المطلق) وقم برسم مجموعة الحل بيانيا لنظام متباينات خطية ذات متغيرين كتقاطع نصف الجزء المقابل.


الرياضيات -الدوال للمرحلة الثانوية:مقدمة

الدوال تصف المواقف حيث تحدد كمية ما كمية أخرى. على سبيل المثال، العائد على استثمار مبلغ 10,000$ بمعدل مئوي سنوي 4.25% هي دالة ذات طول للوقت الذي تستثمر فيه الأموال. وحيث أننا نقوم باستمرار بوضع نظريات عن التبعيات بين الكميات في الطبيعة والمجتمع ولذا تعد الدوال أدوات هامة في بناء النماذج الرياضية.

وفي الرياضيات بالمدارس، عادة ما يكون للدوال مدخلات ومخرجات رقمية وغالبا ما تكون محددة بالتعبيرات الجبرية. على سبيل المثال، الوقت بالساعات الذي تستغرقه سيارة لقطع 100 ميل هو دالة لسرعة السيارة بالأميال في الساعة ت والقاعدة ر (ت) = 100/ت تعبر عن العلاقة جبريا وتحدد دالة اسمها ر.

مجموعة المدخلات لدالة تسمي نطاق. غالبا ما نقوم باستنتاج النطاق على أنه جميع المدخلات للتعبير المحدد للدالة التي لها قيمة أو التي يصبح عندها للدالة معني في سياق معين.

يمكن وصف الدالة بعدة طرق مثل وصفها بالرسم البياني (على سبيل المثال، مسار تتبع الزلازل) بواسطة قاعدة لفظية. مثل كما في، "سوف أعطيك ولاية وأنت تعطيني العاصمة" بواسطة تعبير جبري مثل و (خ) = أ + ب خ أو بواسطة قواعد متكررة. وغالبا ما يكون الرسم البياني للدالة طريقة مفيدة لتصوير العلاقة لنماذج الدالة وكما أن معالجة التعبيرات الرياضية لدالة تلقي الضوء على خواص تلك الدالة.

الدوال الممثلة كتعبيرات يمكن أن تكون نماذج للعديد من الظواهر الهامة. هناك عائلتان هامتان من الدوال يتسمان بقوانين النمو وهما دوال خطية والتي تنمو بمعدل ثابت و الدوال الأسية التي تنمو بمعدل مئوي نسبي ثابت. والدوال الخطية التي لها معدل صفر ثابت تصف العلاقة التناسبية.

يمكن استخدام أداة تمثيل بياني أو نظام حاسوبي جبري لإجراء التجارب واستخدام خصائص تلك الدوال ورسومها البيانية ولبناء نماذج حاسوبية للدوال وتتضمن الدوال المحددة تعاقبيا.

الصلات بالتعبيرات والمعادلات و النمذجة و الإحداثيات.
يتضمن تحديد قيمة المخرج لمدخل معين تقييم التعبير.كما أن إيجاد المدخلات التي ينتج عنها مخرج معين يتضمن حل التعبير. ويؤدي السؤال عن،إذا كان لدالتين نفس القيمة لنفس المدخل إلى معادلات.و التي يمكن تصوير حلولهما من تقاطع خطوطهما البيانية. حيث أن الدوال تصف العلاقات بين الكميات فإنها عادة ما تستخدم في النمذجة. وأحيانا ما يتم تعريف الدوال بواسطة عملية تعاقبية والتي يمكن عرضها بكفاءة باستخدام الجداول الالكترونية أو الوسائل التكنولوجية الأخرى.


 الممارسات الرياضية       


1.     فهم المسائل والاجتهاد في حلها.
2.     التفكير التجريدي والكمي.
3.     بناء الحجج القابلة للتطبيق ونقد المنطق عند الآخرين.
4.     وضع النماذج باستخدام الرياضيات
5.     استخدام أدوات مناسبة بطريقة إستراتيجية.
6.     الاهتمام بالدقة.
7.     البحث عن التركيب والاستفادة منه.
8.     البحث والتعبير عن النظامية في الاستنتاج المكرر.